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Algorithme PanaMaths

PGCD de deux entiers non nuls

PanaMaths [1-4] Août 2012

Introduction : quelques éléments mathématiques L'algorithme présenté ici est un petit algorithme fournissant le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur. Il s'agit du plus grand diviseur commun positif de A et B). Quels que soient les signes des entiers A et B, nous nous ramènerons toujours au cas où A et B sont deux entiers naturels non nuls en considérant les valeurs absolues des deux entiers. En effet, rappelons que l'on a :

PGCD A,B PGCD A , B.

Dans ce qui suit, les deux entiers A et B sont donc supposés naturels et non nuls. En effectuant la division euclidienne de A par B, on obtient :

ABQR avec 0RB

Rappelons que l'on a la propriété fondamentale suivante :

PGCD A,B PGCD B,R

L'algorithme d'Euclide repose sur cette propriété fondamentale : en utilisant cette propriété,

nous construisons une suite d'égalités découlant de divisions euclidiennes successives dans lesquelles, les restes décroissent strictement. Notons A n et B n les valeurs des entiers à l'étape n et R n le reste de la division euclidienne de A n par B n . D'après la propriété fondamentale, on aura :

PGCD A ,B PGCD B ,R

nn nn

On a donc :

1 AB nn et 1 BR nn

Comme nous venons de le mentionner, l'él

ément déterminant relatif à la suite B

n est le suivant : comme 1 BRB nnn , la suite B n est une suite d'entiers naturels strictement

décroissante. Ainsi, l'un des restes sera nul et tous les restes ultérieurs également. Le PGCD

cherché sera alors le premier reste non nul, c'es t-à-dire le dernier terme non nul de la suite B n Ainsi, au niveau de l'algorithme, on travaillera essentiellement avec la suite récurrente double : 00 11 1

A;B A;B

A;B B;R

où A B Q R avec 0 R B nn nn nnnn nn A chaque étape, on testera la nullité éventuelle de R n Une petite remarque pour finir : traditionnellement, on pose le problème de recherche du

PGCD de deux entiers sous la forme

PGCD ,ab avec 0ab. Cette dernière contrainte

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PGCD de deux entiers non nuls

PanaMaths [2-4] Août 2012

est en fait superflue au niveau de la mise en oeuvre de l'algorithme. En effet, si on cherche PGCD ,ab avec 0ab, la première étape de l'algorithme d'Euclide consiste à effectuer la division euclidienne de a par b et on obtient simplement, a étant inférieur à b : 0aba . D'après la propriété fondamentale, on a alors : PGCD , PGCD ,ab ba. Ainsi, dès la deuxième étape, on se retrouvera dans la situation " standard » ( 0ab).

Organigramme

Au niveau de la mise en oeuvre de cet algorithme simple, on peut ajouter à la lecture des variables A et B un test pour garantir, avant d'entrer dans la boucle principale, que les nombres saisis sont bien des entiers non nuls (cf. l'algorithme AlgoBox fourni ci-après). DEBUT FIN

Lire A, B

A = B x Q + R

(division euclidienne de A par B)

R = 0 ?

Afficher B

Oui Non

A = B B = R www.panamaths.net

PGCD de deux entiers non nuls

PanaMaths [3-4] Août 2012

L'algorithme AlgoBox

Voici l'algorithme que vous pouvez tester en ligne :

PGCD - 04.08.2012

Cet algorithme détermine le PGCD de deux nombres entiers non nuls.

1 VARIABLES

2 A EST_DU_TYPE NOMBRE

3 B EST_DU_TYPE NOMBRE

4 R EST_DU_TYPE NOMBRE

5 DEBUT_ALGORITHME

6 //Première saisie de la valeur de la variable A.

7 AFFICHER "Saisir la valeur du premier entier."

8 LIRE A

9 TANT_QUE (A-floor(A)!=0 OU A==0) FAIRE

10 DEBUT_TANT_QUE

11 AFFICHER "ATTENTION ! Vous devez saisir un entier non

nul !"

12 LIRE A

13 FIN_TANT_QUE

14 AFFICHER "Premier entier considéré : "

15 AFFICHER A

16 //Première saisie de la valeur de la variable B.

17 AFFICHER "Saisir la valeur du deuxième entier."

18 LIRE B

19 TANT_QUE (B-floor(B)!=0 OU B==0) FAIRE

20 DEBUT_TANT_QUE

21 AFFICHER "ATTENTION ! Vous devez saisir un entier non

nul !"

22 LIRE B

23 FIN_TANT_QUE

24 AFFICHER "Deuxième entier considéré : "

25 AFFICHER B

26 //Les valeurs des variables A et B sont valides. On

démarre la détermination de leur PGCD.

27 //Préparation de l'affichage final.

28 AFFICHER "Le PGCD de "

29 AFFICHER A

30 AFFICHER " et de "

31 AFFICHER B

32 AFFICHER " vaut "

33 A PREND_LA_VALEUR abs(A)

34 B PREND_LA_VALEUR abs(B)

35 R PREND_LA_VALEUR A%B

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PGCD de deux entiers non nuls

PanaMaths [4-4] Août 2012

36 TANT_QUE (R!=0) FAIRE

37 DEBUT_TANT_QUE

38 A PREND_LA_VALEUR B

39 B PREND_LA_VALEUR R

40 R PREND_LA_VALEUR A%B

41 FIN_TANT_QUE

42 AFFICHER B

43 AFFICHER "."

44 SI (B==1) ALORS

45 DEBUT_SI

46 AFFICHER " Les deux entiers sont premiers entre eux."

47 FIN_SI

48 FIN_ALGORITHME

Remarques :

Quelques commentaires ont été ajoutés pour rendre l'algorithme plus lisible. Un test double est effectué sur les variables A et B puisque celles-ci doivent être : o Non nulles. o Entière (A-floor(A) correspond à la différence entre A et sa partie entière et est nulle si, et seulement si, A est entière. Il en va bien sûr de même pour B). La boucle principale de l'algorithme correspond aux lignes 36 à 41.quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23