Métropole - 21 juin 2017 - APMEP PDF Corrige_S_metropole_juin2017

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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat S Métropole?

21 juin 2017

EXERCICE 17 points

Commun à tous les candidats

PartieA

On considère la fonctionhdéfinie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par :h(x)=xe-x.

1.Pour toutx,h(x)=x

ex=1ex x; d"après les croissances comparées, lim x→=∞? ex x? =+∞donclimx→+∞h(x)=0.

2.hest dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables.

h=uewavec?u(x)=x w(x)-x. h w ?(x)=-1. On en déduit :h?(x)=e-x+x×(-1)e-xdonc, après factorisation par e-x: h?(x)=(1-x)e-x.

Pour toutx?0, e-x>0;h?(x)=0??1-x=0??x=1 et

h ?(x)>0??1-x>0??x<1. h(0)=0 eth(1)=e-1=1 e.

Tableaude variation:

x0 1+∞ h?(x) ????1e≈0,37 ????0

3.L"objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonctionh.

a.Pour toutx?0, e-x-h?(x)=e-x-(1-x)e-x=e-x-e-x+xe-x=xe-x= h(x) donc h(x)=e-x-h?(x) b.Soit la fonctionv:x?-→e-x;v(x)= -(-1)e-x= -w?(x)ew(w)(avec les notations précédentes) donc une primitive devest

V:x?-→-ew(x)=-e-x

c.SoitHune primitive deh. h(x)=e-x-h?(x)doncH(x)=-e-x-h(x)d"où

H(x)=-e-x-xe-x=-(x+1)e-x.

PartieB

On définit les fonctionsfetgsur l"intervalle [0 ;+∞[ par : f(x)=xe-x+ln(x+1) etg(x)=ln(x+1).

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

On noteCfetCgles représentations graphiques respectives des fonctionsfetg dans un repère orthonormé.

1.Pour un nombre réelxappartenant à l"intervalle [0 ;+∞[, on appelleMle

point de coordonnées (x;f(x)) etNle point de coordonnées (x;g(x)) :Met Nsont donc les points d"abscissexappartenant respectivement aux courbes C fetCg. a.MetNont la même abscisse etf(x)?g(x) (carx+1?1 donc ln(x+1)?0).

D"oùMN=f(x)-g(x)=xe-x=h(x) :

MN=h(x)=xe-x.

b.D"après l"étude des variations deh,MNest maximum pourx=1. 12

1 2 3 4 5

×M N Cf C g

2.Soitλun réel appartenant à l"intervalle [0 ;+∞[. On noteDλle domaine du

plan délimité par les courbesCfetCget par les droites d"équationsx=0 et x=λ. a.Hachurons le domaineDλ. correspondant à la valeurλproposée sur le graphique. (voir ci-dessus) b.Aλ=? 0 (f(x)-h(x)) dx=? 1 0 h(x)=H(λ)-H(0)=-(λ+1)e-λ-(-1) =1-(λ+1)e-λ=1-λ+1 eλ:

Aλ=1-λ+1eλ.

c.Aλ=1-λ eλ+1λ. lim 1 =0 et limλ→+∞?

λeλ?

=0 (croissances comparées).

Par conséquent :

limλ→+∞Aλ=1.

L"aire entre les deux courbes (pour 0?x) vaut 1.

Métropole221 juin 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

3.On considère l"algorithme suivant :

Variables:

λest un réel positif

Sest un réel strictement compris entre 0 et 1.

Initialisation:

SaisirS

λprend la valeur 0

Traitement :

Tant Que 1-λ+1eλFin Tant Que

Sortie :

Afficherλ

a.À la calculatrice, on obtient :

λ1-λ+1eλ00

10,264241118

20,59399415

30,800851727

L"algorithmeafficheradonc 3.

b.L"algorithme calcule la plus petite valeur entière deλpour laquelle A

λ>S.

EXERCICE 23 points

commun à tous les candidats

L"espace est mini d"un repère?

O;-→i;-→j;-→k?

SoitPle plan d"équation cartésienne : 2x-z-3=0. On note A le point de coordonnées?1 ;a;a2?oùaest un nombre réel.

1.2xA-zA-3=2-a2-3=-1-a2<0 donc A n"appartient pas àP(puisque ses

coordonnées ne vérifient pas l"équation deP). 2. a. -→v((20 -1)) est un vecteur normal àP; c"est aussi un vecteur directeur deD. Dpasse par A donc une représentation paramétrique deDest : ?x=1+2t y=a z=a2-t,t?R b.Soit M un point appartenant à la droiteD, associé à la valeurtdu para- mètre dans la représentation paramétrique précédente. --→AM((2t 0 -t)) ;onendéduitqueAM=? (2t)2+(-t)2=?5t2=|t|?5;AM=|t|?5

Métropole321 juin 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

On note H le point d"intersec-

tion du planPet de la droite

Dorthogonale àPet passant

par le point A. Le point H est appelé projeté orthogonal du point A sur le planPet la dis- tance AH est appelée distance du point A au planP. P H ?A D

3.Happartient à la droiteDet au planP.

Hest associé à un nombretH, solutio n du système : ?x=1+2t y=a z=a2-t y=a z=a2-t y=a z=a2 t=a2+1 5.

H est donc associé à la valeurtH=a2+1

On a alors :AH=|tH|?

5=a2+1?5.

a?→a2+1 admet un minimum poura=0 donc la distance de A au planPest minimum poura=0 et vaut alors 1?5

Métropole421 juin 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE 35 points

Commun à tous les candidats

Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire une image des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus rapides sur les lieux, notamment en cas d"incendie. Le but de l"exercice est d"étudier les impacts de foudre détectés par un capteur. L"écran radar, sur lequel les points d"impact de foudre sontobservés, a l"allure sui- vante :

20406080100EstNord

Ouest Sud 5

4321AB

C D E F GH O ×P Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l"écran, cinq cercles concen- dans l"ordre cinq zones, numérotées de 1 à 5, définies par leurdistance au capteur. De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ou- verture angulaire, nommées dans le sens trigonométrique deA à H. entre 1 et 5. Par exemple, le point P positionné sur la figure est situé dans le secteur B3. On assimile l"écran radar à une partie du plan complexe en définissant un repère orthonormé?O;-→u;-→v?de la manière suivante :

l"origine O marque la position du capteur;

l"axe des abscisses est orienté d"Ouest en Est; l"axe des ordonnées est orienté du Sud au Nord;

l"unité choisie est le kilomètre.

Dans la suite, un point de l"écran radar est associé à un pointd"affixe z.

PARTIEA

1.On notezPl"affixe du point P situé dans le secteur B3 sur le graphique précé-

r=zP; d"après le dessin, 40θ=arg(zP); P est dans le secteur B, doncπ

4<θ<π2.

La réponse est la proposition C.

Métropole521 juin 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.Un impact de foudre est matérialisé sur l"écran en un point d"affixez. Dans

chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appar- tient : a.Siz=70e-iπ

3, son module estr=70 et un argument estθ=-π3, compris

entre-π

2etπ4.

L"impact de foudre appartientdoncau secteur G4.

b.z=-45?

3+45i=90?

-?3

2+12i?

=90ei5π 6. z|=90 etθ=arg(z)=5π 6?? -3π4;π?

L"impact de foudre est dansle secteurD5

Partie B

On suppose dans cette partie que le capteur affiche un impact au point P d"affixe 50e
iπ 3. En raison d"imprécisions de mesures, le point d"impact affiché ne donne qu"une in- dication approximative du point d"impact réel de la foudre. Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d"impact P d"affixe50eiπ

3, l"affixe Z du point

d"impact réel de la foudre admet : un module qui peut être modélisé par une variable aléatoire Msuivant une loi normale d"espéranceμ=50 et d"écart typeσ=5; un argument qui peut être modélisé par une variable aléatoire T suivant une loi normale d"espéranceπ

3et d"écart typeπ12.

Onsuppose quelesvariablesaléatoiresMetTsontindépendantes, c"est-à-direque, quels que soient les intervallesIetJ, les évènements (M?1) et (T?J) sont indé- pendants. Dans la suite les probabilités seront arrondies à 10 -3près.

1.P(M<0)=P(M<50)-P(0?M?50)=0,5-P(0?M?50)≈0 (calculé à la

calculatrice).

P(M<0)≈0

On retrouve le fait qu"il est impossible que le module du nombre complexez soit strictement négatif.

P(40?M?60)=≈0,954

3.On admet queP?

T??π4;π2??

=0,819. La probabilité que la foudre ait frappé le secteur B3 estP? (40?M?60)∩?

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