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Contact : conf-py-math@educagri.fr

ALGORITHMIQUE AU LYCÉE

Thème 1 - Probabilités

Après une initiation à l'algorithmique et à la programmation au cours de l'année de seconde,

les élèves peuvent utiliser les connaissances acquises (utilisation de boucles et d'instructions

conditionnelles) pour répondre à des problèmes mathématiques résolubles au niveau du lycée

(ou non !). Le choix des problèmes à proposer dépend évidemment de l'expérience acquise, de

la réactivité de la classe et du langage de programmation choisi par l'enseignant.

Nous vous proposons ici un premier article sur le thème des probabilités, deux autres à suivre

dans les prochains bulletins porteront sur les thèmes analyse et géométrie. Le thème des probabilités est très riche en applications et peut donner lieu à de jolis

problèmes de modélisation. Il convient néanmoins d'être progressif dans leur présentation et

dans ce qui peut être donné à chercher. Nous balayons les programmes de Première et Terminale des filières S ou STAV, en débordant parfois du côté des enseignants, avec des

situations à présenter en classe pour aiguiser l'appétit des élèves. Ce côté mettre les maths en

situation est particulièrement riche pédagogiquement et peut donner lieu à de mini-projets à

caractère interdisciplinaire.

Les algorithmes écrits en langage naturel ont volontairement des présentations variées. Exercice 1 : Loi binomiale (niveau STAV)

Un jardinier amateur plante 10 graines de rose. Une étude statistique a montré que la probabilité de germination de chaque graine est de 0,4. Par ailleurs les germinations sont supposées indépendantes. Question 1 : Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de graines ayant germé sur les 10 graines plantées. Justifier que X suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramètres.

Question 2 : On propose l'algorithme suivant :

Entrée Affecter à n la valeur 10

Affecter à S la valeur 0

Affecter à R la valeur 0

Traitement

Pour k variant de 0 à 2 faire Affecter à S la valeur S + n k 0,4 k 0,6 n k

Fin Pour Affecter à R la valeur 1 S

Sortie

Afficher R

4 a) b Quest

Élémen

Quest

Dém

loi bi Ains Ques t L'alg c'est- Quest

Ici, X

L'alg E T S

Exerci

Un mo ou ver ) - Tester ce 1 re ex 2 e ex 3 e ex ) - A quoi c tion 3 : Mo gra ger nts de solut tion 1 marche class inomiale de i, pour tout tion 2 gorithme ren -à-dire P(X tion 3

X suit la loi

gorithme pré

Entrée

Traitement

Sortie

ice 2 : Un obile part de rs la droite a et algorithm

Étape

Entrée

xécution de xécution de xécution de orrespond l odifier l'algo aines germe rmination d ions ique (répét i e paramètres entier k com nvoie comm 1 10 0 0

X 3), la pro

binomiale d

écédent se m

A A A t P F A A ne marche e l'origine O avec la mêm me en rempli e e e la boucle la boucle la boucle le résultat re orithme pré ent si le ja de chaque gr ition de 10 s n = 10 et p mpris entre me valeur 0,4 0 0,6 10 obabilité qu' de paramètr modifie alor

Affecter à n

Affecter à S

Affecter à R

Pour k varia

Affecte

Fin Pour

Affecter à R

Afficher R

e aléatoire

O et effectue

me probabili ENFA issant le tab k 0 1 2

R = ......

envoyé par cédent pou r ardinier pla raine est de expérience p = 0,4.

0 et 10, o

n 10 1 0,4 1 'au moins 3 res n = 15 et rs ainsi : n la valeur 1

S la valeur 0

R la valeur 0

ant de 0 à 4 er à S la val

R la valeur

e (niveau P e, chaque se ité. On note

A - Bulletin n°

bleau ci-dess cet algorit h r calculer la ante 15 gra 0,7. s de Berno u n a P(X = k) 1 0,6 9 12 graines aie t p = 0,7 et o 15 0 0

4 faire

leur S + n k 1 S

Première S)

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°24 du groupe

Contact : co

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X suit la

a gauche condes). ENFA - Bulletin n°24 du groupe PY-MATH - Mai 2015 5

Contact : conf-py-math@educagri.fr

Question 1 : Écrire un algorithme qui demande à l'utilisateur de saisir l'entier t (t > 1), et qui

calcule et affiche l'abscisse x t du mobile à l'instant t.

Question 2 : Justifier que la probabilité que le mobile retourne à l'origine est nulle si t est

impair. Question 3 : Écrire un algorithme qui simule une marche aléatoire et qui renvoie la valeur de t pour laquelle la particule revient pour la première fois à l'origine. Question 4 : Modifier l'algorithme précédent de manière à simuler un nombre N de marches aléatoires (N saisi par l'utilisateur), et à calculer le temps moyen de premier retour à l'origine pour la particule.

Éléments de solutions

On donne les solutions sous forme de pseudo-code et une implémentation en langage Python. Cet exercice se programme aussi bien sur calculatrices TI 83 ou CASIO 35 + USB.

Question 1

Algorithme en langage naturel Programme avec Python Variables : t est un entier naturel strictement supérieur à 1 i est un entier naturel x est un entier relatif k est un entier aléatoire entre 1 et 2

Initialisation : Lire t

x prend la valeur 0 i prend la valeur 0

Traitement : Tant que i

< t k prend aléatoirement la valeur 1 ou 2 Si k = 1

Alors x prend la valeur x

Sinon x prend la valeur x + 1

Fin Si

i prend la valeur i + 1

Fin Tant que

Sortie : Afficher x from random import

x = 0 t = int(input("saisir t")) i = 0 while i < t : k = randint(1 , 2) if k = = 1 x = x 1 else : x = x + 1 i = i + 1 print("x = " , x)

Attention ! utiliser =

= et pas = pour la condition Programme avec TI 83 Programme avec Casio 35 + USB

Prompt T

0 X 0 I

While I

quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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ALGORITHMIQUE AU LYCÉE

Thème 1 - Probabilités

Question 2 : On propose l'algorithme suivant :

Entrée Affecter à n la valeur 10

Affecter à S la valeur 0

Affecter à R la valeur 0

Traitement

Fin Pour Affecter à R la valeur 1 S

Sortie

Afficher R

Élémen

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Ici, X

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X suit la loi

Entrée

Traitement

Sortie

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Entrée

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Fin Pour

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S la valeur 0

R la valeur 0

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A - Bulletin n°

4 faire

Première S)

°24 du groupe

Contact : co

X suit la

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Éléments de solutions

Question 1

Initialisation : Lire t

Traitement : Tant que i

Alors x prend la valeur x

Sinon x prend la valeur x + 1

Fin Si

Fin Tant que

Sortie : Afficher x from random import

Attention ! utiliser =

Prompt T

While I