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Les vecteurs

I- Translation et vecteur

1) Activités d"introduction

a) Activité 1

A et B deux points du plan.

Nous allons découvrir une nouvelle transformation du plan transformant A en B, appeléetranslation.

Pour transformer un point M en son image M

?, on applique l"algorithme suivant : • Construire le milieu I de [BM] • Construire le point M ?tel que I soit aussi le milieu de [AM?].

1)Construire ci-contre le point M?, image de M

par la translation.

Que peut-on dire du quadrilatère AMBM

2)Construire de même le point N?, image de N

par la translation.

3)Tracer en rouge les flèches allant de A vers B,de M vers M?et de N vers N?.

Que remarque-t-on?

A? B? M N b) Activité 2 La figure ci-dessous représenteun pavage: c"est un motif qui recouvre entièrement une surface. Ici, le pavage est constitué d"un unique motif : un poisson.

1)Représenter sur la figure le vecteur?ude la

translation qui transforme le poisson 21 en 22.

2)De même pour celle de vecteur?vtransformant

le poisson 22 en 42.

3)On enchaîne maitenant les deux translationset on note?u+?vle vecteur de la translation

transformant le poisson 21 en 42. construction de la somme de deux vecteurs. -6 1 7 8 9 14 15 16 20 21
22
27
28
29
33
34
35
40
41
42
47
48
55

M. Herbaut1/7Seconde

2) Définitions

Définition:

A? B M P? N

3) Caractérisation d"un vecteur

Si?uest un vecteur non nul du plan et# »AB un représentant du vecteur?u, alors?uest caractérisé par :

4) Vecteurs égaux

Exemple 1:

Sur la figure ci-contre ABCD et CDEF sont deux

parallélogrammes.

Propriété:

M. Herbaut2/7Seconde

II- Vecteurs et coordonnées

1) Exemples

Exemple 1:

Dans un repère orthogonal on place les pointsA(1;2)etB(4;6) et on trace le vecteur# »AB. Comment peut-on lire les coordonnées du vecteur# »AB? 12345
-11 2 3 4 5-1

Exemple 2:

Lire les coordonnées des vecteurs représentés ci-contre. 123
-1 -21 2 3-1-2-3 ?u ?v ?w

2) Coordonnées du vecteur# »AB

Propriété:

Dans un repère (O,I,J), on considère les points A(xA;yA), et B(xB;yB)

Alors les coordonnées de# »AB sont

12345
-11 2 3 4 5-1

Exemple 3:

Placer dans un repère les pointsM(-3,-1),N(2;-4)etR(4;3) Calculer les coordonnées des vecteurs# »MN;# »RN;# »ONet# »MM. 1234
-1 -2 -31 2 3 4 -1-2-3

3) Vecteur nul

Définition:

On appelle vecteur nul et on note#»0 le vecteur de coordonnées?00?

M. Herbaut3/7Seconde

4) Vecteurs égaux

Propriété:

Soient?u?xy?

,?v?x? y deux vecteurs et leurs coordonnées dans un repère. • Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnéessont ?u=?v??

Exemple 4:

Soient?v?53?

et?w?5x x+y?

Déterminerxetypour que?v=?w.

Exemple 5:

SoitP(-1;6), démontrer que MNRP est un parallèlogramme

123456

-1 -2 -3 -41 2 3 4 -1-2-3

Exemple 6:

SoitA(2;2),B(2;-1)etC(6;1). Déterminer les coordonneés du point D tel que ABCD est un parallèlogramme.

123456

-11 2 3 4 5 6-1

5) Milieu d"un segment

Propriété:

Soit A, B et I trois points alors I est le milieu de [AB] si et seulement si

M. Herbaut4/7Seconde

III- Somme de deux vecteurs

1) Exemple

Exemple 1:

Soit#»u?31?

#»v?2 -4? etA(1;4). Placer A dans un repère et construire le point B image de A part#»u.

Construire le point C image de B part#»v.

En déduire le vecteur noté#»u+#»vde la translation qui transforme A en C. 12345
-11 2 3 4 5 6-1

2) Addition vectorielle

Définition:

En enchainantla translationde vecteur#»uet celle de vecteur#»von obtient une nouvelle translation dont le vecteur est noté#»u+#»v. ?u ?v

Propriété (Relation de Chasles):

Pour tout point A, B et C du plan on a :# »AB+# »BC =# »AC.

Propriété:

Si dans un repère#»uet#»vont pour coordonnées#»u?x y? et #»v?x? y alors

Propriété:

Quels que soient les vecteurs?u,?vet?wdu plan, on a : •?u+?v=?v+?u(commutativité); • (?u+?v)+?w=?u+(?v+?w) (transitivité); •?u+?0 =?u.

Exemple 2:

Soit u?4 -5? #»v?-2 3? et #»w?-1 1?

Calculer les coordonnées des vecteurs

M. Herbaut5/7Seconde

?A ?B ?C ?D?u ?v ?w

Exemple 3:

Construire les pointsM,N,PetQtels que :

---→AM =-→u+-→v •---→BN =-→v+-→w •--→CP =-→w+-→u •---→DQ =-→u+-→v+-→w

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Les vecteurs

I- Translation et vecteur

1) Activités d"introduction

A et B deux points du plan.

Pour transformer un point M en son image M

1)Construire ci-contre le point M?, image de M

Que peut-on dire du quadrilatère AMBM

2)Construire de même le point N?, image de N

3)Tracer en rouge les flèches allant de A vers B,de M vers M?et de N vers N?.

Que remarque-t-on?

1)Représenter sur la figure le vecteur?ude la

2)De même pour celle de vecteur?vtransformant

3)On enchaîne maitenant les deux translationset on note?u+?vle vecteur de la translation

M. Herbaut1/7Seconde

2) Définitions

Définition:

3) Caractérisation d"un vecteur

4) Vecteurs égaux

Exemple 1:

Sur la figure ci-contre ABCD et CDEF sont deux

Propriété:

M. Herbaut2/7Seconde

II- Vecteurs et coordonnées

1) Exemples

Exemple 1:

Exemple 2:

2) Coordonnées du vecteur# »AB

Propriété:

Alors les coordonnées de# »AB sont

Exemple 3:

3) Vecteur nul

Définition:

M. Herbaut3/7Seconde

4) Vecteurs égaux

Propriété:

Soient?u?xy?

Exemple 4:

Soient?v?53?

Déterminerxetypour que?v=?w.

Exemple 5:

123456

Exemple 6:

123456

5) Milieu d"un segment

Propriété:

M. Herbaut4/7Seconde

III- Somme de deux vecteurs

1) Exemple

Exemple 1:

Soit#»u?31?

Construire le point C image de B part#»v.

2) Addition vectorielle

Définition:

Propriété (Relation de Chasles):

Propriété:

Propriété:

Exemple 2:

Calculer les coordonnées des vecteurs

M. Herbaut5/7Seconde

Exemple 3:

Construire les pointsM,N,PetQtels que :

On fera apparaitre les traits de construction.

Exemple 4:

Compléter en utilisant la relation de Chasles.

2)# »EF+# »FG+# »GH =...

3)# »EK+···=# »EL

4)# »...C+# »C...=# »OP5)