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Transformée de Fourier rapide

Léo Gayral

2017-2018

ref : Cormen - Introduction to algorithms, third edition - p.901 Remarque 1.Dans l"espace de SchwarzS(R), on peut facilement montrer [f?g=ˆf׈g. Ceci permet de simplifier un certain nombre de calculs, que ce soit en théorie ou en pratique. En outre, si on considère deux polynômesP,Q?C[X], on peut leur associer des séries(pi),(qj)?C(Z). Les coefficients dePQcorrespondent alors à la série convolée(pi)?(qj). Théorème 1.SoientP,Q?Cn-1[X]. On peut calculer les coefficients du polynômePQenO(nln(n))opérations.

Démonstration.

Par interpolation de Lagrange on sait que, pourx0,...,xn-1?Cdeux à deux distincts, l"applicationΦ :Cn-1[X]→Cn

P= (p0,...,pn-1)?→(P(x0),...,P(xn-1))

est un isomorphisme deC-espaces vectoriels. A isomorphisme près, déterminer les coefficients dePQéquivaut à calculer le produit terme à terme deΦ(P)·Φ(Q), en temps linéaire. A priori, calculer Φ(P)(explicitement) ouΦ-1(X)(avec les polynômes interpolateurs) se fait en tempsO(n2), ce qui n"apporte pas de gain conséquent par rapport au calcul direct des coefficients, également en temps quadratique. Cela revient à considérer le produit par une matrice de Vandermonde :

Φ(P) =(

((1x1···xn-11.........

1xn···xn-1n)

((p 0... p n-1) 1 On va maintenant chercher à ajouter de la structure sur le(xi)?Cn afin de réduire le nombre d"opérations nécessaire. Soitwune racinen-ième primitive de l"unité - typiquemente±2iπn - etxi=wi, de sorte que{xi}= U associée. Dans ce cas,w-1est aussi une racine primitive etV(w)-1=1n

V(w-1):

[V(w)V(w-1)]i,j=n-1? k=0V(w)i,kV(w-1)k,j n-1? k=0wik-kj n-1? k=0(wi-j)k =n×δi,j donc le calcul deΦ(P) =V(w)Pet deΦ-1(X) =1n

V(w-1)Xdevraient

idéalement se faire selon la même méthode.

Lorsquenest pair, on remarque quewi+n2

=-wi, ce qui ajoute des symétries dansV:V(w)n2 +i,j= (-1)jV(w)i,j. Pouri?q0,n2 -1yon définit les vecteurs : u i=? j≡0[2]wijXj=n2 -1? k=0wi×2kX2k=n2 -1? k=0(w2)ikX2k v i=? j≡1[2]wijXj=n2 -1? k=0wi×(2k+1)X2k+1=win2 -1? k=0(w2)ikX2k+1 de sorte que(V X)i=ui+viet(V X)n2 +i=ui-vi. -1?Cn2 Commewest une racine primitive deUn,w2est une racine primitive deUn2 etV(w2)est bien définie comme précédemment. On poseYp=V(w2)Xp, Y i=V(w2)Xi, de sorte que :

V(w)X=?Y

p Y p? i Y i? Ces calculs se font en temps linéaire, donc lorsqu"on part den= 2m on a un algorithme avec une complexitéT(n) = 2×T?n2 ?+O(n), donc

T(n) =O(nln(n)).

Remarquons que dans cet algorithme particulier, il est nécessaire de consi- dérern= 2mpour obtenir le bon résultat à la fin, et pas simplement 2 pour simplifier le calcul de la complexité. Dans un cas général, si on pose d= max(deg(P),deg(Q)), alors quitte à se placer surC2?log2(d+1)?-1[X]on peut bien effectuer les calculs avec une complexité enO(dln(d)).3quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20