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18 août 2015 · Définition 2 On appelle droite d'Euler la droite qui joint les points Exercice 1 Montrer que le centre du cercle circonscrit à IJK appartient aussi à 

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Nous allons prouver les trois théorèmes suivants : (1 et 2 sont dus à Euler, 3 est cadeau ) Dans tout triangle ABC (non équilatéral) on note O le centre du cercle 

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1 Droite d'Euler Soit un triangle ABC non équilatéral On appellera G son centre de gravité, O le centre du cercle circonscrit et H son orthocentre 1 1 Existence 

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Relation d'Euler entre cercles circonscrit et inscrit par calcul On note a = BC, b = CA, c = AB, S l'aire du triangle et R le rayon du cercle circonscrit

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Le but de ce TP est de visualiser le cercle et la droite d'Euler d'un triangle tout en se familiarisant avec le logiciel de construction géométrique GeoGebra

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30 mai 2016 · Droite et cercle d'Euler d'un triangle Application à un exercice des Olympiades Balkaniques 2016 Quelques ouvrages datant du siècle dernier 

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Je considère le triangle ABC inscrit dans un cercle de centre O et rayon R; j' appelle 1,1', F, Pies centres des cercles inscrit et exinscrits La bissectrice AH'

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5/ Écrire une équation du cercle circonscrit au triangle ABC 6/ Soit H3, H2 et H1 les symétriques de l'orthocentre H par rapport aux droites respectives (AB), (CA)  

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2009-2010 Droite d'Euler Théor`eme Dans un triangle quelconque le centre O du cercle circonscrit, le centre de gravité G et l'horthocentre H sont alignés

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Géométrie - Droite et cercle d"Euler

Alix Deleporte

18 août 2015

1 Droite et cercle d"Euler

Dans toute cette section, on se donne un triangle non équilatéral ABC. On note I;J;K les milieux respectifs des côtés BC;AC;AB. Les points remarquables du triangle ABC sont notés comme suit : G est le barycentre, O le centre du cercle circonscrit, et H l"orthocentre. On remarque alors que les points O et G sont distincts.

1.1 Droite d"Euler

Proposition 1.Les points O;G;H sont alignés dans cet ordre; on a GH = 2GO. Démonstration.Soit M le point défini par!OM = 3!OG. Alors par la propriété du barycentre,!OM =!OA +!OB +!OC. Autrement dit,!AM = 2!OI, donc (AM)?(BC). De même, (BM)?(AC) et (CM)?(AB), donc M est à l"intersection des trois hauteurs. Définition 2.On appelledroite d"Eulerla droite qui joint les points. Exercice 1.Montrer que le centre du cercle circonscrit à IJK appartient aussi à la droite d"Euler.

Solution de l"exercice 1.1

A BCJK I La hauteur issue de I dans le triangle IJK est la droite issue de I et perpendiculaire

à (JK), elle-même parallèle à (BC); c"est donc la médiatrice de (BC). Il en résulte que

les hauteurs du petit triangle sont les médiatrices du grand triangle. De plus, les médianes du petit triangle sont les médianes du grand triangle, par Thalès; de celà on déduit que les droites d"Euler des deux triangles sont confondues. Le triangle IJK est l"image du triangle ABC par une homothétie de centre G et de rapport 1=2. Le rayon du cercle circonscrit à IJK est donc moitié moindre que le rayon du cercle circonscrit à ABC; et en notant O

0le centre du cercle circonscrit à IJK, on

sait que O;G;O0sont alignés dans cet ordre, avec GO = 2GO0. Définition 3.On notecercle d"Eulerle cercle circonscrit à IJK. Proposition 4.Les pieds des trois hauteurs à ABC appartiennent au cercle d"Euler. Démonstration.Soit P le pied de la hauteur issue de A. Il s"agit de montrer que dJPK =dJIK. Comme AJIK est un parallélogramme, on adJIK =[BAC. Par ailleurs, on a (AP)?(JK), et ces deux droites se coupent en le milieu de (JK) par le théorème de Thalès. Donc J est le symétrique du triangle A par la symétrie de droite (JK), ce dont on déduit dJPK =[BAC. 2 A BC PIJ K Proposition 5.Le milieu des côtés [AH], [BH], [CH] appartient aussi au cercle d"Euler. Démonstration.Considérons l"homothétie de centre H et de rapport 1=2. Il faut démontrer que l"image du cercle circonscrit à ABC est le cercle d"Euler. Le rayon des cercles est le même, qu"en est-il du centre? Souvenons-nous que, d"une part,!HO = 3!GO, et d"autre part, si O0est le centre du cercle d"Euler, alors!GO =2!GO0. Ainsi, on a!HO0=!HG +!GO0= 2=3!HO

1=6!HO = 1=2!HO, donc O0est bien l"image de O par l"homothétie qu"on a considéré;

ceci permet de conclure. Le cercle d"Euler est parfois appelécercle des neuf points. Exercice 2.Supposons que ABC est isocèle en A (non équilatéral). Montrer que le cercle inscrit et le cercle d"Euler se touchent en un unique point. Solution de l"exercice 2.Le cercle inscrit et le cercle d"Euler s"intersectent en I, le mi- lieu de [BC]. Par ailleurs, par symétrie, le centre de ces deux cercles appartient à la droite (AI). Par ailleurs, le pied de la hauteur issue de B étant un point différent du milieu de [AC], la droite (AC) intersecte le cercle d"Euler en deux points distincts, mais est tangente au cercle inscrit; donc les deux cercles sont différents, et ils n"ont qu"un unique point d"intersection. 3 A BCKJ IPQ HRX YZGOO

0Figure1- Droite et cercle d"E uler

Remarque6.C"estvraidemanièregénérale, maisc"estbeaucoupplusdifficileàmon- trer (Théorème de Feuerbach) 4

2 TD : chasse aux angles

Exercice 1.Soit ABC un triangle, H son orthocentre, et A0;B0;C0les pieds des trois hauteurs. Montrer que H est le centre du cercle inscrit à A

0B0C0.

Exercice 2.Le théorème du pôle Sud : soit ABC un triangle, et S l"autre intersection de la bissectrice issue de Aet du cercle circonscrit. Rappeler pourquoi le triangle SBC est isocèle. Démontrer que S est le centre du cercle circonscrit à BCD, où D est le centre du cercle inscrit à ABC. Exercice 3.Soit ABC un triangle, et M;N;P trois points qui appartiennent respecti- vement aux droites (BC), (AC) et (AB), et non égaux à A;B ou C. Montrer que les cercles circonscrits aux triangles ANP, BMP et CMN sont concou- rants. Montrer que ce point de concourance est cocyclique à ABC, si et seulement si les points M;N;P sont alignés. Exercice 4.Soit ABC un triangle, et P un point quelconque du plan. On note A1le projeté orthogonal de P sur (BC) (c"est le pied de la perpendiculaire à (BC) qui passe par P), B

1le projeté orthogonal de B sur (AC) et C1le projeté orthogonal de C sur

(AB). On réitère le procédé à partir de A

1B1C1pour former A2B2C2, puis encore une

fois pour avoir A

3B3C3. Montrer que les triangles ABC et A3B3C3sont semblables.

Exercice 5.Soientet0deux cercles qui s"intersectent en deux points distincts, M et N. On notela droite tangente commune aux deux cercles plus proche de M que de N ;toucheen A et0en B. On note2la parallèle àqui passe par M;2recoupeen C et0en D. On note alors P l"intersection de (AN) et (CM), D l"intersection de (BN) et (MD), et E l"intersection de (AC) et (BD). Montrer que

EP = EQ.

Exercice6.Soit ABCun triangle équilatéral, et M un point sur son cercle circonscrit, entre B et C. Montrer que MB+MC = MA. 5quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5