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Si un point est à égale distance des extrémités d'un segment alors ce point est sur la médiatrice d'un segment Triangle rectangle et cercle circonscrit I Rappels

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1) Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse (c'est-à-dire son côté de la plus grande longueur) B C A

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TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT

I) Activité :

II) Propriétés du triangle rectangle :

1) Propriété 1 :

Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse (c"est-à-dire son côté de la plus grande longueur). B C A Le triangle ABC est rectangle en A donc le point A appartient au cercle de diamètre [BC].

Démonstration :

2) Propriété 2 :

Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane relative à l"hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l"hypoténuse. B C A I

Le triangle ABC est rectangle en A et [AI] est la médiane relative à l"hypoténuse [BC] donc AI =

୓ (= IB = IC) 2

3) Exemple :

Soit JKL un triangle tel que JK = 10 cm, JL = 5 cm et KL = 8 cm. Le point H est le point d"intersection de la hauteur issue du point L et du segment [JK]. a) Faire une figure. b) Quelle est la nature du triangle JHL ? Justifier. c) Où se situe le point H ? Justifier. d) Le point I est le milieu du segment de [KL]. Déterminer la distance HI. Justifier.

III) Montrer qu"un triangle est rectangle :

1) Réciproque 1 :

Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l"un de ses côtés alors ce triangle est rectangle. B C A Le point A appartient au cercle de diamètre [BC] donc le triangle ABC est rectangle en A.

2) Réciproque 2 :

Si, dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle. B C A I [AI] est la médiane relative au côté [BC] et AI = donc le triangle ABC est rectangle en A. 3

3) Exemples :

a) On considère la figure ci-dessous : A B C Que peut-on dire des droites (AB) et (AC) ? Justifier. b) Un segment [MN], de milieu le point I, mesure 6 cm.

Le point P est tel que MP = 4 cm et IP = 3 cm.

1) Faire une figure.

2) Quelle est la nature du triangle MNP ? Justifier.

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