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Chapitre2
Formesquadratiq ues
Youkno w,thereareamill ionwaystodiein thewest,C lin ch.There's,uh,famine , disease,gunfights...And,uh, wild animals.Youknow,likesnakes. And,you know,the funnything is,youd on'teven havetoget bitten.
AMillionWaystoDieintheWest,Se thMacFarlane( 2014)
2.1Prérequis surlesformesquadratiques
Touteslespreuvess ontdans[3 ,Chap.V,AnnexesAetB].
Formesquadratiqu es,diversesapproches
Lesformes quadratiquespeuve ntêtreabordéesdedi ff
érentesfaçons:parles fonctions
polynômes,parlesformesbilin éairessym étriques ,parlesmatrices,et même,dansune certainemesure,par leurscônesisotrop es. Commençonsparunepremièredéfi nition.So itEunespa cevectorielde dimension finiensuruncorps K.Sil'onfixeunebasedeE,onpeutassimilerl'espaceEàl'espace vectorielK n .UneformequadratiquesurEestalorstout simplementune fonctio npoly- nômehomog ènededegré2surK n
àcoe
ffi vérifierquecettedéfi nitionned épendpasdelaba sechoisie. Silaca ractéristiquede Kestdifférentede2,cequel'onsupposeraparlasuite,la théoriepartdubonpied. Ene ff et,dansce cas,ilestéq uivale ntdedéfiniru neform e quadratiqueqsurEetuneformebilinéaire symétriquebsurE⇥Evialesform ules b(x,y)= q(x+y)q(x)q(y) 2 ,q(x)=b(x,x). L'étudedes formesqua dratiquesseramènea lorsàcelledesformesbilinéaires symé- triques.Celapermet,entre autres,de définirlanotiond'orth ogonalité:deux vecteursx 87
88CHAPITRE2.FORMESQUAD RATIQU ES
Laforme bilinéairea ssociéeàqpermetenoutreded éfiniru neapplicationl inéair e b entreEetsondual E ;explicitement:
8(x,y)2E⇥E,h
b (x),yi=b(x,y), oùE désigneledualde Eeth·,·i:E ⇥E!Kdésigneicil'évalua tion(d'une forme linéaireenunv ecteur). Grâceà cetteapplica tionlinéaire,nous pouvonsfairelelienavec lesmatrices! On peutene ff etdéfin irlamatrice(symét rique) delaformeq(oudelaforme b)dansune basefixéeepar mat e (q)=ma t e,e b b(e j ,e i
1i,jn
oùe désignelabasedua lede e. SixetydansEs'écriventrespectivementXetYencolonnedans labasee,alorson obtientlesformules: q(x)= t XA q
X,b(X,Y)=
t XA q Y, oùA q désignelamatricede qdanse.
Plusprécis ément,sil'onnoteA
q =(a ij ),alorsqs'écrit q(x)= n X i=1 a ii x 2 i X
1i a ij x i x j ,avecx= n X i=1 x i e i Celasignifi equel'écrituredeqentant quefonctionpolynomialeestunique,puisque lamatrice A q esten tièrementdéterminéeparb,etquebeste ntièrementdéterminéeparq (encaract éristiquedi ff érentede2).Dita utrement,o npeutidentifierpolynôme etfonction polynômeendegréhomogè ne2(c'est-à-dire,pourlesformesquad ratiques). Ilconv ientégalementdedéfinirlenoyauetle rangd'uneforme quadrat ique.On appelle noyaudeblenoy audumorphismeassocié b Kerb=Ker
b ={x2E:8y2E,b(x,y)=0}. Ondit quebestnondégénér éesiso nnoyauestréduit à{0}.Danscecas,lamatriceA q estinv ersible. Plusgénér alement,onappellerangdeq,lerangdel'applicationlinéaire b .C'e st aussiler angdela matriceA q dansn'importe quellebase. Pourtermin er,àuneformequadratique,on peu tassocier lecôneisotrope C q ={x2E,q(x)=0}, quel'on neconfondrapas avec lenoyaudelafo rme! Onver radansl'exercice 2.2.3,quesile côneisotropeestnonréduitàzér o,ilcaracté- riseqàscalaireprès 1 1 L'idéeestque laq-orthogonalitésevoitsurlecôneisotr ope. 2.1.PRÉREQUISSU RLESFORMESQUADRATIQUES 89
Ondi raquedeuxformesq uadratiquesqetq
0 sontcongruentess'ilexiste'dansGL(E)tel queq 0 desfo rmesquadratiques,etl'o nentendpar"classificatio ndesfo rmesquadratiques» l'étudedescla ssesd'équiva lencepourcetterela tion. Sil'on munitEd'uneb asee,onpeutvoirlacongruencedefaçonmatricielle: A q 0= t PA q P,avecP:=mat
e Ondi radoncquedeuxm atrices(symétr iques)AetBsontcongruentess'ilexisteune matricePdeGL n (K)tellequeB= t PAP. Onpeu tconsidérerla congruencematriciellede deuxfaçons: •soitA=mat e (q)etB=mat e (q 0 ),avecq 0 etqcongruentes,etdanscecas Pestla matriced'unauto morphisme'telque q 0 =q'; •soitA=mat e (q)etB=mat e 0(q),etdanscecasPestlamatrice depassagede la
baseeverslabase e 0 Enfin,lanotion decong ruencesetransfère surles cônesisotropespuisque,siq 0 =q', alors C q 0=' 1 (C q Onclassi fieraainsiàl'envilescôn esisotropes,les formes quadratiques,lesmatri cessy- métriques.On pourraaussi déciderd'a ffi nerlacla ssification endemandantque',resp.P, n (K).SurR,legroupepourra êtrelegroup eorthogonal(classification euclidienne),oulegroupe dessimilitudes. Invariantspourlaclassification
Laqu estionquel'onseposeàprésent estlasuiv ante:q u'est-ce quedeuxformesquadra- tiques,ou deuxmatricessymétriques,cong ruentes,o ntencomm un?I nversement,com- mentreconnaître deuxformesquadratiques,oudeux matrices,co ngruentes?O nattaque icilepro blèmeprofo nddelarecherc hed'invariantsdeco ngruence. C'estsousform ematriciell equel'onvoitlem ieuxlesinvariants,puisquelesmatr ices serapporten tauxapplicationslinéairesquel'onconnaîttrèsbien. Lerang estdéjàunpre mierinva riantintéres sant. Ene ff et,comme t PAPetAsont
deuxmatrices équivalentes,elles ontmêmerang. Ledéterminan t,quiétaituninva riant desimilitude,n'estenreva nchepa suninvariant decong ruence,puisquedet( t PAP)=det(A)det(P)
2 .Toutefois,decetteégalité,onpeut récupéreruninv arian tutile:lediscriminantd'uneforme quadratique;ils'a gitdudéter- minantdemat e delaba seechoisie.Parexemple,surR,lediscriminantestjustelesignedudéterminant cartoutcom plexe estuncarré. Lanotio ndepositivitésurleco rpsR,dueaufaitquec'estuncorpsordonné,est intéressanteàexploiterdans lecadre delaclassificationdesformesquadratiques surR:à uneforme quadratiqueq,onassociesasignature(s,t)oùs,resp.t,désignelemaximumde ladimension d'unsous-espaceFdeEtelqueq|Festdéfinie positive, resp.définienégative. 90CHAPITRE2.FORMESQUAD RATIQU ES
Rang,discr iminantetsignaturesontlestroisinvarian ts decongruenceàdispositionde l'étudiantenmastère.Maiscommen tsecal culent-ils?Enfait,commei lssontinv ariants, ilspeuven tsecalculermodulocha ngemen tdebase.C'estlaméthodede Gauss,quifournit l'outildecalculleplus e ffi cace,voir[3,V-1 .3.1]pourun edescript ion.Cetteméthodenous permetd'écrireqsouslaforme q(x)= X r i=1 i i (x) 2 i 2K oùrdésignelerangde qet(` i 1ir
estunefamille libredeformes linéairessurE.Cel aa uneconséquence matricielle:sil'o ncomplètelafamille libre(` i 1ir
enunebase deE alorsdansla base(anté)-dual edeE,lamatricedeqestmat(q)=diag(↵ 1 r ,0,...,0). Cetteécriture aplusieursavantages:tou td' abord,ellepermetdevisualis erlavaleur durang rdela matrice, etdonc,delaformequadra tique.Lediscrimina ntvaut,qua nt à lui,0sirIls'agitlà d'unpr oblème plusdi ffi cile,etla réponse dépenddr astiquementducorpsde base!Voiciunta bleaudonnantl'inva riant total,ainsiquelaforme normaleassociée,en fonctionducorpsconsidér é.Préci sonsquelaformen ormaled'uneclassedecongruenc e donnée(déterminéepar l'inva rianttotal) désignel'élément"leplussimplepossible», tantqu'àfaire,leplus proch edel'identitépo ssible ,del'orbiteen question.Rappelons quetoute matriced'uneorbite estcongruenteà tousleséléments appartenantà lamême orbite.Cetteremarquep ermetdevoirq uel'onpeut,danslathéori e,secontenterdela formeno rmale,plusfacileàconsidérer,dechaque orbitepour pouv oirétablirles résultats relatifsàl'étudedesfo rmesqua dratiques 2 CorpsKInvarianttotalFormenormale
CRang:r2{0,...,n}
I r 0 00 RSignature:(s,t);s+t6n
0 I s 00 0I t 0 000 1 A F q Discriminant:2K
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[PDF] FORMES QUADRATIQUES - Licence de mathématiques Lyon 1