CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle et estimation par l' estimation par intervalle de confiance au niveau 95 (au risque α=5 ) de µ dans P plus la variance observée s* est élevée, plus l'amplitude de l'intervalle est grande
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U.F.R. S.P.S.E.UNIVERSITE PARIS X NANTERRE
Licence de psychologie L3
PLPSTA02 Bases de la statistique inférentielle
CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle et estimation par intervalleExercice 1
P={étudiants}
X= résultat au test de QI, variable quantitative de moyenne inconnue et d'écart-type =13 connu dans
PEchantillon de X issu de P de taille n=30 sur lequel on observe 111x qui est l'estimation ponctuelle de la moyenne
inconnue .1) X suit une loi
N(, =13) donc quel que soit n,
nX suit une loi normale
n13 n,µ N; pour n=303723013
n, - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque =5%) de dans P s'écrit :97509750
95,;,,,,
où z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% du résultat moyen des étudiants est d'environ 106,3 à 115,7 ; la
précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 95% est d'environ 4,7. - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% (au risque =10%) de dansP s'écrit :
95095090
où z 1(/2) = z 0,95 =1,645 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% du résultat moyen des étudiants est d'environ 107,1 à 114,9 ; la
précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 90% est d'environ 3,9. - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% (au risque =1%) de dansP s'écrit :
9950995099
où z 1(/2) = z 0,995 = 2,575 est le quantile d'ordre 0,995 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% du résultat moyen des étudiants est d'environ 104,9 à 117,1 ; la
précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 99% est d'environ 6,1. remarque : IC99% () contient IC 95%() qui contient IC 90%
2) Pour n=50 83815013
n,: - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque =5%) de dansP s'écrit :
>@>@>@611441076311183819611115013z111IC975095
,% où z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1). - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% (au risque =10%) de dansP s'écrit :
>@>@>@1141083111838164511115013z111IC 95090où z 1(/2) = z0,95 =1,645 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1). - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% (au risque =1%) de dans
P s'écrit :
>@>@>@7115310674111838157521115013z111IC995099
où z 1(/2) = z 0,995 = 2,575 est le quantile d'ordre 0,995 de la loi N(0,1).2 Pour n=100
3110013
n,: - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque =5%) de dansP s'écrit :
>@>@>@51135108521113196111110013z111IC975095
où z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1). - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% (au risque =10%) de dansP s'écrit :
>@>@>@111391081211131645111110013z111IC 95090où z 1(/2) = z 0,95 =1,645 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1). - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% (au risque =1%) de dans
P s'écrit :
>@>@>@311471073311131575211110013z111IC995099
où z 1(/2) = z 0,995 = 2,575 est le quantile d'ordre 0,995 de la loi N(0,1).remarque : plus la taille n augmente plus les intervalles de confiance pour un même niveau de confiance sont étroits
(meilleure précision).3) La demi-longueur de l'intervalle IC
95%(), correspondant à la marge d'erreur dans l'estimation du résultat moyen à 95%,
est de 2,5 pour un échantillon de taille n=100 ; pour obtenir une marge d'erreur (demi-longueur) plus faible, égale à 1, il
faudra augmenter la taille de l'échantillon n. Pour n inconnu, =13 et =5% connus, la demi-longueur de l'intervalle
IC 95%() s'écrit : n1396,1nz 975,0
on cherche n tel que : 1n1396,1 c'est à dire n1396,1 d'où 23,6491396,1n 2
on choisira donc une taille d'échantillon au moins égale à 650 pour que demi-longueur de l'intervalle de confiance à
95% (la marge d'erreur dans l'estimation du résultat moyen à 95%) soit inférieure à 1.
Exercice 2
P={enfants fréquentant la maternelle}
X= score au test de Pensée Créative de Torrance, variable quantitative de moyenne et d'écart-type inconnus dans
PEchantillon de X issu de P de taille n=30
1) L'estimation ponctuelle du score moyen est donnée par la moyenne observée
32130639x,
le score moyen des enfants de maternelle est estimé à 21,3 (points de score).2) L'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance observée sans biais :
25372931080
293213069114s
22(autre calcul : 01363213069114s 22
,, et 253701360341s2930s 22
l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type observé sans biais
162537s,,*
la variance du score des enfants de maternelle est estimée à 37,25 et son écart-type à 6,1 (points de score).
3) La loi de X étant quelconque et n=3030,
nX suit approximativement une loi normale
n ,N et est estimé par s*. L'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque =5%) de dansP s'écrit :
>@>@5231191823213016961321nszxIC975095
où z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% du score moyen des enfants de maternelle est d'environ 19,1 à
23,5 (points de score) ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 95% est d'environ 2,2 (points de score).
3Exercice 3
P={individus âgés de 20 à 30 ans}
X= temps nécessaire pour reproduire 16 modèles (mesuré en secondes), variable quantitative de moyenne et d'écart-type
inconnus dans PEchantillon de X issu de P de taille n=60
1) L'estimation ponctuelle du temps moyen est donnée par la moyenne observée
94006005624x, secondes
le temps moyen des individus âgés de 20 à 30 ans est estimé à 400,9 secondes.2) L'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance observée sans biais :
5345105994006063225310s
22(autre calcul : 061731094006063225310s 22
,, et 534510061731001691s5960s 22
l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type observé sans biais
7101534510s,,*
secondesla variance du temps des individus âgés de 20 à 30 ans est estimée à 10 345,5 et son écart-type à 101,7 secondes.
3) Estimation par intervalle de confiance au niveau 1 ou au risque du temps moyen dans
P :La loi de X étant quelconque et n=6030,
nX suit approximativement une loi normale
n ,N et inconnu est estimé par s* d'où : ur| r r|PDDDD1313z9400607101z9400nszxIC
2121211
- Pour 1 = 90% =10% z 1(/2) = z 0,95 = 1,645 quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1) >@>@54223379621940060710164519400IC 90- Pour 1 = 95% =5% z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1) >@>@6426237572594006071019619400IC 95
- Pour 1 = 99% =1% z 1(/2) = z 0,995 = 2,575 quantile d'ordre 0,995 de la loi N(0,1) >@>@74341367833940060710157529400IC 99
remarque : IC 99%
() contient IC 95%
() qui contient IC 90%
Exercice 4
P={étudiants d'une promotion} X= temps de mémorisation d'un texte (mesuré en mn), variable quantitative de moyenne
et d'écart-type inconnus dans P Echantillon de X issu de P de taille n=37 pour lequel 25x et s=5La loi de X étant quelconque et n=3730,
nX suit approximativement une loi normale
n ,N. Le temps moyen inconnu est estimé par la moyenne observée25xmn et l'écart-type du temps inconnu est estimé
par l'écart-type observé sans biais07553637s3637s,*mn
L'intervalle de confiance au risque =5% (au niveau 95%) du temps moyen dansP s'écrit :
975095
où z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au risque 5% (au niveau 95%) du temps moyen de mémorisation d'un texte
par les étudiants d'une promotion est d'environ 24,3 à 26,6 mn ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation au
risque 5% (à 95%) est d'environ 1,6 mn.4Exercice 5
P={sujets} X= temps de parcours d'un labyrinthe (mesuré en mn), variable quantitative de moyenne et d'écart-type
inconnus dans P Echantillon de X issu de P de taille n=100 pour lequel 768x, et s*=2,31) L'estimation ponctuelle du temps de parcours moyen est donnée par la moyenne observée
768x, mn
le temps moyen de parcours du labyrinthe des sujets est estimé à 8,76 mn.2) La loi de X étant quelconque et n=10030,
nX suit approximativement une loi normale
n ,N et l'écart-type du temps inconnu est estimé par l'écart-type observé sans biais s*=2,3 mn L'intervalle de confiance au niveau 90% (au risque =10%) du temps moyen dansP s'écrit :
>@>@>@149388380768230645176810032z768IC 95090où z 1(/2) = z 0,95 = 1,645 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1).
l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% du temps moyen de parcours d'un labyrinthe des sujets est
d'environ 8,38 à 9,14 mn ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 90% est d'environ 0,38 mn.
3) La marge d'erreur dans l'estimation du temps moyen à 90%, donnée par la demi-longueur de l'intervalle IC
90%(), est de
0,38 mn pour un échantillon de taille n=100 ; pour obtenir une marge d'erreur (demi-longueur) plus faible, de 0,3 mn, il
faudra augmenter la taille de l'échantillon n. Pour n inconnu, =s*=2,3 et =10% connus, la demi-longueur de
l'intervalle IC 90%() s'écrit : n326451nsz 950
on cherche n tel que : 30n326451,,, c'est à dire n30326451 ,,, d'où 0515930326451n 2
on choisira donc une taille d'échantillon au moins égale à 160 pour que la marge d'erreur dans l'estimation du temps
moyen à 90% soit inférieure à 0,3 mn.Exercice 6
P={handicapés mentaux}
X= résultat à un test de dextérité manuelle, variable quantitative de moyenne et d'écart-type inconnus dans
PEchantillon de X issu de P de taille n=32
La loi de X étant quelconque et n=3230,
nX suit approximativement une loi normale
n ,N. Le résultat moyen inconnu est estimé par la moyenne observée71322272x et l'écart-type du résultat inconnu
est estimé par l'écart-type observé sans biais s* où3511317132664161s
22,* et 3733511s,,* (autre calcul : 117132664161s 22
et 35111103231s3132s 22
L'intervalle de confiance à 99% (au risque =1%) du résultat moyen dans
P s'écrit :
>@>@>@5725695171596057527132373z71IC995099
où z 1(/2) = z 0,995 = 2,575 est le quantile d'ordre 0,995 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% du résultat moyen des handicapés mentaux est d'environ 69,5
à 72,5 ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 99% est d'environ 1,5.Exercice 7
P={nouveaux-nés prématurés (nés avant 30 semaines de gestation)} X= score d'Apgar à 5 mn, variable quantitative de moyenne et d'écart-type inconnus dans PEchantillon de X issu de P de taille n=70
1) L'estimation ponctuelle de est donnée par la moyenne observée
1,870567x
le score d'Apgar moyen des nouveaux-nés prématurés est estimé à 8,1.52) L'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance observée sans biais
25,3693,224
691,8704817*s
22l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type observé sans biais 8,125,3*s
la variance du score d'Apgar des nouveaux-nés prématurés est estimée à 3,25 et son écart-type à 1,8.
3) L'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% (au risque =10%) de dans
P s'écrit :
95,0%90
où z 1(/2) =z 0,95 =1,645 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1). Cette approximation est justifiée car n=7030 donc la moyenne empirique nX suit approximativement une loi normale.
l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% du score moyen des nouveaux-nés prématurés est d'environ
7,75 à 8,45 (points de score) ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 90% est d'environ 0,35 (point de
score).Exercice 8
P={enfants atteints d'otite moyenne avec écoulement (OME) bilatérale chronique} X= score de Reynell, variable quantitative de moyenne et d'écart-type inconnus dans PEchantillon de X issu de P de taille n=77
1) L'estimation ponctuelle de est donnée par la moyenne observée
35,07727x
le score de Reynell moyen des enfants atteints d'OME bilatérale chronique est estimé à -0,35.
2) L'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance observée sans biais
1007,17653,76
7635,07786*s
22l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type observé sans biais 11*s
la variance du score de Reynell des enfants atteints d'OME bilatérale chronique est estimée à 1 et son écart-type à 1.
3) L'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque =5%) de dans
P s'écrit :
975,0%95
où z 1(/2) = z 0,975 =1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1). Cette approximation est justifiée car n=7730 donc la moyenne empirique nX suit approximativement une loi normale.
l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% du score de Reynell moyen des enfants atteints d'OME
bilatérale chronique est d'environ -0,57 à -0,13 (points de score) ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à
95% est d'environ 0,22 (point de score).
4) La marge d'erreur dans l'estimation du score moyen à 95%, donnée par la demi-longueur de l'intervalle IC
95%(), est de
0,22 pour un échantillon de taille n=77 ; pour obtenir une marge d'erreur (demi-longueur) plus faible, de 0,1, il faudra
donc plus d'enfants. Pour n inconnu, s*=1 et =5% connus, la demi-longueur de l'intervalle IC 95%() s'écrit : n196,1n*sz 975,0
on cherche n tel que : 1,0n196,1 c'est à dire n1,096,1 d'où 16,3841,096,1n 2
on choisira donc une taille d'échantillon au moins égale à 385 pour que la marge d'erreur dans l'estimation du score
moyen à 95% soit inférieure à 0,1.Exercice 9
P={électeurs}
1) X= intention de vote pour le candidat A, variable qualitative dichotomique : oui, non
p = proportion d'intentions de vote pour le candidat A dansP , p inconnue dans P
Echantillon de taille n=100 de X issu de P dont 52 intentions de vote pour le candidat A6La proportion p d'intentions de vote pour le candidat A dans
P est estimée par la fréquence observée
%5252,014052f la proportion d'intentions de vote pour le candidat A chez les électeurs est estimée à 52%.2) L'estimation par intervalle de confiance à 95% (au risque =5%) de p dans
P s'écrit :
975,095%
où z 1(/2) =z 0,975 =1,96 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1).Cette approximation est justifiée puisque n=10030 et n(10,618)=n0,382=38,25 donc n0,4225, n(10,422)5
et n0,6185, donc la fréquence empirique F n suit approximativement une loi normale.l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% de la proportion d'intentions de vote pour le candidat A chez
les électeurs est de 42,2% à 61,8% environ ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 95% est d'environ
9,8%.3) Echantillon de taille n=1 000 de X issu de
P avec une fréquence (proportion ) observée f =52% (520 intentions de votepour le candidat A) : la proportion p d'intentions de vote pour le candidat A chez les électeurs est encore estimée à 52%
L'estimation par intervalle de confiance à 95% (au risque =5%) de p dansP s'écrit :
975,095%
où z 1(/2) =z 0,975 =1,96 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1).Cette approximation est justifiée puisque n=1 00030 et n(10,551)=n0,449=4495 donc n0,4895, n(10,489)5
et n0,5515, donc la fréquence empirique F n suit approximativement une loi normale.l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% de la proportion d'intentions de vote pour le candidat A chez
les électeurs est de 48,9% à 55,1% environ ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 95% est d'environ
3,1% (la précision augmente avec la taille de l'échantillon).
4) La précision de l'intervalle de confiance à 95% est donnée par sa demi-longueur. Pour une taille d'échantillon de n=100,
la demi-longueur de l'intervalle IC 95%(p) est de 9,8% (cf question 2) et pour une taille d'échantillon de n=1 000, la demi- longueur de l'intervalle IC 95%
(p) est de 3,1% (cf question 3); pour obtenir une demi-longueur plus faible, de 0,5%, il
faudra donc plus de 1 000 sélecteurs. Pour n inconnu, f=0,52 et =5% connus, la demi-longueur de l'intervalle IC
95%(p) s'écrit : n480,1520,96,1nf1fz 0,975 . On cherche n tel que : 005,0n48,052,096,1 c'est à dire n48,052,0005,096,1 d'où 5,3543848,052,0005,096,1n 2
on choisira donc une taille d'échantillon au moins égale à 38 355 pour que la demi-longueur de l'intervalle de
confiance à 95% (précision à 95%) soit inférieure à 0,5%.Exercice 10
P={patients lombalgiques}
1) X= sexe féminin, variable qualitative dichotomique : oui, non
p = proportion de femmes dansP , p inconnue dans P
Echantillon de taille n=262 de X issu de P dont 136 femmesLa proportion p de femmes dans
P est estimée par la fréquence observée %,,9515190262136f la proportion de femmes chez les patients lombalgiques est estimée à 51,9%.2) L'estimation par intervalle de confiance à 95% (au risque =5%) de p dans
P s'écrit :
975095
où z 1(/2) =z 0,975 =1,96 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1).Cette approximation est justifiée puisque n=26230 et n(10,58)=n0,42=110,045 donc n0,4585, n(10,458)5
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