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Pourquoi certains accords seraient-ils plus jolis que d'autres ? Pourquoi ne pouvait-on pas faire de variété des années 80 au accord majeur = premi`eres harmoniques La fondamentale d'un tambour est toujours plus aigüe que la

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tambour (ingoma) comme celle de la danse rituelle du tambour royal du révision de l'Accord relatif à la création d'un Office Africain et Malgache de la gérer sur le territoire national et à l'étranger, le cas échéant, par voie d'accords de

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Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?

et autres considerations mathemusicales

Pierre Monmarche

March 20, 2014

Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 1 / 16

Maths et composition musicale

abstraction non gurative)structure claire, epuree ; bref, mathematique. Contraintes mathematiques fecondes :symetries (canons, fugues, etc.), translations, dilatations (Bach,Tavener)...permutations (dodecaphonisme et musique serielle) procedes aleatoires (Cage) etc. Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 2 / 16

Comment denit-on les notes de musique ?

Pourquoi certains accords seraient-ils plus jolis que d'autres ? Pourquoi ne pouvait-on pas faire de variete des annees 80 au

Moyen-^Age ?Pourquoi la musique militaire ?

Pourquoi Patrick Sebastien ?

Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 3 / 16

Comment denit-on les notes de musique ?

Pourquoi certains accords seraient-ils plus jolis que d'autres ? Pourquoi ne pouvait-on pas faire de variete des annees 80 au

Moyen-^Age ?Pourquoi la musique militaire ?

Pourquoi Patrick Sebastien ?

Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 3 / 16

Qu'est-ce qu'un son ?

Le tympan est sensible aux oscillations de la pression de l'air :La hauteur d'un son (est-il grave ou aigue ?) est donne par la frequence a

laquelle se repete le motif.

En musique, la reference est lela 440(Hz).Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 4 / 16

La corde vibrante

D'apres l'equation des ondes, si l'oscillation spatiale est sinusodale : alors l'oscillation temporelle l'est egalement ; les frequences sont proportionnelles.Un vrai son est une superposition de sinusodes. Les extremites de la corde etant xes, les seules frequences possibles sont les multiples de la frequence fondamentale0=L .Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 5 / 16

La gamme pythagoricienne

0: fondamentale (son le mieux entendu).

1= 20: octave (note identiee par le cerveau a la fondamentale).

2= 30=32

1: quinte.

32
12 = 129;75 2

7= 128

3 122

19'1;0137Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 6 / 16

La gamme pythagoricienne

Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 7 / 16

De nombreux inconvenients

1La quinte du loup.

2La dicultee a moduler ou transposer.

3Des tierces (= 4 quintes) fausses (comma syntonique) :

3 42

5=8164

54
=8064

)Temperaments.Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 8 / 16

Des fractions plus jolies que d'autres

accord majeur = premieres harmoniques tons voisins, cadences, etc.

Triton (diabolus in musica) :

p2.

C'est malgre tout tres culturel...

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La dimension 1

Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 10 / 16

Les tambours

Equation dierentielle :

Contrainte := 0 sur le bord

Frequences admissibles :12:::(sans rapport arithmetique !)Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 11 / 16

Etude mathematique des tamboursTheoreme (Faber-Krahn 1923) La fondamentale d'un tambour est toujours plus aigue que la fondamentale du tambour rond de m^eme surface.Question (Kac 1965)

Peut-on entendre la forme d'un tambour ?

Contre exemple (Gordon, Webb et Wolpert, 1991) :

En revanche c'est vrai si l'on ne considere que des tambours convexes a frontiere analytique (Zelditch, 2000). Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 12 / 16

Les gures de Chladni

En 1809 le mathematicien Chladni etait invite a presenter une etonnante experience devant Napoleon.

Ca ressemblait a ca.

Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 13 / 16

Explication : les modes propres

Dans l'equation

la fonction solutionest appelee mode propre associe a. C'est la forme

de la membrane pendant l'oscillation.Les points immobiles d'un tambour forme des lignes dites nodales.

Voila les premiers modes pour un tambour rond.

Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 14 / 16

References

1. Accoustique et geometrie spectrale :Comparaison du spectre d'un violon authentique et d'une banque de

sonUn traitement mathematique accessible des tambours

Les gures de Chladni, plus detaillees

(IDM)

Partitions spectrales minimales

(IDM)

L'eondrement du pont de Tacoma par resonnance

La page d'

Edouard OudetPierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 15 / 16

References

2. Mathematique et composition :The lamb(T avener,1982)

L'orande musicale

(Bach ; palindrome, ou ruban de M oebius musical)La quinte juste(Kaamelott, Astier)

Society for Mathematics and Computation in Music

Pierre Monmarche ()Pourquoi les musiciens n'ont-ils que 12 notes ?March 20, 2014 16 / 16quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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