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1Autour
pratiqu salgébriqu sPoincaré(1878-1885)FrédéricBrechenmacher1Résumé.CetarticleproposeunregardtransversalsurlestravauxmenésparPoincaréentre1878et1885.L'étudeestamorcéeàpartirdelacourtenote"Surlesnombrescomplexes»publiéeen1884.Cettenoteparaîtisoléedansl'oeuvredePoincaréetpermetpourcetteraisondeproblématiserlescloisonnementsdisciplinairesrétrospectifsselonlesquelsontsouventétédécritslestravauxdecedernier.Lanoteaeneffetétéprésentéecommelepointd'originedelareconnaissancedurôlejouéparl'algèbredesmatricesdanslesthéoriesdesalgèbresassociativesetdeLie,ouvrantainsilavoieauxdéveloppementsderelationsentrecesdeux théoriesetàdepremi ersrésultatssurleursstructur es.Nousmontronscependantquel'identitéoriginelledecettenoten'étaitpassous-tendueparunenotionouunethéoriemaisparunepr atiquealgébriquedeclassificationdegroupes linéairesparréductioncanonique(ditedeJordan) deleurssubstitutionsetquis'avèrejouerunrôletransversaldanslestravauxdePoincaré.Nousquestionnonsalorslesinnovationsindividuellesquemanifesteunetellepratiqueauregarddedifférenteséchellescollectivesdecirculationsdestextes.Nousmontronsenparticulierlerôlejouéparl'appropriationparPoincarédestravauxdeJordansurlesgroupeslinéairesauprismedel'héritaged'Hermitesurlaréductiondesformesalgébriques.Cethéritagemêléirriguel'ensembledestravauxdePoincaréentre1878et1885.Ilestenparticulieraucoeurdetravaux-jusqu'àprésenttrèspeucommentés-surlathéoriealgébriquedesformesainsiquedudéveloppementdelacélèbrethéoriedesfonctionsfuchsiennes.EnamontdestravauxdePoincaré,l'articleétudieaussileproblèmedelacirculationduthéorèmederéductioncanoniquedeJordandanslesannées1870.Enaval,nousquestionnonslerôledestravauxdePoincarépourlatransmissiond'unhéritagejordano-hermitiendanslesprocédésdu"calculdesTableaux»te lsqu elesdévelopperontplustard desmathématicienscommeAutonneouChâtelet.Intro
uctionHenriPoincaréestsouventprésentécommel'undesderniersgrandsmathématiciensuniversels.Safigurecontrasteavecunedynamique despécialisationetdemorcellementdessciencesmathématiques.2Defait,cesavantétaitcontemporaindelamontéeenpuissancededisciplinescentréessurdesobjet s(groupesfinis,groupescontinus,algèbresassociat ivesetc.)faceaux"branches»en lesquellessedi visaient traditionnellementl'organisationdessciencesmathématiquesenFrance(Analyse,Géométrie,Mécanique,Physiquemathématiqueetc.).MaissilesinterventionsdePoincarédansdesdisciplinesvariéesontsouventétémisesaucréditdecapacitésindividuellesexceptionnelles,cesmêmesinterventionspeuventaussis'analysercommetémoignantd'organisationscollectivesantérieuresauxdécoupagesdisciplinaires.CetarticleprendpourpointdedépartunecourtenotepubliéeparPoincaréen1884etintitulée"Surlesnombrescomplexes».Dupointdevuedesdisciplinesetthéoriesqu'ellesollicite(algèbresassociativesetdeLie),cettenotesembleisoléedansl'oeuvredusavant.3Pourcetteraison,elleasouventétépriseenexempledelacapacitédePoincaréàsaisirdesélémentsessentielsdethéoriesdiverses.Nousmontreronsaucontrairequelanotede1884témoigned'unepratiquealgébriquetransversaleauxtravauxmenésparPoincaréaudébutdesannées1880.L'arithmétiqueetl'algèbrefigurentparmilesprincipauxpointsaveuglesdel'historiographiedelapremièredécenniedetravauxdePoincaré.Toutesdeuxseprêtentd'ailleursmalauxdécoupagesdisciplinairesparlesquelsontétéorganiséeslesOEuvrescomplètesdusavant.4Eneffet,l'algèbren'avaitpasauXIXesiècleenFranceunstatutdedisciplinederecherche[BrechenmacheretEhrhardt1Univ.LilleNorddeFrance,F-59000LilleU.Artois.LaboratoiredemathématiquesdeLens(EA2462),rueJeanSouvraz,S.P.18,F-62300Lens,Francefrederic.brechenmacher@euler.univ-artois.frCetravailabénéficiéd'uneaidedel'AgenceNationaledelaRecherche:ANRCaaFÉ("ANR-10-JCJC0101").2Pourunregardd'ensemblesurlestravauxdePoincaréetleurhistoriographie,voir[Nabonnand2000].3Poincarénes'esteneffetpasintéresséàlathéoriedesalgèbresassociativesetsesprincipauxtravauxsurlesgroupescontinussontplustardifsetpubliésaprèslamortdeLieen1899(commelethéorèmeditdePoincaré-Birkhoff-Witt).Voir[Schmid1982]et[Ton-That&Tran1999].4Cesclassementspardisciplines,loind'êtreneutres,ontétélargementbaséssurl'analysefaiteparPoincarédesesproprestravaux[Poincaré1921],analyseellemêmebaséesurlaformeinstitutionnelledescandidaturesàl'Académie.
22010].D'uncôt é,ellerenvoyaittraditionnellementàunedisc iplinescolaire(l'"algèbreélémentaire»)ouintermédiaire(l'"algèbresupérieure»)menantverslepointdevueplusélevédel'Analyseenseignéeàl'Écolepolytechnique.D'unautrecôté,l'algèbreétaitsouventconsidéréeparlessavantscommeunensemblede procédés auservicedesdifférentesbranchesdesscience smathématiques.L'introductionduCoursd'analysedel'Écol epolytechniquedeCamileJo rdanprésentaitainsil'algèbrecommeun"liencommun »ent recesbranches[Jordan1882,p. 1].L'identité"algébrique»deprocédésopératoiresét aitparconséquentintrinsèquementliéeauxphénomènescollectifsdetelsprocédésentredifférentsdomaines.QuestionnerlespratiquesalgébriquesdePoincarédonnedoncl'occasiondeporterunéclairagenondisciplinaireettrans versalsurlapr emièredécenniedestravauxdugéomètre.Defait ,lesmathématiquesdontnousallonsnouspréoccuperdanscetarticlecommelaréductioncanoniquedeJordanoulecalculdesTableauxtraversenttouslestomes desOEuvresdePoinca ré.Nousretrouveronsnotammentlelienentrel'émergencedelacélèbrethéoriedesfonctionsfuchsiennesetdestravauxsurlesformesquadratiquesetcubiques.Bienqu'iln'aitétéquerarementcommentéparl'historiographie,celienajouéunrôleclédansl'attributionparPoincaréd'uneplacecentraleàlanotiondegroupeàpartirde1881-1882.Laquestionprincipalequenousadresseronsàcespratiquesalgébriquesestcelledesarticulationsentrel'innovationindividuelleetdifférenteséchellesdedimensionscollectivesettemporelles.Enbref:enquoi peut-onpar lerdeprati quesalgébriquesdePoincaré?No usquestionneronsnotammentlesrôlesjouésparleshéritagesdestravauxdeCharlesHermiteetdeJordan.Lestravauxdupremiersurlaréductiondesformesalgébriquess'inscrivaientdanslechampderecherchedel'analyse-algébrique-arithmétiquequis'étaitdéveloppéentrelesannées1820et1850[Goldstein2007,p.391-396].Commenousleverrons,c'estparlamédiationdel'"idéederéduite»decethéritagenondisciplinairequePoincarés'appropriaitlestravauxdusecondsurlesgroupeslinéaires.UneétudefinedelacirculationdelapratiquederéductioncanoniquedeJordandanslesannées1870nousdonneraaussil'occasiondepréciserl'héritagedecedernierdansl'évolutiondelathéoriedesgroupes.Afindemener untelprogramme,ils'avèreavantto utnécessairedenousaffranchirdesorganisationsdisciplinairesquinoussontcontemporaines.Parmicelles-ci,l'algèbrelinéaireestparticulièrementproblématiquecarnonseulementellen'existaitpasentantquedisciplineauXIXesiècle,maissesprincipauxobjetsn'avaientpaslecaractèreélémentairequ'ilsrevêtentaujourd'hui.Dansl'objectifd'éviterlesécueilsde sapproche srétrospectives,lano te"Surlesnomb rescomplexes»nousserviradepointd'ancrageàpartirduquelnousconstruironsprogressivementuneproblématiqueetlesdifférentscorpuspertinentspourl'étudedecelle-ci.Danslapr emièrepartiedecetarti cleno usquestionnonslerô leatt ribuéàcettenoteparl'historiographiedel'algèbre.NousmontreronsquecerôlefaitéchoàunelecturerétrospectivedecetextedanslecadredelathéoriedesalgèbresassociativesetdeLie.5Nousverronsenrevanchequ'auseindel'oeuvredePoincaréellemême,l'identitédelanote"Surlesnombrescomplexes»n'étaitpasportéeparunethéoriemaisparunepratiquealgébriquepermettantlaclassificationdegroupeslinéairesparréductioncanoniquedeleurssubstitutions.Nousreviendronsalorsdanslasec ondepartiedecetartic lesurl'introductionparJordandelaréductioncanoniquedessubstitutionslinéairesdanslecadredetravauxsurlesgroupesrésolublesdanslesannées1860.NousprésenteronsensuitelacirculationdelaréductiondeJordandanslesannées1870,circulationcomplexeettr ansvers aleàd iff érentscadresthéoriquesparmilesquelsl'intégrationalgébriquedeséquationsdifférentielleslinéairesetlathéoriealgébriquedesformes.Danslatroisièmepartie,nousverronslamédiationd'unhéritagehermitienchangerlanaturedecettepratiquederéductioncanoniquelorsdesonappropriationparPoincaré.Nousquestionneronsalorsplusavantl'apportindividueldePoincaréquantauxdéveloppementsultérieursdelapratique5Surlanotionhistoriquedelectured'untexte,voir[Goldstein1995].
3deréductiondes"Tableaux»ainsiqu'auregardd'autrescadresaveclesquelsinterféraitPoincarécommelesmatricesdeJames-JosephSylvester.1.R gar
srétrosp ctifssurlanot "Surl snombr scompl x s»Présentonstoutd'abordrapidementendestermesactuelslanote"Surlesnombrescomplexes»de1884.6Cetextesepropos ede"ramener»leprob lèmedelaclassificationdes systèmes hypercomplexes,c'estàdiredesalgèbresassociativesunitairesetdedimensionsfiniessurℂ,àceluidelaclassificationdesgroupescontinus.Etantdonnéunsystèmehypercomplexedebasee1,...,endontlatabledemultiplicationestdéfinieparlesn3constantesdestructures!!"!,tellesque!!!!=!!"!!!!!!!onas socieàunélémentgénéri que!=!!!!!!!!,la transfo rmationlinéaire!!:!→!=!"(représentationrégulière).Cettetransformationestlinéairepourlesvariablesxietyketpourlesparamètresujtelsque7!!=!!"!!!!!!!!!!!!!Laloidecompositiondestransformationsdu"groupe»peutêtreassociéeàlamultiplicationdusystèmehypercomplexe:TuTv=Tuv.ChaqueélémentdebaseeideHpeutainsiêtrereprésentéparunematriceEideMn(ℂ)etleproduit!!!!parleproduitmatricielEiEj.Unematricecorrespondantàunélémentgénérique!!=!!!!!!!!estnonsingulière,l'ensembledesmatricesnonsingulièresformantunsousgroupedeLieànparamètresdeGln(ℂ),groupedeLiedontles"transformationsinfinitésimales»formentl'algèbredeLieMn(ℂ)(lecrochetétantlecommutateur).Ceprocédédereprésentationrégulièrepermetl'étudedelastructuredesalgèbresassociativesparl'étudedesstructures polynomiales d'invariantspolynomiauxcommel'équation caractéristiquedet(Tu-ωI)=0.Jusqu'àlapremièredécennieduXXesiècle,laplupartdesapprochessurlaclassificationdesalgèbre sassociativesoudesgroupes continusallaients'appuyersurdetels procédéspolynomiaux.Cesprocédésn'enétaientpasmoinsvariés.Danssanotede1884,Poincaréabordecesproblèmesdeclassificationparl'examendes"formescanoniques»ditesdeJordanauxquellespeuven têtreréduiteslessubs titutionslinéairesàcoefficientscomplexes.Detellesform esdépendentdelamu ltiplicitédesrac inesdel'équa tioncaractéristique.Poincarérésoutd'abordenquelquesligneslecasdesgroupescommutatifdontildonneuneclas sificationenenréduisantleurssubstitution sauxtypessuivantsd eTableauxcanoniques:8e
d c b a 0000 0000 0000 0000 0000 ,abcde abcd abc ab a 0 00 000 0000 ,cd cd c ab a 000 000 0000 000 0000 ,e cd c ab a 0000 000 0000 000 0000,6Cetexteestdisponibleàl'adressehttp://gallica2.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3055h.image.f740.langFR7Danslesanné es1890,Cartanallaitdésignersous lenomde"groupesbilinéaires»le smonoïdesformés detellestransformationsànvariablesetnparamètresindépendantsdansleséquations duquellesparamètresentrentlinéairement.8Cerésultatrevientàdirequelesmatricescommutantavectouteslesmatricescommutantavecunematricedonnéexs'exprimentcommedespolynômesscalairesdex.Voir[Wedderburn1934,p.106]pouruneformulationmatricielle.
4Lerestedelanoteestalorsconsacréaucasnoncommutatif.Ens'appuyantsurdesdécompositionsdeTable auxàleursformescanoniques ,Poinc aréintroduitunedistinctionentredeuxtypesde systèmesde"nombrescomplexes",selonqueceux-cicontiennentounonlesquaternions.Entermesactuels,cesdeux systèmesprennen trespectivement lesformesetℂ+ℂ...+ℂ+NoùNestleradic aldel 'algèbre.Lespremierspo ssèdent unesériedecomposition d'idéauxbilatèresdedimensions1,2,...,netcontiennentunesousalgèbreisomorpheàl'algèbredesquaternions.1.1 Lanot
Poincarécomm point
'origin Leproblèmedesnombrescomplexesseramènefacilementausuivant:Trouvertouslesgroupescontinusdesubstitutionslinéairesànvariablesdontlescoefficientssontdesfonctionslinéairesdenparamètresarbitraires.[Poincaré1884d,p740].Destravauxconsacrésàl'histoiredel'algèbrelinéaireontattribuéauxquelqueslignesci-dessusuneoriginedesrelationsmathématiquesentregroupescontinus(deLie)etsystèmeshypercomplexes.AlasuitedeThomasHawkins[1972],KarenParshall[1985]aqualifiéde"traditionanglo-américaine»destravaux d'auteurscommeArthurCayleyouBenjaminPeircequ'elleacaractérisésparlareconnaissancecommuned'unactefondateur,la"découverte»desquaternionsparWilliamRowanHamiltonen1843,ainsiqueparunepositionépistémologiquepartagéeconsistantà"considérer[les]algèbrescommedesobjetsmathématiquessatisfaisantcertainespropriétés».D'unautrecôté,lequ alificatifde"traditiondelath éoriedeLie»aété utilisépourdésignerdesrecherc heseffectuéessurlecontinenteuropéen"danslebutd'unemeilleurecompréhensiondesgroupesdetransformationsetnondesentitésalgébriquesétudiéespourellesmêmes».Lanotedu3novembre1884viendraitalorsjeterunpontentredeuxthéoriesidentifiéesàdeuxairesgéographiquesetculturelles.Plusencore,larencontreinitiéeparPoincaréseraitàl'origined'uneunificationthéoriquepermettantl'emploidesméthodes"intrinsèques»delathéoriedesgroupes(indépendantesduchoixd'unebase)pourlesclassificationsdesalgèbresetouvriraitlavoieà"desdécouvertessignificativesdelathéoriedeleurstructure»:9Bythelate1890s,asaresultoftheresearcheffortsonbothsidesoftheAtlantic,hypercomplexnumbersystemscametodefineadistinctareaofmathinvestigation[...].Poincarérecognizedthat(1)thealgebrasanalogoustothequaternionswhichSylvesterwasstudyingwerealgebrasofmatrices,(2)eachelementinthesealgebrasdefinedalineartransformation,and(3)thetheoryofcontinuoustransformationgroupsdevelopedbyLiecouldbeappliedtotheselineartransformations.[Parshall1985,p.227&262].Prenantplacedanslecadred'histoiresdethéoriesalgébriques,cescommentairessurlanotede1884sesontattachésàensituerl'origine.Lespremièreslignesdutexteontétéinterprétéescommeénonçantqu'àun élémentud'unealgèbreA,ilestpossib led'associerunetransf ormation,latranslationàgaucheparu,permettantdereprésenterAcommeunesousalgèbredeMn(ℂ),ellemêmesusceptibled'êtremunied'unestructured'algèbredeLieassociéeaugroupedeLieGln(ℂ).L'originedelanoteaalorsétéattribuéeàla"reconnaissance"parPoincarédurôleessentieljouéparl'algèbredesmatricesàlafoisdanslathéoriedesalgèbresassociativesetdanscelledesalgèbresdeLie.Plusencore ,cettereconnaissanceaété qualifiéede"préliminaireindispensable»auxdéveloppementsultérieursdesdeuxthéories:Itwas undoubtlySy lvester'sma trixrepresentationof quaternionsandnonionsthatpromptedPoincaré'sremark.Infact,theexamplesthatPoincarégaveof"bilineargroups"(asweshallcallthemfollowingE.Cartan)werepresentedinmatrixform[...].Alsoofparticularimportanceistherecognitionofthespecialclassofhypercomplexsystemswhichweshalltermcompletematrixalgebras.BythiswemeansystemswhoseelementscanbeexpressedintheformΣaijeijwherethen²basiselementseijmultiplyaccordingtotherule9AusujetdessystèmeshypercomplexesautournantdesXIXeetXXesiècles,voir[CartanetStudy1908].Surlesgroupescontinusettransformationsinfinitésimales,voir[Burkhardt,Maurer,Vessiot1916].
5eijekl=δjkeilInterestincompletematrixalgebrasandrecognitionthatthe(complex)quaternionsareofthistypewasanecessarypreliminaryto,andinstrumentalin,thediscoveryoftheimportantroletheyplayinthegeneralstructuretheoryofhypercomplexsystems.[Hawkins1972,p.249].1.2 Structurationmathématiqu tstructurationhistoriqu L'attributionàlanotede1884d'unrôled'originereflèteainsiunearchitecturemathématiquedontnoussommescontemporains,présentantl'algèbredesmatricescommeunpréliminaireélémentaireàdesdéveloppementspluscomplexesenalgèbrelinéaire.Plusencore,nousavonsvuquecettearchitecturemathématiquesous-tenduneprésentationdelanotecommeunpontentredeuxairesgéographiquesetculturelles.LarencontreinitiéeparPoincaréseraitnonseulementàl'origined'uneunificationthéoriquemaisaussi,etenconséquence,àlabased'unesortedeculturecommune.Or,commenousallonslevoirparlasuite,uneattentionàlatechnicitédespratiquesmisesenoeuvredanslanotede1884amèneàreconnaîtrequecetextenejoueenfaitpasderôleparticulierdanslarencontredegrandscourantsderecherches.Defait,enraisondurôlejouéparl'algèbrelinéairedansl'architecturemathématiquequinousestcontemporaine,l'anachronismeterminologiqueportépardesélémentsdecette disciplinecomme lesmatri cesimpliquerapidemen tdesrésonnancesconceptuelles.Or celles-cisedoublentsouvent d'unana chronismesociologiqueconvoquantdes situationssocialesinadéq uatesquifontobstac leàl'analysedeséch angesscienti fiquesoudelavalorisationdesrésultats.10Afind'éviteruntelécueil,ilfautrestituerlessignificationsqu'unmêmetexteapuprendreaucoursdel'histoireenquestionnantlesidentitésmathématiquesquiluiontétéattachéesdansdifférentscontextes.Defait,lessignificationsdonnéesparPoincaréàsontravailde1884nesontpaslesmêmesquecellespourlesquellesGeorgScheffersattribueraàcettenoteen1890uneoriginedesesrésultatssurlastructuredessystèmeshypercomplexes.Ellesdiffèrentégalementdurôled'originequiseraprêtéàcettemêmenotepardesmathématiciensqui,danslesannées1930,attribuerontunstatutuniverselàlanotiondematrice.Ils'avèredoncnécessaired'historiciserdetellescatégoriesd'originesenquestionnantparallèlementcellesdediffusionsquileurssontsouventattachées.Commenousallonslevo ir,lemi roir,parlequelstructurationshistoriqueetmathématiq uedethéoriesalgébriquessemblentserefléterl'uneetl'autre,aenparticulierétépoliparlesmathématiciensquiontconféréàlanotiondematriceuncaractèreélémentaireauseind'architecturesmathématiquesquisesontmisesenplace,localement,àpartirde1890maisn'ontfaitl'objetd'uneculturepartagéequ'àpartirdesannéestrenteduXXesiècle[Brechenmacher2010].11Plusprécisément,Scheffersavaitattribuéàlanotede1884ladistinctionentredeuxtypesd'algèbresassociativesquiétaitàlabasedesapropreapproche.SurlemodèledestravauxdeSophusLie,Scheffersavaiteneffettransposéladistinctionentregroupecontinurésoluble(intégrable)etnonrésolubleauxsystèmeshypercomplexesdequaternionsetde"nonquaternions»[Scheffers1891,p.293].LadistinctiondeSchefferspermettaitdespremiersrésultatssurlesstructuresdesalgèbresassociativesetallaitjouerunrôleimportantsurdestravauxultérieurscommeceuxdeTheodorMolien.ScheffersétaitpourtantparvenuàunetelledistinctionindépendammentdePoincaréetn'avaitd'ailleursattribuéunrôleàcedernierquerétrospectivement,surinsistancedeSophusLieluimême.12Ilavaiteneffetconstatédemaniè reempiriquesurdestablesdemultiplicationsdesystèmeshypercomplexesquel'invariantpolynomialdonnéparl'équationminimaledusystèmesedécomposeenfacteurslinéaireslorsquelesystèmenecontientpasdecopiedesquaternions.10Ils'agitlàd'unrésultatde[Goldstein2004,p39]quiéclairelapositionsingulièredeFermatdansuneconfigurationsocialedepratiquesetdesavoirsdontildominelefonctionnementetlesenjeuxpropres.Voiraussi[Goldstein1999,p.189].11L'écrituredel'histoirepardestextesmathématiquesaétéétudiéeàdenombreusesreprises.Voir,entreautres,[Cifoletti1995],[Goldstein1995],[Brechenmacher2006b&2007a].12Voir[Hawkins1972&2000].AvantScheffers,Studyavaitdéjàadresséen1889uncourrieràPoincarédanslequelilattribuaitàlanotede1884l'originedesrelationsentresystèmeshypercomplexesetgroupesdeLie.
6Danslemêmetempsqu'ilattribuaitàlanotedePoincarélapremièrereconnaissancedesrelationsentrealgèbresassociat ivesetdeLie,Scheff ersconféraitauxmatricesunstatutélémentairesedéclinantàdeuxniveaux.Cesdernièresétaienteneffetprésentéesàlafoiscommeexempleleplussimpled'algèbreassoci ativeoudeLieetcomm euncasparticulieressentieldanslespremi ersrésultatsdeclassificationetdestructure.LaprésentationhistoriquedonnéeparScheffersdesaproprethéorieenreflétaitl'organisationmathématique:elleétaitprésentéecommeunifiantdestravauxcontinentauxdeCarlGauss,HermannGrassmann,GeorgFrobeniusouLieetdestravauxanglo-américainscommeceuxdeCayley,Peirce,WilliamCliffordetc.13Plustard,danslesannées1930,letraitéintituléThetheoryofmatricesdeCyrusColtonMacDuffeeattribuaitàPoincarél'originedurésultatselonlequeltoutealgèbreassociativeunitairesimplesurℂpeutêtrereprésentéecommeunesousalgèbred'unealgèbredematrices,versionquiallaitêtrereprisepar[Hawkins,1972]et[Parshall,1985].Cethéorèmedonnaitunejustificationthéoriquedel'introductiondelanotiondematriceetlaréférenceàlanotedePoincaréintervenaitdoncdèslespremièrespagesdutr aitédeMacDuffee.Maiscetou vragedéveloppaitaussiunehistoi redesmatricesetallaitd'ailleurssouventêtrecitécommetelavantquenesoientpubliésdestravauxhistoriquesàpartirdesannées1960-1970.Ilproposaiteneffetsystématiquementdesnotesvisantàidentifierlesorigi nesdesmathématiquesexpos éespardesréf érencesbib liographiques.CommechezScheffers,etcommedanslastructurationhistoriquementionnéedanslepremierparagraphedupré sentarticle,ce tteréférenceappa raissaitàla croisée detrav auxcontinentauxetanglo-américains.Auneéchellepluslarge,silesnombreuxtraitéscontemporainsdeceluideMacDuffeeétaientloind'offrirdes présentation sthéoriquesethistoriquesunifiéesdesmatric es,ilss'articulaienttousnéanmoinsautourd'unemêmestructuregénérale.Seloncettedernière,àlareconnaissanced'uneoriginedu"conceptdematricecommenombrehypercomplexe,dueenessenceàHamiltonmaisplusdirectementàCayley»[MacDuffee1933,p.4]succédaientdes"redécouvertesmultiples»del'algèbredesmatricessurlecontinent,commechezEdmondLaguerre(1867)ouFrobenius(1878).LanotedePoinca réintervenaitda nslecad redecettesecon deorigi necommepermettantde"percevoirlesmatricesdansleurgénéralité»,préliminaireàune"diffusion»largedecettenotionsurlecontinent.1.3Problématiqu sNousavonsvuqu'unelecturedelanotedePoincarédanslecadredel'architecturedelathéoriedesalgèbresenafaitlepointd'origined'unedesnotionsélémentairesdecettethéorie.Cettelecturehistoriqueetmathématiqueestapparuelocalementdanslesannées1890ets'estperpétuéejusqu'ànosjours malgrétous lesdéveloppementsultérieursdesmathématiq uesetdel'histoiredesmathématiques.Ellenousestparconséquentcontemporaineetpeutdonnerl'illusiond'uncaractèreuniversel.Pourtant,l'inscriptiondelanotede1884danslathéoriedesalgèbresisolecelle-cidansl'oeuvredePoincaré.Enoutre,lecaractèrefondateurattribuéàcetextesembledifficilementconciliableaveclefaitquel'approchequ'ilmetenoeuvreneseraenréalitépaspoursuivieparlesmathématiciensdéveloppantlathéoriedessystèmeshypercomplexesavantÉlieCartan[1898].14Parailleurs,enl'absenced'algèbrelinéaire,laquestiondelanotiondematrices'avèredélicate.Eneffet,sileterme"matrice»étaitbienemployéparPoincarédanssanotepourf aireréf érenceaux travauxde Sylvester,iln'étaitpasmobilisédemanièreopératoiredanslesdémarchesetrésultatsdusavant.Nousverronsplusloinquecetermen'étaitenréalitéquetrèsrarementemployéparPoincaréetprenaitunesignificationtrèsdifférentedecellesquiluisontattachéesaujourd'hui.Ilnousfaudra13LemémoiredeScheffersfaisaitnotammentsuiteàdestravauxdeDedekind,KroneckeretStudysurdessystèmescommutatifsquiavaientétéimpulséspardesremarquesdeWeierstrassen1884surl'arithmétiquedesentiersdeGauss.14SanspourautantquecederniernefasseexplicitementréférenceautextedePoincaré.Voiràceproposl'interprétationdonnéepar[Poincaré1903]delareprésentationdesgroupesdeFrobeniusdanslecadredel'approchedeCartandesgroupescontinusetsystèmeshypercomplexes.
7doncquestionnerl'édificemathématiquequinousestfamilierenneprenantpaspouracquislecaractèreélémentairedesmatricesoumêmelefaitquecetteterminologieidentifieunenotionouunethéorie.Identifierlesinno vationsquePoincaréintroduisaitdanssanotede188 4nécessiteradoncdedévelopperdesproblématiquesalternativesauxquestionnementsrétrospectifsentermesd'originesetdiffusionsdenotionsabstraitesouthéoriesunificatrices.Ilnousfaudraenparticulierêtreattentifauxsignificationsprisesparlanotedansd'autrescorpusqueceuxcorrespondantaudécoupagedisciplinairerétrospectifdel'algèbrelinéaire.Lesenjeuxdecesproblématiquesnesontpaslimitésàdesrectificationsd'anachronismesouàunequêted'érudition.Eneffet,ceux-cisontintrinsèquementliésàdesquestionsrelativesàlamanièredontlespratiquesetsavoirscirculentàdifférenteséchellescollectivesettemporelles.Pourprendreencomptedetelsphénomènesdecirculation,ils'avèrealorsnécessa ired'envisagerunehistoirec ulturelleco mplexequi neseréduisepas àdes écolesoucourantsderechercheidentifiésà desair esgéogra phiquesouàdesinstitut ions.De nombreuxtravauxontnotammentmisenévidencelesrôlesjouéspardesréseauxdetextesdontlesidentitéssontsouventpr oblématiquesmaisquis'avèrentnéanmoinsnécessairesàlami seenévidenced'innovationsindividuellesauregarddedynamiquescollectives.152.Un pratiqu local :ré
uctioncanoniqu tr prés ntationanalytiqussubstitutionsCommenousallonslevoirdanscettepartie,uneattentionàlatechnicitédespratiquesalgébriquesmisesenoeuvred anslano tede1884permetd'éclairerlaplacedece textedan sl'oeuvredePoincaré.16Leterme"pratiquealgébrique»,telquenousl'employonsici,viseàquestionnerdesidentitésalgébriquessansdissocieraprioridesprocédésmathématiquesetdesaspectsculturelspropresauxgroupesdetextesdanslesquelsdetelsprocédéscirculent.17Commenousleverronsparlasuite,lerecoursdePoincaréàlaréductioncanoniquedessubstitutionsintroduiteparJordanen1868-1870nes'identifiepasàuneméthodeauseind'uncadrethéoriqueexplicite.Maisilneselimitepasnonplusàunusagemécaniquedeprocédésopératoiresetmanifesteaucontrairedesvaleursépistémiquesdesimplicitéetdegénéralité.2.1.Lanot
1884aus in
l'oeuvrPoincaréConsidéronstoutd'abordlesréférencesexplicitesetimplicitesdelanotede1884.Lapremièrelignecontientl'uniqueréférenceexplicitedutexte:"lesremarquablestravauxdeM.Sylvestersurlesmatricesontattiréden ouveaul'attentiondanscesdernierstempssurlesnomb rescomplexesanaloguesauxquaternionsdeHamilton».Plusprécisément,PoincaréexplicitelarelationentresestravauxetceuxdeSylvesterdelamanièresuivante:Sil'onconsidère[...]ungroupedonnantnaissanceàdesnombrescomplexesàmultiplicationnoncommutative,etunesubstitutionque lconqueSdeceg roupe,sil'onfor mel'équationauxmultiplicateursdecettesubstitution(équationauxracineslatentesdesmatricesdeM.Sylvester),cetteéquationauratoujoursdesracinesmultiples.[Poincaré1884,p.740]LaréférenceauxmatricesnevisedoncpasàidentifierunethéorieunificatricemaisàmettreenrelationdestravauxrécentsdeSylvesteravecle"problème»deladéterminationde"types»degroupesànparamètresauquelétaitconsacrélanote.Enoutre,letransfertderésultatssurlesgroupesauxnombrescomplexesprocèdedelareconnaissanced'uneidentitéentredesprocédéspolynomiauxmobiliséspourcesdeuxtypesdequestionsetquiassocientdesproblématiquesdecommutativitéàdesoccurrencesderacinesmultiplesd'uneéquationspécifique.Poincarés'appuie15Voirnotamment[Goldstein1999,p.204-212]et[GoldsteinetSchappacher2007b,p.72-75].16Unprocédésimilaireaétéemployépar[Goldstein1993]pourl'étudesurletempslongdesrelationsentreanalysediophantienneetdescenteinfinie.17Lesensspécifiqueprisiciparleterme"pratiquealgébrique»necorresponddoncpasàauxusagesquipeuventêtrefaitsduterme"pratiquemathématique»engénéralpourdistinguerlespratiquesdetravaildemathématiciensdesformesfinalesdonnéesauxrésultatsmathématiques.
8eneffetsurl'efficacitédesapratiquederéductioncanoniquepouraborderdesproblématiquespourlesquellesSylvesteravaitélaboré,commenousleverronsplusloin,sapratiquedes"équationsauxracineslatentes».Maisd'autresréférencessontimplicitementportéesparlevocabulaireemployé.Ainsi,l'étudedesgroupesàparamètres(référenceàLie)manifestel'ancragedelanotedansunesériedetextespubliéeparPoincarédepuis1881.Cestextesabordentdesproblèmesdeclassificationdessousgroupesfinisdugr oupelinéaireàlasu itedestravauxdeJordan (termes"substitutions»,"faisceaux»et"formecanonique»)etdeFélixKlein("substitutionparabolique»).Cevocabulairerévèledoncdesliensversd'autrestravauxdePoincarécontemporainsdelanotedu3novembre1884.Unexamendecestravauxrévèleuninvestissementfréquentdelapratiquederéductioncanoniquesurlaquellelanotes'avèrebasée.Le11févrierdecettemêmeannée,Poincaréavaitainsiadresséàl'Académieunenoteintitulée"Surlessubs titutionslinéaires»,qu ivenaitrépondreàdestravauxrécentsd'EmilePicard[1882-1883],etdontl'objetétaitdegénéraliserauxsubstitutionsàtroisvariables(surℂ),qui"conserventl'hypersphère»x2+y2+z2=1,etdelaforme:(x,y,z;zcybxa
czbyax ,zcybxa zcybxa byax,Cetteclassificationprocédaitd'unedistinctionentresubstitutionsloxodromiques,hyperboliques,elliptiquesetparaboliquesàlasuitedestravauxde[Jordan,1868b]surlesgroupesdemouvementpuisdesclassificationsdonnéespar[Klein,1875]et[Jordan,1876]auxsousgroupesfinisdeGl2(ℂ).Lanotedu11février1884s'inscrivaitdoncdansuneproblématiquedegénéralisationdesgroupesfuchsiensaux"groupeshyperfuchsiens»,problématiquequePoincarédéveloppaitensefendantd'unenouvellenotedèsle25février[Poincaré,1884b].Commedanslestravauxde[Jordan,1878]quiétendaientauxsousgroupesfinisdeGl3(ℂ)uneclassificationdonnéeen1876auxsousgroupesfinisdeGl2(ℂ),cettegénéralisationétaitd'abordsupportéepar laréductioncanoniquedelareprésentationanalytiquedessubstitutionsenfonctiondelamultiplicitédesracinescaractéristiquesα,β,γ:Onpeut,parunchangementconvenabledevariables,amenercettesubstitutionàl'unedesformessuivantes,quel'onpeutappelerformescanoniques:(A) (x,y;ax,βy,γz),!!!!!!!,(B) (x,y,z;ax,βy+z,βz),!!!!,(C) (x,y,z;ax,βy,βz),!!!!,(D) (x,y,z;ax+y,ay+z,az),(E) (x,y,z;ax,ay+z,az),[Poincaré,1884a,p.349]Cettepratiqu eallaitêtreinv estiedansd'autrestravauxdePoincaréafindesuppo rterdesgénéralisationsderésultatsobtenuspour2variablesà3oumêmenvariables.Ainsi,lapremièrepartiedumémoire"Surlesgroupesdeséquations linéaires»publiéen1 884dans ActaMathematica,étaitentièrementconsacréeàl'exposédelaréductioncanoniquedessubstitutionslinéairesdenvariables[Poincaré,1884e,p.300-313].Lerecoursàcettepratiquedépassaitd'ailleurs18C'est-à-dire,l'étudedessousgroupesdiscretsdePSL2(ℝ)etdeleurdomainefondamentaldansleplanhyperbolique.LecasdessousgroupesdePSL2( ℂ)etdespolyèdresdel'espacehyperboliqueétaitdénommé"groupeskleinéens».
9lecadredesgroupesdiscontinuscommelorsdeladéterminationdesformesalgébriqueshomogènesdenvariablesreproductiblespardesgroupescontinusnoncommutatifs[Poincaré,1883b].19Envisagéedupointdevuedelapratiquederéductioncanoniquequiyestmiseenoeuvre,lanotede1884surlesnombrescomplexesetlesgroupescontinusestdoncloind'apparaîtreisoléeauseindel'oeuvredePoinca ré.Elles'insèreaucontraire auseind'uncor pusdetextesdominépardesproblématiquesdeclassificationdesgroupesassociésauxéquationsdifférentielleslinéaires.Cecorpuslui-mêmes'insèredansunensembledetravauxcontemporainsdeceuxdePoincarésurlesthèmesdeséquationsauxdérivéespartiellesetdeséquationsdifférentielleslinéairesetimpliquantdesauteurscommeLazarusFuchs,Frobenius,WilhelmThomé,Lie,Klein,FrancescoBrioschi,JulesTannery,PaulAppel,GeorgesHalphen,GastonFloquet,Picard,ÉdouardGoursat,FeliceCasoratietc.JeremyGrayabie nmisenévi dence ladi versitéd'approchesdesacteur sdel'époque:développementenséries,analysecomplexe,invariantsetcovariants,groupesdesubstitutionsoudetransformationsetc.[Gray2000].Cettediversitéreflètenotammentunediversitédepratiquesdessubstitutionsoudeséquations.Ellesemanifesteaussiparunevariétéd'analogiesavecl'étudedeséquationsalgébriques:gr oupescontinusdeLie,notion d'équationirréductiblede Frobenius,groupesdemonodromiedeJordan,recoursparPoincaréàlanotionderésolventede"Gallois»(sic.)tellequel'avaitmobiliséKlein,revendicationd'unethéorieditedeGaloisdifférentielparPicard[Archibald2011].Dansuntelcontexte,lerecoursparPoincaréàlaréductioncanoniquedessubstitutionslinéairesseprésentecommeunedesspécificitésdestravauxdecedernier.Cettepratiquederéductiontranchaiteneffetparrapportauxapprochesparlesquellesd'autresauteursabordaientlesproblèmesposésparl'occurrencederacinecaractéristiquesmultiples.Lie,parexemple,s'appuyaitsuruneapprochegénériqueécartantleproblèmedelamultiplicitédesracines,20FrobeniusouKleinutilisaientdesinvariantspolynômiaux,lesdiviseursélémentairesintroduitsparWeierstrassen1868,tandisqueBrioschi,FuchsouTanneryrecouraientàdestrigonalisationdessystèmeslinéaires[Tannery1875,p.135-138].Leproblèmeposéparlaplacedelanotedenovembre1884dansl'oeuvredePoincarénousconduitdoncfinalementàinterrogerlaspécificitédelaréductioncanoniquemiseenoeuvreparcedernier.Orceproblèmedoitêtreenvisagéàuneéchellepluslargequelestravauxdesannées1870-1880surleséquationsdifférentielles.Eneffet,lareprésentationanalytiquedessubstitutionsavaitétémiseenavantaudébutduXIXesiècleparLouisPoinsotpuisÉvaristeGaloisàlasuitedestravauxdeGausssurleséquationscyclotomiques.21DanslestravauxdeGalois,elles'étaitaccompagnéedeprocéduresderéductions(oudécomp osition)desgroupesquis'articulaient,d'unepart, auxsubstitutionsfractionnaireslinéairesdedeuxvariablesdeséquationsmodulaireset,d'autrepart,auxsubstitutionslinéairesdenvariablesassociéesàauxgroupespr imi tifsrésolubles.Or cesdeu xtypesdesubstitutionsavaientparlasu itesous-tendudeuxformes distinctesd'héritagesdestravauxdeGalois:lepremieravaitparticulièrementétéétudiéparHermitedanslesannées1850[Goldstein2011],tandisquelesecondavaientétéabondammentdéveloppéparJordandanslesannées1860[Brechenmacher2011].19DesconsidérationssurlesgroupesdeLieaccompagnaientaussilestravauxsurlesgroupesfuchsiens.Parexemple,afindemontrerquecertainesclassesd'équationdifférentiellesrelèventbiendel'étudedegroupeslinéairesdisco ntinus,Poincarépouvaitsupp oserlaprés enced'ungroupecontinude substitutionsin finitésimalespouraboutir àunecontradiction[Poincaré1884c&1885].20L'approchegénériquedeLieaétédiscutéeendétailparcomparaisonauxtravauxindépendantsmenésàl'époqueparKillingdansuncadregéométriqueetquis'appuyaientquantàeuxsurlesdiviseursélémentairesdeWeierstrass[Hawkins1972&2000].LeremplacementdesméthodesdeKillingparlaréductioncanoniquedeJordanfaitl'objetde[Poincaré1901,p.216-252]21Ausujetdela"théoriedel'ordre»dePoinsot,voir[Boucard2011].
uction ssubstitutionslinéair sch zJoran(1860-1870)Commenousallonslevoirplusendétaildanscettesection,laréductioncanoniquedessubstitutionslinéairessurdesentiersmod.pavaitd'abordétéénoncéeparJordanen1868danslecadred'uneétudedessousgroupesrésolublesdeGl2(Fp).Elleavaitensuiteétéprésentéesouslaformed'unthéorèmedanslech apitreduTraitédessubstitut ionsetdes équationsalgébriquesconsacréaugroupelinéaireGln(Fp)[Jordan1870,p.114].Dèsl'introductiondelath èsequ'ilavaitsoutenueen1860,Jo rdanavaitattribuéu ncaractère"essentiel»àune"méthodederéduction»qu'ilavaitrattachéaucadredela"théoriedel'ordre»enrevendiquantl'héritagedePoinsot.Cettethéorieavaitétéprésentéecommetransversaleàlathéoriedesnombres(c yclotomie,congruences),l'algèbre(équations,substitutions),l'analyse(groupesdemonodromie etlacetsd'intégrationdeséquationsdiffére ntielleslinéaires),lagéométrie/topologie(cristallographie,symétriesdespolyèdresetdess urfaces(y comprisdeRiemann))etlamécanique(mouvementsdessolides),thèmesquiallaientreprésenterl'essentieldespréoccupationsdeJordanjusqu'en1867-1868.22Enparticulier,leprocédéderéductiond'ungroupeensous groupesavaitétéen visagécommeunesorted edévissageparanalogieavecladécompositiondumouvementhélicoïdald'unsolideenmouvementsderotationetdetranslation.Cetteanalogieétaitnotammentdéveloppéedansl'étudede1868surlesgroupesdemouvementdesolidespolyédrauxpourlaquelleJordans'inspiraitdestravauxdecristallographiedeBravais.CommeJordandevai ts'enapercev oirenconcluantsathès e,sa"méthodederéduction»généralisaitunrésultatdéjàénoncéetparti ellementdémontréparGalois.Pluspréci sément,cederniers'étaitappuyésur cequ'ilavaitdésignéco mmela"méthodededécompositi ondeM. Gauss»deséquationscyclotomiques[Neumann2007],pourréduireleproblèmedelarecherchedesgroupesrésolublestrans itifs(correspondantàdeséquation sirréductibles)aucasd esgrou pesprimitifs.SoitGungroupetransitifopérantsurunensembleV.UnsousensembleV1deVestappeléunblocd'imprimitivitésiV1≠∅etsipourtoutg∈G,soitV1g=V1ouV1g∩Vi=∅.SiV1estuntelblocetV1,V2,...,VmsesorbitesdistinctesV1gpourg∈G,alors{V1,V2,...,Vm}estunepartitiondeV.Gestditprimitifs'iln'existeaucunblocnontriviald'imprimitivité.SoitàprésentGungrouperésoluble,transitifetimprimitif.Unepartitionmaximaleensystèmesd'imprimitivités{V1,V2,...,Vm}peutêtremiseencorrespondanceavecunedécompositiondeGensousgroupesnormauxΓ,Γ',Γ''...telsque:-Γ,Γ',Γ'',...laissentrespectivement stablechaquesystèmeVi,cesgrou pessonttousisomorphesàungroupeΓ.-legroupeΔ,depermutationdesensemblesVi,estisomorpheaugroupequotientG/Γn.Lechoi xd'unedécompos itionmaximalegara ntitlaprimitivitédesgroupesΔetΓquipermettentdedévisserGc'est-à-diredel'écrirecommeleproduitsemi-directdeΔetΓnLagénéralisationduprocédéd'indexationdesracinescyclotomiquesàl'aided'uneracineprimitivedel'unitég-quePoinsot avaitcommentée n1808en termesd'"ordre»et de"groupes»[Boucard,2011]-permetderépartirlesracinesd'uneéquationimprimitiveenblocsd'imprimitivitécorrespondantàunedécompositiondessub stituti onsdugroup eassociéendeuxformes de22Cettearticulationdedifférentesproblématiquesmanifesteunedimensioncollectiveàuneéchelleeuropéennequenousdésignonssouslenomduchampderecherchedessolidesréguliersdans[Brechenmacher2012]afindemettreenavantunmotifcommunàunensembledetextesmêlantarithmétique,algèbre,analyse,géométrie-topologieetcinématique.LesinterprétationsdeSchwarzetKleinsurlespolyèdresetlessurfacesdeRiemannenlienavecleséquationsdifférentielleslinéairesserattachentnotammentàdestravauxdeJordandanscechamp.L'unitédecechampsedisloquecependantprogressivementdanslesannées1880-1890pourdisparaîtreautournantdusiècleavecledéveloppementdelathéoriedesgroupesetdelatopologie.
11cyclesselonqueceux-citranslatentlesélémentsd'unbloc,forme(xx+1,)ouopèrentparrotationsurlesblocseux-mêmes,forme(xgx).Galoisavaitalorsdémontréqu'ungroupeprimitifpermutantunnombrepremierpdelettresestrésolublesietseulementsisessubstitutionsontune"formelinéaire»(xax+b).GaloiscommeJordanutilisaiteneffetleterme"linéaire»pourcequenousdésignerionscommeunsousgroupedugroupeaffineAGl2(Fp).Plusencore,ilavaiténoncéunegénéralisationdecerésultataucasd'ungrouperésolubleprimitifpermutantq=pnlettres,nquelconque.Ungrouperésolubleprimitifnepeuteneffetpermuterqu'unepuissanced'unnombrepremierdelettres:cerésultatavaitétéénoncéparGaloisetJordandevaittenterdeledémontrerdansunsupplémentajoutéàsathèsede1860[Jordan1861].23Danssathèse,Jordans'appuyaitsurlefaitqu'ungroupeprimitifrésolubleGapoursousgroupenormalAminimall'ensembledessubstitutionsdelaforme(x,y,z,...;x+α,x+β,x+γ,...),quiformentdoncentermesactuelsunproduitdirectdegroupescycliquescorrespondantaugroupemultiplicatifducorpsfiniFq.JordandémontraitalorsquelessubstitutionsdeGagissantsurAprennentuneformeanalytiquelinéaire:ou|x,x',...ax+bx'+...,a'x+b'x'+...|Entermesactuels,ungroupeprimitifrésolubleopèresursongroupenormalminimalcommeunsousgroupedeGlm(Fq).Commel'avaitfaitGaloispoursoncritèrederésolubilitédeséq uationsprimitivesdedegrépremier,ladémonstrationdeJordanconsistaitàengendrerlaformeanalytiquedessubstitutionslinéairespardescompositionsdetransvections(xx+1)etdilatations(xgx).Plustard,dansleTraitéde1870,larecherchedelareprésentationanalytiqueduplusgrandgroupeayantpoursou sgroupenormalunp-groupeabélienélémentaireallaitêtreprésentéecommesuscitantl'"originedugroupelinéaire»[Jordan1870,p.91].Entermesactuels,legroupelinéaireétaitainsidéfinicommelenormalisateurd'unp-groupeabélienélémentaire(luimêmeunespacevectorielsurFp).SiFestunsousgroupenormalminimald'ungroupefinirésolubleG,alorsFestunp-groupeabélienélémentaireetGagitsurFcommeungroupedetransformationslinéairesetpeutdoncêtrereprésentéparGln(Fp).24Laméth odedereprésentationl inéairee mployéeparJordans'inscrivaitda nsuneméthode plusgénéraledontcedernierallaitfaireunusagefréquentdanslesannées1870etconsistantàdévisserungroupeàpartirdesonsocle.SiFestunsousgroupenormalminimaldeG,lecentralisateurCG(F)estnormal(ils'agitdusocledeG)etG/CG(F)estisomorpheàunsousgroupedeAut(F)(danslecasétudiéparJordan,F,abélienélémentaire,estsonproprecentralisateur;ils'identifiedoncaveclesocledeG)[Dieudonné1962].CetteoriginedugroupelinéairejouaitenfaitunrôleclédanslapiècemaitresseduTraité,àsavoirleLivreIVconsacréàlarecherchedessousgroupesrésolublesmaximauxdugroupesymétrique.Danscecadre,la"méthodederéduction»de1860s'étaitmuéeenune"gigantesquerécurrencesurledegréNdel'équation»[Dieudonné1962,p.xxxix]quiprocédaitd'uneréductiondugenredugroupedu"général»au "simple»:gr oupestransitifs,primitifs,linéaires,symplectiquesetc.Lerôleessentielattribuéaugroupelinéairetenaitàcequecederniers'avéraitlepremiermaillondelachaînederéductiondontlessubstitutionsdisposaientd'unereprésentationanalytique.Danslesannées 1860,lestravau xdeJordans'étaientfocaliséssurl'étudedess ousgroupesrésolublesdeGln(Fp).Lemémoire"Surlarésolutionalgébriquedeséquationsprimitivesdedegré23Voiràcesujet[Neumann2006].24Danslesannées1890,cethéorèmeallaitêtrereformulécommeénonçantquelegroupedesautomorphismesd'unp-groupeabélienélémentaireestungroupelinéaire.Voir[Brechenmacher2011].......
xbxax bxaxx12p2»,publiéen1868dansleJournaldeLiouville,visaitainsiàdonnerlaclassificationdessousgroupesrésolublesdeGl2(Fp),uneproblématiquequel'auteurprésentaitcommedépassantlesexplorationsmenéesparGaloisdansson"Fragmentd'unsecondmémoire»[Jordan1868a,p.113].C'estdansceconte xtequeJordan avaitd'abordintroduitlafo rmecanoniquedess ubstitutionslinéairespourdeuxv ariables.Ils'agissaitdereprésenterdesclassesdegroupes parlafo rmeanalytiquedeleurssubstitutionsenrecherchantun"changementd'indices»telquel'actiondeS=|xy,ax+bya'x+b'y|seréduiseàmultiplierz=mx+ny"parunsimplefacteurconstant»Sz≡kzmod.p.Leproblèmeamenaitàconsidérerlesystèmededeuxéquationslinéairesma+na'≡kmetmb+nb'≡km:[...]quidéterminerontlerapportmnpourvuquel'onprennepourkuneracinedelacongruencekbb
aka zz ,uiu ziz p ,uzu zzDeuxansplustard,laréductioncanoniquedonnaitcorpsàl'undesprincipauxthéorèmesduchapitrecléduTraitéconsacréauxsubstitutionslinéaires.Ils'agissaitderamenerunesubstitutionlinéaireA=|x,x',... ax+bx'+..., a'x+b'x'+...,...| depnindices"àuneformeaussisimplequepossible».CommedanslecasdelaréductiondesgroupesimprimitifsopéréeparJordandanssathèse,cetteformeétaitobtenueenarticulantladécompositionpolynomialedelacongruencecaractéristiqueàuneréductiondelaformeanalytiquedelasubstitutionenfonctiondel'actiondecelle-cisurdesblocsdesindices.Entermesactuels,ladémonstrationdeJordanprocédaitd'unedécompositiond'unespacevectorieldedimensionfiniesuruncorpsfinisousl'actiond'unopérateurlinéaire(lanotionsous-jacented'espacevectorielvé hiculecependantuneinterprétation géométriqu eimpliciteabsentedel'approchedeJordanen1870).25LerésultatmettaitenévidencelerôledemodèlejouéparladécompositiondelaformelinéaireendeuxformesdereprésentationsanalytiquesdecyclesdanslatraditiondestravauxdeGauss,PoinsotetGalois:Cetteformesimple...................................................................
000111111011111111
00000000000000
υυK
yKzuKyzKyKyuzy yKzuKyzKyKyuzy13deréduir elarecherchedesgroupesrésolubleslinéairesàce lledesgroupesrésolublessymplectiques.2.3.Lacirculation
laré uctioncanoniqu JoranLethéorèmequeJordanavaiténoncédanslecadredelathéoriedessubstitutionsallaitdonnerlieuàunepratiquederéductioncanoniquequecedernierallaitinvestirdansdescadresthéoriquesdiverscommeleséquationsdifférentielleslinéairesàcoefficientsconstants(1871-1872),leséquationsdeFuchs(1874&1876-1880),lesform esquadratiquesetbilinéaires(1873-1874),l'intégrationalgébriquesdeséquationsdi fférentielleslinéairesdesdeuxième, troisièmeetq uatrièmeordres(1876-1879),la"théoriealgébrique»etla"théoriearithmétique»desformesd'ordrenetdesformesquadratiques(1879-1882).Decefait,lacirculationdecettepratiquealgébriqueseprésentecommeunphénomènecomplexequineseréduitpasàladiffusiond'unthéorèmeenfonctiondesonefficacitéoudelacapacitédescontemporainsàensaisirlesenjeux.CesphénomèneestillustréparlarésolutionquedonnaitJordanen1872auproblèmemécaniquedesconditionsdestabilitédespe titesosci llations.DepuisleXVIIIesiècle,ceproblèmeavaitétéassociéàl'interprétationmécaniqueselonlaquellelesoscillationsd'unecordechargéedenmasses(oudesvariationsséculairesdesplanètessurleursorbites)peuventêtredécomposéesenoscillationsdencordeschargéesd'uneseulemasse.En1871,Jordanavaitcependantdémontréqu'unsystèmelinéairenonsymétriquedenéquationsnepeutseréduireengénéralànéquationsindépendantes.Néanmoins,avait-ilinsisté,l'intégrationd'untelsystèmepeutserésoudre"trèssimplement»parréductioncanoniq ue.Enterm esactuels,Jo rdanavaitainsitransférésonprocédéd eréductioncanoniquedessubstitutionslinéairesdeGln(Fp)àdessubstitutionsdeMn(ℂ),nonplusconsidéréscommeformantdesgroupesmaisdeschangementsdevariablesdesystèmesdifférentiels.LarésolutiondeJordan,présentéeàl'Académiedessciencesenréponseàunproblèmeposéauxgéomètresparunmembre de lasec tiond'astronomie,substituaitainsiàun ereprésentationmécaniquetraditionnelledeladécompositiondessystèmeslinéaires,uneinterprétationalgébriqueissuedelathéoriedesgroupes.Maiscettesolutionimpliquaitaussidesubstituerdesvaleursdegénéralitéetdesimplicitéauxbesoinsd'effectivitédesastronomes:laréductions'avéraiteneffetnoneffectivepourdessystèmesdecinqéquationsoupluspuisqu'ellenécessitaitquesoientextraiteslesracinesd'uneéquationalgébriquededegréégalaunombred'équationsdusystème.Or,lecadredeséquationsdifférentielleslinéairesallaitaussioffriràlaréductioncanoniqueunedimensionpubliquenettementpluslargequeceluidelathéoriedessubstitutions.Eneffet,c'estessentiellementdanscecadrequelerésultatallaitêtremobilisédurantlestroisdécenniesàvenir,leplussouvent implicitementcommechezPoinca ré.Durantcettepériode,lesrares référencesexplicitesàlaréductiondeJordan,commecelledonnédanslecadreduproblèmedeFuchsparAtreatiseonlineardifferentialequations[Craig1889],serapportaientàlaversiondonnéedansletroisièmevolumedesCoursd'analyse[Jordan1887]etnonauthéorèmeduTraitédessubstitutions.Acontrario,laréductiondeJordanétaitnonseulementabsentedestraitésd'algèbremaisaussidesmanuelsd'analysetournésversl'enseignementcommeceuxde[Serret1886]oude[Laurent1890].Danscesdeuxcas,leproblèmedelamultiplicitédesracinesétaitabordéparunraisonnementtrèsclassiqueconsistantàrendrelesracinesinégalesparajoutd'unparamètreetàfaireensuitetendreceparamètrevers0[Laurent1890,p.151].Danslecasdeséquationscaractéristiquesdessystèmesd'équationsdifférentielles linéairesàcoefficientsconstants,ceraiso nnementavaitétéemployédepuisleXVIIIesièclepardessavantscommeJeanleRondd'Alembert,Joseph-LouisLagrangeouAugustin-LouisCauchy.Danslecassymétrique,quisepr ésentenota mmentpourlesystèmesdifférentielsissusdelamécanique,ceraisonnementpeutêtrerenduconformeauxcritèresactuelsderigueurenappliquantlethéorèmedeBolzano-Weierstrassàunpassageàlalimitesurl'ensembledesmatricesorthogonales,ferméetbornédansMn(ℝ).Iln'estcependantpasgénéralisableaucasdessystèmesnonsymétriquescarceux-cinesontpasengénéraldiagonalisablesdansℂ.Alafindu
14XIXesiècle,lestraitésquiprop osaientdesdév eloppementsselonlescadres derigueurscontemporainscommeceluide[Darboux1889,p.405]oude[Sauvage1895]abordaientlescasd'occurrencederacinesmultiplesens'appuyantsurlesdiviseursélémentairesde[Weierstrass1868],éventuellementenrichisdeleursinterprétationsgéométriquesentermesd'intersectionsdesurfacesquadratiquestellesquedéveloppéesdanslathèsede[Klein1868].SilecadredeséquationsdifférentiellesavaitoffertauxtravauxdeJordanunedimensionpublique,lefaitquece stravauxaie ntétédiscutés n'impliquepasq uelespratiques sous-jacentesaientétéadoptées.Aucontraire,laréductioncanoniquedeJordanavaitétécritiquéedanslasphèrepubliquedel'Académiepoursagénéralitéetsanoneffectivité.Al'occasiondesatentativedecandidatureàlasectiondegéométriedel'Académieen1875,Jordans'étaitainsiplaintdes"bruitsdéfavorables»quicouraientalorssursestravauxqu'Hermiteavaitàcetteoccasionjugéinintelligibles.Lapr atiquederéduc tiondeJordan présentaitdes caractéristiquesmettantenje ulest atutdel'algèbre,lesrappo rtsentrerelationsgénéralesetob jetspar ticuliers,ainsiquede svaleursépistémiquesdesimplicitéetdegénéralité.Elles'accompagnaitd'unidéalqueJordanavaitmisenavantàplusieursreprisesdepuis sathèseetquiattribuaita uxrelationsentreobjetset classesd'objetsunstatut"essentiel»,primantsurl'étudedesobjetseuxmêmes.Entantquetel,cetidéaln'étaitpaslimitéàJordanetavaitéténotammentformulépardenombreuxautresauteursparmilesquelsPoinsotetGalois[Boucard2011].ChezJordan,ilimpliquaitunemiseaupremierplandepropriétésgénéralessur nvariablesobten uespardes"réductions»successivesjusqu'àdes expressions"lesplussimples».Or,danslasphèrepubliquedel'AcadémiequeJordanavaittouchéeendonnantunesolutionauproblèmebien connudespet itesoscillations,l'Algèbredésignai tunesciencederésolutionsdeséquationstandisquelequalificatif"algébrique"désignaitleplussouventdesprocédésdecalculssymboliquesutilisésdansdiversdomainessanspourautantprétendrestructurer,oumêmelier,cesderniers.Parailleurs,àlafinduXIXesiècle,lereprochedegénéralitéexcessiveétaitsouventadresséàdestravauxalgébriquesquelesautoritésdesmathématiquesenFranceopposaientsouventàlarichessedel'Analyse.AlamortdeJordanen1922,Picardconcluaitainsisanoticenécrologiquepourl'Académiedessciences:[Jordan]sejouaitaumilieudesdiscussionslesplussubtilessurdesconceptscommeceuxdegroupesoudesubstitutions,seplaisantàaborderlesquestionsdanstouteleurgénéralité,commes'ilcraignaitquequelqueparticularitél'empêchâtdevoirlesvraiesraisonsdeschoses.Jordanaétévraimentungrandalgébriste;lesnotionsfondamentalesqu'ilaintroduitesenAnalysepréserverontsonnomdel'oubli[Picard1922,p.211].C'estaussisurlascènedel'AcadémiedeParisqueLeopoldKroneckeravaitcritiquépubliquementen1874l'usagequ'avaitvoulufaireJordandesaréductioncanoniqueenthéoriedesformes.CedernieravaitcondamnélecaractèrefaussementgénéraldesclassesdesubstitutionsdenvariablesétudiéesparJordanparoppositionauxobjetsdelathéoriedesformes.Ilavaitsurtoutsoulignélecaractère"formel»ca rnoneffectif delaréduiteprésentéeparJordancomme"laplussimp le»[Brechenmacher,2007a].Plusgénéralement,Kroneckers'étaitfermementopposéauxprétentionsdeJordandeconféreràdesapprochesalgébriquesuneenvergurethéoriqueetavaitmisenavantunidéalselonlequelle"travailalgébrique[...]esteffectué auserviced'autresdisciplinesmathématiquesdontilreçoitsesfinsetdontdé penden tsesobjecti fs».En l'occurrence,l'arithmétiqueetsesméthodesdecalculsd'invariantscommelesfacteursinvariantsdescouplesdeformesbilinéairesqueKronecker introduisaità cetteoccasionafindedonner uneformulationeffectiveauthéorèmedesdiviseursélémentairesde[Weierstrass,1868].26Quelquesannéesplustard,Frobeniuspubliaitunesynthèseunifiantlesthéoriesdessubstitutions26Cettequerelleopposaitdeuxthéorèmesquenousconsidèrerionsaujourd'huiéquivalentsmaisquiavaientétéénoncésindépendammentetdansdesthéoriesdifférentes:diviseursélémentairesdeWeierstrasspourlescouplesdeformesbilinéairesetréductioncanoniquedeJordanpourlessubstitutionslinéairessurdescorpsfinis[Brechenmacher2007a].
15linéairesetdesformes bilinéairesetquadratiques [Frobenius1877-1879].Ce ttesynthèseallaits'imposercommeunethéoriederéférenceàuneéchellelargejusquedanslesannées1920.Or,nonseulementcettethéor iemettaitenavant lesnoti onsarithmétiquesdeclassed'équivalenceetd'invariantscommel'avaitvouluKroneckeretparoppositionaurôlecentralqu'avaitvouluattribuerJordanauxgroupes desubstituti ons,maiselles'organisaitautourduthéorèmedes diviseurs élémentairesdontlaréductioncanoniquedeJordann'étaitplusqu'uncorollairevalableuniquementdansle"caspart iculier»oùs era itpermisel'utilisationde"nombresimaginaire sdeGalois»[Frobenius1879,p.544],c'estàdirel'extractionderacinesd'équationsalgébriquesmod.p(dansdescorpsfinis,entermesactuels).2.4Ré
uctioncanoniqu téquationsiffér nti ll slinéair s(1871-1878)CommelemanifestelanotedePoincaréde1884,laréductioncanoniquedessubstitutionsn'étaitcependantpasrestéeconfinéeauxtravauxdeJordan.Ils'agitàprésentd'ensuivrelacirculationpresquesouterrainedanslesannées1870.C'étaittoutd'aborddanslecadredeséquationsdifférentiellesqueMeyerHamburgeravait,dès1873,rapprochélethéorèmedeJordanduthéorèmedesdiviseursélémentairesdeKarlWeierstrass,donnantaupremierunéchoéphémèrequiallaitlecondamneràdeveniruncorollairedusecond.Plusprécisément,Hamburgeravaitmontrécomm entl'approchedeJordansurleséquati onsàcoefficientsconstantspouvaitêtregénéraliséeauxéquationsdifférentielleslinéairesditesdeFuchs(àcoefficientsméromorphessurunerégionsimplementconnexedeℂ):!!!!"!+!!!!!!!!!"!!!+⋯+!!!!=0Ceséquations posaientnotammentdesproblèmesdeprolongementsanalytiquesdesolutionslocalesauvoisinagedesingularités.Danslatraditiondestravauxmenésdepuislesannées1850pardesauteurscommeCauchy,Puiseux,HermiteouRiemann,detelsproblèmesavaientétéabordésentermedecequeJordanavaitdénommédes"groupesdemonodromie»danssonTraité.27Pourdesvaleursinitialesfixées,sil'onconsidèreunsystèmefondamentalui(z)densolutionsdel'équationdifférentielledanslevoisinagedupointsinguliera,etsilavariablezdécritunlacetautourdea,lesnouvellesvaleursobtenuesp ourui(z)s'obtiennentàpartirdesvaleursinitialesparu netransformationlinéaireAdedéterminantnonnul.28En1866,Fuchsavaitmontréquesil'équationcaractéristiquedessubstitutionslinéairesassociéesàunpointsinguliern'aquedesracinessimples,lessolutionsprennentlocalementlaforme(x-a)αΦ(x-a)avecΦholomorpheauvoisinagedea.Encasd'occurrenced'uneracinecaractéristiquemultipled'ordrek,Fuchsavaitexprimélesystèmed'intégralesassociéessouslaformetriangulairesuivante:u1=xrΦ11,u2=xrΦ21+xrΦ22logx...uk=xrΦk1+...+xrΦk2logx+...+xrΦkk(logx)k-1En1873,Hamburgers'étaitappuyéàlafoissurlaréductioncanoniquedeJordanetsurlethéorèmedesdiviseursélémentairesdeWeierstrassafindecaractériserplusfinementlessolutionsencasd'occurrencederacinesmultiples.D'uncôté,cedernierthéorèmeavaitpermisàHamburgerdesurmonterunedifficultéqu'avaitpassésoussilenceJordanetconsistantàdistinguerentrel'ordrede27[Gray,2000]développeunehistoiresurletempslongduXIXesiècledecesproblématiquesetmetnotammentenévidencelerô lede modèlejo uéparl'équationhypergéométriquep ourl'objectifd'unecompréhensionglobaledes relationsentreintégralesdéfinieslocalementpardessériesentières.28Voir[Tannery1875]pouruneprésentationdétailléeetpourunénoncédelaréciproqueduproblèmedeFuchs.Cetteapprocheavaitétédévelo ppéepar Puiseuxen1850danslecad redel' analysecomplexedeCauchyet destravauxd'Hermitesurlesfonctionsabéliennes.Elleavaitfaitl'objetdelasecondethèsedeJordan.Cedernieravaitétudiédanslesannées1860lesgroupesdemonodromiedeséquationsdifférentiellesassociéesauxfonctionselliptiquesetabéliennes,notammentenrelationaveclestravauxd'Hermitesurl'équationmodulaired'ordre5.