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Examens corrigés

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Saclay, France

1. Examen 1

Exercice 1.

[Inégalité de Tchebyche v]Soitf:Rd!R+une fonction intégrable à valeurs positives qui est Lebesgue-intégrable. Pour >0, on pose : E :=x2Rd:f(x)> :

Montrer que (figure-bonus possible) :

m E61 Z f: Exercice 2.En dimensiond>1, soit une fonction mesurablef:Rd!R+à valeurs positives finies. (a)Rappeler la définition initiale de la mesurabilité d"une fonction, puis des caractérisa- tions équivalentes. (b)Montrer que, pour tout entierk2Z, les sous-ensembles : E k:=x2Rd: 2k1< f(x)62k sont mesurables dansRd. (c)Montrer que l"on a la réunion disjointe (figure-bonus possible) : 1[ k=1E k=x2Rd:f(x)>0: (d)Pour tout entiern2N, on introduit la fonction étagée : F n:=k=+nX k=n2 k1Ek; ainsi queF:=limn!1Fn. Montrer que l"on a en tout point : 12

F6f6F:

(e)Montrer que la fonction d"originefest Lebesgue-intégrable si et seulement siP1 k=12km(Ek)<1. 1

2 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France(f)Aveca;b2R, on introduit les deux fonctions :

f(x) :=8 :1jxjapour00autrement;etg(x) :=8 :1jxjbpourjxj>1;

0autrement:

En utilisant(e), montrer quefest Lebesgue-intégrable surRdexactement lorsquea < d, et aussi, montrer quegest Lebesgue-intégrable surRdexactement lorsqueb > d. Exercice 3.Sur un segment compact[a;b]bR, soitf: [a;b]!Rune fonction réelle quelconque, pas forcément bornée. Montrer qu"on peut néanmoins définir sans modifica- tion la notion de Riemann-intégrabilité def, mais montrer alors que si, pour tout" >0, il existe une subdivisionde[a;b]telle que la différence entre les sommes de Darboux supérieure et inférieure defsatisfait(f)(f)6", alors ceci implique en fait que fest nécessairement bornée. Exercice 4.SoientE1;E2;E3; :::Rdune infinitédénombrable d"ensembles mesurables emboîtés de manière décroissante les uns dans les autres : E kEk+1(k>1):

On suppose que pour un certain entierk0>1, on a :

mEk0<1:

En utilisant un théorème fondamental énoncé avec soin concernant les réunions dénom-

brables disjointes d"ensembles mesurables, montrer que (figure-bonus possible) : m 1\ k=1E k =limK!1mEK; puis trouver un exemple simple faisant voir que cette conclusion peut être mise en défaut sans l"existence dek0tel quem(Ek0)<1. Exercice 5.Le but de cet exercice est de montrer que recouvrir les sous-ensemblesERd par un nombrefinide cubes ne suffit pas à produire un concept réellement satisfaisant de mesure extérieurem(E). On se restreint ici à la dimensiond= 1. En effet, lamesure extérieure de JordanmJ(E)peut être définie par : m

J(E) =infJX

j=1 Ij; où l"infimum est pris sur les recouvrementsfinis : EJ[ j=1I j; par des intervalles fermésIj. (a)Montrer quemJ(E) =mJE pour tout sous-ensembleER. (b)Trouver un sous-ensemble dénombrableE[0;1]tel quemJ(E) = 1, tandis que sa mesure extérieure de Lebesgue vautm(E) = 0.

1.Examen 1 3Exercice 6.DansRd, soit un nombre fini quelconquen>1de sous-ensembles mesurables

1;A2;:::;AnRdde mesures finies :

m(A1)<1; m(A2)<1; ::::::; m(An)<1:

Montrer que (figure-bonus possible) :

m A

1[A2[ [An

16k6n(1)k1X

16i1 A i1\Ai2\ \Aik Exercice 7.Soitmla mesure de Lebesgue surRet soit" >0arbitrairement petit.
Construire un ouvert

Rdense dansRtel quem(
)6". Exercice 8.Soitf2C0c(Rd;R)une fonction réelle continue à support compact. Montrer que :
0 =limh!0Z
R df(xh)f(x)dx: Indication:Sisupp(f)B(0;R)pour un rayonR1assez grand, se limiter àh2Rdavec jhj<1et se ramener àR
B(0;R+1).
Exercice 9.Trouver une suite de fonctions en escalierfn: [0;1]!R+satisfaisant :
0 =limn!1Z
1 0 f n(x)dx; mais telle que, entoutpointx2[0;1], la suite numérique :fn(x)1 n=1 soit bornée et ne converge vers aucune valeur réelle.Indication:Utiliser la suite double F k;m(x) :=1[k1m ;km ]pour16k6m, illustrer son comportement pourm= 1;2;3;4,
décrire en mots les idées qui viennent à l"esprit, et enfin, rédiger en détail une démonstra-
tion rigoureuse.
4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France2. Corrigé de l"examen 1
Exercice 1.Commef:Rd!R+est Lebesgue-intégrable, pour tout réel >0, l"en- semble de sur-niveau : E :=x2Rd:f(x)> est mesurable dansRd. De plus, l"inégalité entre fonctions : f(x)>1E(x)(8x2Rd); est claire lorsquex62Ecarf(x)>0 =0par hypothèse, et vraie aussi lorsquex2E, carf(x)> =1, donc elle est satisfaite partout. Par intégration de cette inégalité, nous obtenons instantanément :Z R df>mE; ce qui donne bienm(E)61 R R df. R R df E EE m(E) Géométriquement, l"hypographe def:(x;y)2RdR+: 06y6f(x); dont la mesure(d+ 1)-dimensionnelle vautR R dfd"après un théorème du cours, est "coupé» à hauteur >0, et sur le sous-ensembleERdoùf > , on ne retient que la valeur-type, ce qui correspond à restreindre la considération au "pseudo-rectangle» de hauteuret de "base»E, lequel est entièrement contenu dans l"hypographe def au-dessus deE:(x;y):x2E;06y6(x;y):x2E;06y6f(x);
et par intégration "visuelle», on trouve bien que l"aire de ce pseudo-rectangle est inférieure

à l"aire intégrale totale :
mE6Z R df:
2.Corrigé de l"examen 1 5Exercice 2.(a) Une fonctionf:E! f1g [R[ f1gdéfinie sur un sous-ensemble
mesurableERdest ditemesurablesi, pour touta2R, son ensemble de sous-niveau : f
1[1; a[=x2E:f(x)< a;
est un sous-ensemblemesurabledeRd. Dans le cours, on a obtenu les caractérisations
équivalentes suivantes :
pour touta2R, l"ensemble :x2E:f(x)6a est mesurable; pour touta2R, l"ensemble :x2E:f(x)>a est mesurable; pour touta2R, l"ensemble :x2E:f(x)> a est mesurable; pour tout couple de nombres réels finis :
1< a < b <+1;
les ensembles-tranches : a < f < b sont mesurables; plus généralement, il en va de même en remplaçantfa < f < bgpar l"un des trois ensembles :a6f < b;a < f6b;a6f6b: (b)On en déduit que pour toutk2Z, les ensemblesEk:=fx2Rd: 2k1< f(x)6 2 kgsont mesurables dansRd. (c)Pour toutk2Z, l"ensembleEk=fx2Rd: 2k1< f(x)62kgest contenu dans l"ensemble : E :=x2Rd:f(x)>0; donc : k2ZE kE: Pour l"inclusion opposée, soitx2Equelconque. Commef(x)>0, et comme la réunion d"intervalles enchaînés :a k2Z
2k1;2k= ]0;1[
est disjointe, il existe un unique entierkx2Ztel que : 2 kx1< f(x)62kx; ce qui signifiex2Ekx, et donne bien :[ k2ZE kE:
6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France(d)Soitx2Rdquelconque fixé.
Sif(x) = 0, alors pour toutn2N, puisquex62Ekquel que soitk2Z, on a : F n(x) =X jkj6n2 k1Ek(x) = 0; puis en faisantn! 1:
F(x) = 0 =f(x);
d"où trivialement 12
F(x)6f(x)6F(x), car12

06060, c"est très vrai, mon bébé!
Si maintenantf(x)>0, il existe un uniquekx2Ztel quex2Ekx, d"où pour tout n>jkxj: F n(x) = 2kx; puis en faisantn! 1:
F(x) = 2kx:

Comme par définition dekxon a :
12
F(x) = 2kx1< f(x)62kx=F(x);
en relaxant la "strictitude» de l"inégalité à gauche, nous obtenons bien12
F(x)6f(x)6
F(x). (e)Commef:Rd!R+est mesurable à valeurs positives finies,fest Lebesgue- intégrable (par définition!) si et seulement siR Rquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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Examens corrigés

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Saclay, France

1. Examen 1

Exercice 1.

Montrer que (figure-bonus possible) :

F6f6F:

2 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France(f)Aveca;b2R, on introduit les deux fonctions :

0autrement:

On suppose que pour un certain entierk0>1, on a :

J(E) =infJX

1.Examen 1 3Exercice 6.DansRd, soit un nombre fini quelconquen>1de sous-ensembles mesurables

1;A2;:::;AnRdde mesures finies :

Montrer que (figure-bonus possible) :

1[A2[ [An

16k6n(1)k1X

Construire un ouvert

Rdense dansRtel quem(

0 =limh!0Z

B(0;R+1).

0 =limn!1Z

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France2. Corrigé de l"examen 1

à l"aire intégrale totale :

2.Corrigé de l"examen 1 5Exercice 2.(a) Une fonctionf:E! f1g [R[ f1gdéfinie sur un sous-ensemble

1[1; a[=x2E:f(x)< a;

équivalentes suivantes :

1< a < b <+1;

2k1;2k= ]0;1[

6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France(d)Soitx2Rdquelconque fixé.

F(x) = 0 =f(x);

F(x)6f(x)6F(x), car12

06060, c"est très vrai, mon bébé!

F(x) = 2kx:

Comme par définition dekxon a :

F(x) = 2kx1< f(x)62kx=F(x);

F(x)6f(x)6