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CPGE BENI MELLAL- CPGE BENI MELLAL-CPGE BENI MELLAL-CPGE BENI MELLAL-CPGE BENI MELLAL-CPGE BENI MELLAL-
C.P.G.E/Béni.Mellal Correction Physique II (Mines Ponts-MP/2017)Correction de l"épreuve de physique II filière MPCorrection de l"épreuve de physique II filière MPconcours MINES PONTS session 2017concours MINES PONTS session 2017
EL FILALI SAID
CPGE BENI MELLAL
MAROC = elfilalisaid@yahoo.fr =LA CAPACITÉ THERMIQUE DES GAZ
I /De la molécule à l"oscillateur harmonique o1-L"allure du profil d"énergie potentielleEpde la molécule :Puisque la molécule est isolée et le référentiel est galiléen alors ( avecEp?→∞---→0) :
?Ep(???e)<0: attraction.?Ep(???e)>0: répulsion. ?e ?E p E? o2-Ordre de grandeur : ?La longueur de la liaison ?e≈200pm ?L"énergie de la liaison |E?| ≈240kJmol-1 o3-La constante de raideurkdu ressort équivalent : On suppose que le mouvement est unidimensionnel c"est à dire que le mouvement est un11 mai 2017 Page -1/ 7- elfilalisaid@yahoo.fr
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C.P.G.E/Béni.Mellal Correction Physique II (Mines Ponts-MP/2017) mouvement de translation suivant l"axe AB de vecteur unitaire-→u?. Au voisinage de la position d"équilibre stable(?=?e).La force vaut-→F=-k(?-?e)-→u?
Le DL deEpau voisinage de?=?edonne :
E p(?) =Ep(?e) + (?-?e)?dEp d?? ?=?e+12(?-?e)2?d2Epd?2? ?=?e+···Avec :
Ep(?e) =E?l"énergie à l"équilibre.
?dEp
d?? ?=?e= 0puisque?eest une position d"équilibre. ?d2Ep d?2? ?=?e>0puisque?eest une position d"équilibre stable.Par dérivation
-→F=----→gradEp=?F=-dEp d?=-k(?-?e)ce qui donne k=?d2Epd?2? ?=?e o4-L"énergie cinétique de la molécule :Ec=12(mA-→v2A+mB-→v2B)
o5-Ordre de grandeur de la vitesse caractéristiquevc:On suppose que les molécules d"air (O
2et N2) sont ponctuelles de masse moyennemet
qu"il se comporte comme un gaz parfait; donc 12mv2c=32kBT=?vc=?
3RTMaA.NGGGGGGGGGGA vc= 500ms-1
o6-L"énergie mécaniqueEmde la molécule : Em=12(mA-→v2A+mB-→v2B) +E?+12k(?-?e)2(E)o7-Puisque le système est isolé alors?-→Fext=-→0d"où le référentiel barycentrique
est galiléen. en effet : -→Fext= (mA+mB)-→aG=-→0 =?-→vG=-→cte o8-Montrons la relation demandée : On a :mA-→GA+mB--→GB=-→0 =?-→OG=mA-→OA+mB--→OB mA+mBpar dérivation on obtient : -→vG=mA-→vA+mB-→vB mA+mB(1)11 mai 2017 Page -2/ 7- elfilalisaid@yahoo.fr
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C.P.G.E/Béni.Mellal Correction Physique II (Mines Ponts-MP/2017)De même :
-→v=d-→AB dt=?-→v=-→vB--→vA(2) D"après (1) et (2) on tire :-→vB=-→vG+mA mA+mB-→v(3) vA=-→vG-mB mA+mB-→v(4)Il en résulte que d"après (E) :
Em=E?+12(mA+mB)-→v2G+12?
mAmBmA+mB? -→v2+12k(?-?e)2Par conséquent :
?m=mA+mB: la masse totale du système.?μ=mAmBmA+mB: la masse réduite du système.?r=?-?e: la distance à partir de la position d"équilibre.
o9-Décomposition de l"énergie mécaniqueEm:D"après ce qui précède on a :
?12m-→v2G: l"énergie de translation.
?12μ-→v2: l"énergie de rotation.
?12kr2: l"énergie de vibration.
II /Capacité thermique d"un gaz parfait diatomique o10-L"expression de l"énergie interneU:U=N < Em>
o11-Théorème d"équipartition de l"énergie. A chaque terme quadratique dans l"expression de l"énergie mécanique d"une parti- cule on fait associerkBT 2Théorème
o12-La capacité thermique molairecV,m:On a :
-→Em=E????? terme non quadratique+12m-→v2G????
3 termes quadratiques+
12μ-→v2
3 termes quadratiques+
12kr21 terme quadratique
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C.P.G.E/Béni.Mellal Correction Physique II (Mines Ponts-MP/2017)Il en résulte 7 termes quadratiques d"où
U=72NkBT=72nRT=?cV,m=1n?
∂U∂T? V =72R=cteCommentaire :
Lorsque on néglige la vibration de la molécule diatomique on acV,m=52Rpar contre lorsque
on tient compte on obtient 7 2R. Dans le cas classiquecV,mest une constante indépendante de la température. o13-Commentaire : Pour les deux gazcV,mn"est pas constante due dans un intervalle de température et que cette valeur dépend de la nature du gaz. ?Pour le chlore : dans l"intervalle T< 250 K sa valeur est quasi constante, et pour T> 250K sa valeur croit lorsque la température croit . ?Pour l"hydrogène : La valeur decV,mcroit lentement pour T<80K puis elle croit en fonction de la température.On conclut que il existe une température critique à partir de laquelle la capacité thermique
molaire croit avec la température. III /L"oscillateur harmonique en physique quantique o14-L"équation différentielle vérifiée par la fonctionf(x):On a :
Ψ(x,t) =f(x)e-iE
?t=??????∂Ψ∂t=-iE?Ψ(x,t) 2Ψ ∂t2=f"(x)e-iE ?tEn remplaçantV(x)par son expression on obtient
f"(x) +?2μE?2-kμ?2x2? f(x) = 0 (5) o15-Les dimensions deαetγOn rappelle que :
[?]= J.S[k]= kg.S-2= J.m-2
Donc4=μk
?2x4=?[α4] =kg.J.m-2J2.S2m4=m.kg.m.S-2J= 1 Il en résulte :αest une constante sans dimension.De même pourγ:
2=4μE2
?2k=?[γ2] =kg.J2J2.S2?J.m-2= 1D"oùγest une constante sans dimension.
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C.P.G.E/Béni.Mellal Correction Physique II (Mines Ponts-MP/2017) o16-L"équation différentielle vérifiée par la fonctionf(α):Sachant que :f"(x) = (dα
dx)2f"(α)avecdαdx=4? μk ?2Alors on obtient f"(α) + (γ-α2)f(α) = 0 (6) o17-Vérification :Au voisinage de l"infiniα2?γ=?(6)donne
f"(α)-α2f(α) = 0 f"(α)≂α2f(α) =?f"(α)-α2f(α)≂0 Il en résulte qu"au voisinage de l"infinif(α)≂e±α2/2 o18-Justification :Puisque|Ψ|2représente la densité de probabilité donc elle est convergenteet par consé-
quentf(α)converge donc la solutione+α2/2à éliminer puisqu"elle diverge. o19-L"équation différentielle vérifiée par la fonctiong(α) g"(α)-2αg?(α)-(γ+ 1)g(α) = 0 (7) o20-L"expression du coefficientbp+2en fonction debp: On a :g(α) =?bpαp=?g?(α) =?pbpαp-1etg"(α) =?p(p-1)bpαp-2 En utilisant l"équation (7) on obtient :?p(p-1)bpαp-2=?(2p+γ+ 1)bpαp On remplacepparp-2dans le terme de gauche ce qui donne p[(p+ 2)(p+ 1)bp+2-(2p+γ+ 1)bp]αp= 0D"où
bp+2=2p+γ+ 1(p+ 2)(p+ 1)bp o21-Les énergies accessibles à un oscillateur harmonique en régime quantique :Comme pourp=n?= 0 =?p+ 2 =n+ 2 = 0alors
bn+2= 0 =?γ=-(2n+ 1)On remplaceγpar son expression on obtient
4μE2
k?2= 4(n+12) =?E=?? k n+12?Il en résulte que
ω=?k
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C.P.G.E/Béni.Mellal Correction Physique II (Mines Ponts-MP/2017)IV /Capacité thermique et quantification
o22-Analyse dimensionnelle :Comme[β] =J-1et[kBT] =Jalorsβ=1kBT
o23-Expression de la constanteA:Sachant que?
nπ(En) = 1condition de normalisation alors :A? ne-βEn= 1 =?A=1 Zavec Z=? ne -βEn (fonction da partition)On remplaceEnpar?ω?
n+1 2? on obtient Z=? ne-βEn=?Z=? ne-β?ω(n+1 2) =?Z=e-β?ω 2? n? e -β?ω?n =?Z=e-β?ω 21-?e -β?ω?n+11-e-β?ω
Commen→ ∞alors?
e -β?ω?n+1→0ce qui donne : Z=12sinhβ?ω2=?A= 2sinhβ?ω
2 o24-L"expression de l"énergie moyenne< E >:On a :< E >=N < En>=?< E >=N?Enπ(En)
Ce qui donne :< En>=1
Z?Ene-βEnqu"on peut écrire
< En>=-1Z? ∂∂βe-βEn=?< En>=-∂lnZ∂βPar dérivation dulnZon obtient :
< E >=U=12N?ωcoth(β?ω2) o25-La capacité thermique molaire à volume constant :On rappelle quecV,m=1
n∂U∂T? V V11 mai 2017 Page -6/ 7- elfilalisaid@yahoo.fr
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C.P.G.E/Béni.Mellal Correction Physique II (Mines Ponts-MP/2017) ∂T=-1kBT2=-kBβ2 ?∂U V =-14N(?ω)21sinh2?β?ω2?