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Calcul Stochastique pour la finance

Romuald ELIE

2 Nota :Ces notes de cours sont librement inspirées de différentes manuels, polycopiés, notes de cours ou ouvrages. Citons en particulier ceux de Francis Comets, Nicole El Karoui, Monique Jeanblanc, Bernard Lapeyre, Damien Lamberton, Steven Shreeve... Je les en remercie. Mea Culpa :Comme dans toutes notes de cours, des erreurs sont encore présentes dans ce polycopié. N"hésitez pas à me les communiquer : elie@ceremade.dauphine.fr.

Table des matières

1 Notion d"Arbitrage 5

1.1 Hypothèses sur le marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Comparaison de portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Relation de parité Call-Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Prix d"un contrat Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Modèle Binomial à une période 11

2.1 Modélisation probabiliste du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Stratégie de Portefeuille simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Evaluation et couverture d"un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . .

3 Modèle binomial à n périodes 19

3.1 "Rappels" de probabilité : Processus discret et Martingale . . . . . . . .

3.2 Modélisation du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Stratégie de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Arbitrage et Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Duplication d"un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Evaluation et couverture d"un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . .

4 Calcul stochastique 31

4.1 Processus et Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 EspacesLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

4.1.3 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.4 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.5 Processus Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
3

4TABLE DES MATIÈRES

4.2 Mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Variation totale et Variation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Intégrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Formule d"Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6 Processus d"Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7 Equation Différentielle Stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Modèle de Black Scholes 63

5.1 Hypothèses sur le marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Modélisation probabiliste du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Portefeuilles autofinançants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5 Duplication d"un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6 Formule de Black Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7 Sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 1

Notion d"Arbitrage

1.1 Hypothèses sur le marché

Nous supposerons que :

1.Les actifs sont divisibles à l"infini;

2.Le marché est liquide : on peut acheter ou vendre à tout instant;

3.On peut emprunter et vendre à découvert;

4.Les échanges ont lieu sans coûts de transaction;

5.On peut emprunter et prêter au même taux constantr.

1.2 Arbitrage

Quelles sont les évolutions possibles du marché? : ensemble des états possibles du marché; P: Probabilité réelle (ou en tout cas anticipée) de survenance de chacun des états.

Quelles sont les stratégies d"investissement?

Définition 1.2.1Unportefeuille autofinancantest une stratégie d"achat ou de vente

de titres, actions, prêts et emprunts à la banque, et plus généralement de produits dérivés

dont la valeur n"est pas modifiée par l"ajout ou le retrait d"argent. On notera X tlavaleur entdu portefeuilleX. On se donne donc simplement un capital initial et une stratégie dynamique d"inves- tissement dans les actifs du marché à partir de ce capital de départ.

Qu"est ce qu"une stratégie d"arbitrage?

Définition 1.2.2Unarbitragesur la période[0;T]est un portefeuille autofinançant Xde valeur nulle ent= 0dont la valeurXTenTest positive et strictement positive 5

6CHAPITRE 1. NOTION D"ARBITRAGE

avec une probabilité strictement positive. X

0= 0; XT0etP(XT>0)>0

On supposera qu"il y a sur le marché l"hypothèse d"Absence d"opportunités d"ar-

bitrage(AOA,no free lunch) entre tout instant0etT.fX0= 0etXT0g )P(XT>0) = 0L"hypothèse signifie simplement : "Si ma richesse aujourd"hui est nulle, elle ne peut

devenir positive et non identiquement nulle", soit "On ne peut gagner d"argent sans capital initial". Le raisonnement (défaitiste) est : "Si il y avait un arbitrage, quelqu"un en aurait déja profité". Sachant qu"il y a dans les banques beaucoup d"arbitragistes, cette hypothèse est cohérente sur les marchés.

1.3 Comparaison de portefeuilles

Proposition 1.3.1En AOA, si deux portefeuilles autofinançantsXetYont même valeur enT, ils ont même valeur en 0. X

T=YT)X0=Y0

Démonstration: SupposonsX0< Y0et proposons la stratégie suivante : A l"instant t= 0, achat deX, vente deYet placement deY0X0>0à la banque. La valeur du portefeuille à l"instantt=TestXTYTplus ce qu"a rapporté l"argent à la banque, qui est toujours>0.en 0enTAchat de XX 0X

TVente de YY0YTPlacement du gain à la banqueY

0X0>0(Y0X0)=B(0;T)>0Valeur0>0

Donc AOA impliqueX0Y0et, de manière similaire, on obtientX0Y0si bien queX0=Y0.2 Remarque 1.3.1Pour créer un arbitrage, on a acheté le moins cher et vendu le plus cher. Vu qu"ils ont meme valeur enT, on y gagne, logique...

1.4. RELATION DE PARITÉ CALL-PUT7

Proposition 1.3.2En AOA, si deux portefeuilles autofinançantsXetYont même valeur enT, elles ont presque sûrement même valeur en tout instanttT. X

T=YT) 8tT Xt=YtPp:s:

Ce résultat est une conséquence directe du résultat suivant : Proposition 1.3.3En AOA, considérons deux portefeuilles autofinançantsXetY, alors : X

TYT) 8tT XtYtp:s:

Démonstration: SoittT. Proposons la stratégie suivante : en 0 : je ne fais rien. ent: Surf!2 ;Xt(!)> Yt(!)g, j"achète le portefeuilleYau prixYt, je vend le portefeuilleXau prixXtet je place la différenceXtYt>0à la banque. Surf!2 ;Xt(!)Yt(!)g, je ne fais rien. Finalement, enT, surfXt> Ytg, je toucheYTXT0plus ce qu"a rapporté l"argent à la banque qui est toujours>0, soit une valeur>0, et surfXtYtg, la valeur du portefeuille est nulle.en tenTSurfXt> YtgAchat de Y en tY tY TVente de X en tXtXTPlacement du gain à la banqueX tYt>0(XtYt)=B(t;T)>0Valeur0>0

SurfXtYtgValeur00

Donc AOA impliqueP(Xt> Yt) = 0.2

1.4 Relation de parité Call-Put

Uncallde strikeKet d"échéanceTsur le sous-jacentSa pour payoff(STK)+; notonsCtson prix à l"instantt. Unputde strikeKet d"échéanceTsur le sous-jacentSa pour payoff(KST)+; notonsPtson prix à l"instantt. Unzero-coupond"échéanceTest un produit financier de valeur 1 enT. Son prix ent est notéB(t;T).

8CHAPITRE 1. NOTION D"ARBITRAGE

Alors, en AOA, les prix des calls et des puts entsont reliés par la relation deparité call put:C tPt=StKB(t;T)En effet considérons les deux stratégies de portefeuille : en 0entenTPort. 1Achat d"un Put européen entP t(KST)+Achat d"un actif risqué entS tS

TValeurP

t+St(KST)++STPort. 2Achat d"un Call européen entC t(STK)+Achat deKactifs sans risque entKB(t;T)K

ValeurC

t+KB(t;T)(STK)++KRemarquons que l"on a : (KST)++ST=K1fSTKg+ST1fKSTg= (STK)++K Donc, les deux portefeuilles ont des flux finaux égaux, et donc en AOA des valeurs égales à tout instanttTce qui nous donne la relation de parité Call-Put : Remarque 1.4.1Cette relation est intrinsèque à l"absence d"opportunité d"arbitrage sur le marché et ne dépend en rien du modèle d"évolution imposé aux actifs.

1.5 Prix d"un contrat Forward

Le contrat Forward est un contrat signé à la datet= 0qui assure l"échange enTde l"actif risquéScontre un prixF(0;T)fixé ent= 0. Il n"y a aucun échange d"argent à la datet= 0. Pour déterminer le prixF(0;T)du contrat, considérons les deux stratégies de portefeuille suivantes :en0enTPort. 1Achat de l"actifS0en0S 0S TVente deF(0;T)zéros coupons en0F(0;T)B(0;T)F(0;T)ValeurS

0F(0;T)B(0;T)S

TF(0;T)Port. 2Achat du contrat Forward en00S

TF(0;T)Sous, AOA, on a donc

F(0;T) =S0B(0;T):

1.5. PRIX D"UN CONTRAT FORWARD9

Remarque 1.5.1Montrez que de manière plus générale, on obtient :

F(t;T) =StB(t;T):

10CHAPITRE 1. NOTION D"ARBITRAGE

Chapitre 2

Modèle Binomial à une période

Le modèle binomial est très pratique pour les calculs et la plus grande partie des résultats obtenus se généralisent aux modèles en temps continu.

2.1 Modélisation probabiliste du marché

Considérons un marché à deux dates :t= 0ett= 1et deux actifs Un actifsans risquequi vaut 1 ent= 0et vautR= (1+r)ent= 1, qui représente l"argent placé à la banque au tauxr(dans une obligation), il est sans risque dans le sens où l"on connaît ent= 0la valeur qu"il aura ent= 1.

1!R= 1 +r

Et unactif risquéS, il vautS0ent= 0et à l"instant 1, il peut avoir pris 2 valeurs différentes : soit il est montéSu1=u:S0, soit il est descenduSd1=d:S0avecd < u. uS 0 S 0 dS 0 La modélisation probabiliste du marché est la donnée de 3 choses : ,FetP. est l"ensemble des états du monde: 2 états possibles selon la valeur de l"actif risqué ent= 1, état "haut"!uou "bas"!d. =f!u;!dg

Pest laprobabilité historiquesur

.P(!u) =petP(!d) = 1p. Le prix a une probabilité réellepde monter et1pde descendre. Attentionp2]0;1[car les 2 états du monde peuvent arriver. 11

12CHAPITRE 2. MODÈLE BINOMIAL À UNE PÉRIODE

F=fF0;F1gest un couple de deux tribus représentant l"information globale dispo- nible sur le marché aux instantst= 0ett= 1.

Ent= 0, on ne dispose d"aucune information :

F 0=f;; g: Ent= 1, on sait si l"actif est monté ou descendu : F 1=P( ) =f;; ;f!ug;f!dgg: Cette tribu représente l"ensemble des parties de dont je puisse dire à l"instantt= 1 si elles sont réalisées ou non. Remarque 2.1.1Bien sûr, on aF0 F1, en effet plus le temps avance plus l"on acquiert de l"information. Remarque 2.1.2Une variable aléatoire estF1-mesurable si et seulement si elle est connue avec l"information donnée parF1, i.e. déterminée à l"instant 1. En effet, heuris- tiquement

Une variable aléatoireXestF1-mesurable

,L"image réciproque de tout BorélienBdeRest dansF1; ,Je peux dire ent= 1pour tout BorélienBdeRsiXest à valeur dansB; ,Je peux dire pour tout réelrsiXest dans] 1;r[ou pas; ,Je connaisXà la datet= 1.

Remarque 2.1.3F1est la tribu engendrée parS1:F

1=(S1):En effet, par définition, la tribu engendrée parS1est l"image réciproque parS1des Bo-

réliens deR, i.e.fS11(B);B 2 B(R)g. C"est la plus petite tribu qui rendeS1mesurable.

Pour tout BorélienBdeR,

- siuS0etdS0sont dansB, on aS11(B) = - si justeuS0est dansB, on aS11(B) =!u, - si justedS0est dansB, on aS11(B) =!d, - et si aucun des 2 n"est dansB, on aS11(B) =;.

DoncF1est bien la tribu engendrée parS1se qui se réécrit :"ConnaîtreS1est équivalent à connaître tout élémentF1-mesurable"

2.2. STRATÉGIE DE PORTEFEUILLE SIMPLE13

Définition 2.1.1Unproduit dérivé (ou actif contingent)est une v.a.F1-mesurable. La valeur d"un produit dérivé dépend de l"état du monde réalisé à la datet= 1et de manière équivalente, tout produit dérivé s"écrit comme une fonction mesurablede S 1. Proposition 2.1.1SoitXetYdeux variables aléatoires sur un espace de probabilité ;A;P). Alors,Yest(X)-mesurable ssi elle est de la formef(X)avec f une appli- cation mesurable (borélienne). Démonstration: SiY=f(X), alors, pour tout BorélienBdeR, on a f(X)1(B) =X1f1(B)2(X): Réciproquement, siYest l"indicatrice d"un ensembleAqui est(X)-mesurable, on a :

Y=1A=1X1(B)=1B(X);

etf=1Bconvient. SiYest une somme finie d"indicatrice1AiavecAi=(Bi), la somme des1Biconvient. SiYest positive, elle s"écrit comme limite croissante deYn, sommes d"indicatrices qui donc s"écriventfn(X)etf=limf nconvient. (cette fonction peut valoir+1mais pas en des points atteints parX). SiYest de signe quelconque, on la décompose en sa partie positive et sa partie négative et l"on approche les deux séparément.2 Par exemple, le call est donc un produit dérivé(S1)avec:x7!(xK)+ Notre problème est d"évaluer le prix à la datet= 0d"un produit dérivé. On va donc essayer de créer un portefeuille de duplication de notre produit dérivé, i.e. une stratégie d"investissement autofinançante dans l"actif risqué et dans l"actif sans risque. L"hypothèse d"AOA nous indiquera alors que ces deux stratégies qui ont même valeur ent= 1ont même valeur ent= 0, ce qui nous donnera la valeur en 0 de notre produit dérivé.

2.2 Stratégie de Portefeuille simple

Définition 2.2.1Unestratégie de portefeuille simpleXx;est la donnée d"un capital initialxet d"une quantité d"actif risqué. Le portefeuille ne subit aucune rentrée ou sortie d"argent. La stratégie de portefeuille simple consiste en l"achat à la date0deactifs risqués et dexS0actifs sans-risques telle que la valeur en0du portefeuille est :quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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