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2 On note λ1 > λ2 les valeurs propres de A, E1 et E2 les sous-espaces propres Exprimer an et bn en fonction de α, β, λ1 et λ2 (b) En déduire que le polynôme caractéristique de C est (−1)nXn et que Cn = 0 (a) Montrer que si A = expB, alors AB = BA Pour quelles valeurs de m la matrice est-elle diagonalisable?

a) Calculez en fonction de x et y les coordonnées de −−→ 5) Dans un rep` ere (O ;I ;J) on donne les points A(−2; 2), B(1; −3), C(9; −1) et D(6; 4) Si les vecteurs AB et AM sont colinéaires, alors les points A, B et M sont alignés Les points M, N et P sont colinéaires ssi MN et MP sont colinéaires, c'est-`a-dire ssi :

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II Vecteurs 1 Définition : Définition : Soit t la translation qui envoie A sur A', B sur B' et C sur C' Les couples de points (A ; A'), (B ; B') et (C ; C') définissent un vecteur caractérisé segments [AB] et [CD] ont donc même longueur et même direction Méthode : Exprimer par lecture graphique un vecteur en fonction d' autres

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Démontrer que pour toutes les parties A, B, C de E on a (A△B)△C Faire de même avec S3 pour l'exprimer en fonction de n et S2 Déterminer le reste modulo 8 de a2 +b2 +c2 et celui de 2(ab+bc+ca) Montrer que pour tous entiers m et n, le nombre mn(m60 −n60) est divisible par Exercice 705 Centrale MP 2001

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b IJ = 2,5 cm c AB = 2,5 cm 3 Si les droites (IJ) et (AB) sont parallèles et si AB = 4,4 cm , alors on c Quelles égalités de quotients peut-on en déduire ? d b Placer un point M sur la droite (AB) et un point N sur la droite (AC) tels que : AM AM AB AN AC MN BC 2 Réciproque du théorème de Thalès Réciproque

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1- Déterminer dans R, les vecteurs vitesses des points A, B et C En déduire le vecteur )R/S( Ω 4) Exprimer la condition de roulement sans glissement de ( 2

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C et N sont deux points de (d') distincts de A Si les points A, B, M d'une part et les points A, C, N d'autre part sont alignés dans le même ordre et si AM AB = AN AC , alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles Les points M, A, B d'une 2 donc le triangle ABC est rectangle en A P 22 Si un triangle est inscrit dans un

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gauche en tout point, puis que f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires Exercice 5 (Un lemme de comparaison série-intégrale pour les fonctions F , puis exprimer F 2 En déduire, pour tous a, b > 0, la valeur de l'intégrale I (a, b) = 2 Montrer que M est un crochet de Lie, c'est-à-dire s'écrit sous la forme AB − BA