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1

Méthodes d'Analyses Factorielles

ACP et AFCM

Séminaire " Tahiti » - IRISA - Île de Houat - 26-27 Avril 2004

Emmanuel ROUX, Alfredo HERNANDEZ et Guy CARRAULT

LTSI - INSERM U642

LTSI 2

Introduction

•Contexte - Nombre important de variables et d'individus statistiques - Pas ou peu de connaissances préalables sur les données • Objectifs des méthodes - Réduction des données • Identifier les variables discriminantes les plus informatives • Identifier des relations entre variables - Juger de la capacité de caractérisation des variables - Identifier des groupes d'individus et/ou des types de comportement 3

Plan de l'Exposé

• Principes communs aux méthodes factorielles • Analyse en Composantes Principales (ACP)

Exemple

• Analyse des Correspondances -Simple (AFC) -Multiple(AFCM)

Exemple

• Étude en cours 4

Principes Communs

• Tableau de données nindividus statistiques ×pvariables •Objectif Représenter les données de manière " optimale » •Méthode - Transformation D

X adaptée à l'analyse souhaitée

- Définition d'une distance - Critère d'optimisation

Analyse en Composantes Principales

Principes Communs

Analyse des Correspondances

Étude en Cours

5

Espace des Individus / des Variables

Individus

StatistiquesVariables

dnpIn...I2d12d11I1Vp...V2V1 D

Individus

StatistiquesVariables

xnpIn...I2x12x11I1Vp...V2V1 XV1 Rn V2 Vp I1 Rp I2Ip I3

Mise en forme

Analyse en Composantes Principales

Principes Communs

Analyse des Correspondances

Étude en Cours

v u =n i iu OHidp 1 )(max H2 6

Propriétés de Base

• Dans l'espace des variables Rp u = vecteurs propres de X t

Xassociés aux valeurs propres λ

• Dans l'espace des individus Rn v = idemavec XX t

Analyse en Composantes Principales

Principes Communs

Analyse des Correspondances

Étude en Cours

Les valeurs propres de X

t

Xest de XX

t sont égales !! Rechercher la meilleure représentation des individus revient à chercher la meilleure représentation des variables 7

Analyse en Composantes Principales

(ACP) • Type de données - Variables continues - ACP normée : données centrées réduites (X) • Distance euclidienne • Critère • Recherche des valeurs propres de X t X jjij ij ddxpnji -=×? ], ,1[] ,1[),( =n i u GHid 1 )(max

Principes Communs

Analyse des Correspondances

Étude en Cours

Analyse en Composantes Principales

8

Exemple ACP - Données

Principes Communs

Analyse des Correspondances

Étude en Cours

Analyse en Composantes Principales75841082845,0Suisse602534712544,2Suède211515774194,0Slovaquie871817454849,0RoyaumeUni61880752410,3Roumanie212261048427,6RépTchèque301834653118,7Portugal2022401167223,9Pologne991869642735,7Pays-Bas442344771962,8Norvège41850053473,9Lettonie3820255514410,5Italie2717607

(Nb / 100 Hab)TxImp (%)TxEnrPirates (%)MusClas (%)MusPopInt (%)MusPopNat (%)Vente ($ US / Hab) Activités et Tendances Culturelles : Musique Enregistrée (1998) 9

Valeurs Propres

Critères de choix des axes principaux

• % inertie expliquée > 80% • Valeurs propres> 1 • Différence significative entre 2 valeurs propres successives

Principes Communs

Analyse des Correspondances

Étude en Cours

Analyse en Composantes Principales

InterprétationRésultats ACP

% d'inertie expliquée par l'axe αλ

Variances suivant l'axe αValeurs propres λ

Dépend du nombre de variables

10

Variables

0,82

Principes Communs

Analyse des Correspondances

Étude en Cours

Analyse en Composantes Principales

InterprétationRésultats ACP

CorrélationCosinus angle entre variablesQualité de la représentation dans le planPosition absolue de la variable

Axe : 1

VENTE$/HAB 0,83

LECTCD/100 0,81

MUSPOPINT 0,73

MUSCLAS 0,38

TXIMP -0,04

MUSPOPNAT -0,78

TXENRPIRAT -0,81

Axe : 2

MUSPOPINT 0,65

TXENRPIRAT 0,33

MUSCLAS -0,13

VENTE$/HAB -0,35

TXIMP -0,37

LECTCD/100 -0,42

MUSPOPNAT -0,60

Coordonnées variables

-0,98-0,74 11

Individus

Principes Communs

Analyse des Correspondances

Étude en Cours

Analyse en Composantes Principales

InterprétationRésultats ACP

Contribution à l'inertie suivant l'axe αContribution d'un individu à l'axe αSimilitudesProximités entre individus

OUEST et NORD ?

EST et SUD ?

12

Individus / Variables Supplémentaires

(Illustratives) • Individus : Projection dans Rp • Variables continues : Projection dans Rn • Variables nominales : Projection dans Rp!! xi +4p ...xi +4j ...xi +41
xi +3p ...xi +3j ...xi +31
nominalecontinue mod 1...mod 2...mod 1

Individus

supplémentairesIndividus actifsVariables supplémentaires

Variables actives

xv +i1 x ip ...x ij ...x i1 xi +2p xi +1p x np ...x 1p xi +2j xi +21
xi +1j xi +11 xv +n1 x nj x n1 xv +11 x 1j x 11 moyenne

Principes Communs

Analyse des Correspondances

Étude en Cours

Analyse en Composantes Principales

13

Individus Supplémentaires

Principes Communs

Analyse des Correspondances

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