Analyse en Composantes Principales (ACP) → Exemple • Analyse des Correspondances – Simple (AFC) – Multiple (AFCM) → Exemple • Étude en cours
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Méthodes d'Analyses Factorielles
ACP et AFCM
Séminaire " Tahiti » - IRISA - Île de Houat - 26-27 Avril 2004Emmanuel ROUX, Alfredo HERNANDEZ et Guy CARRAULT
LTSI - INSERM U642
LTSI 2Introduction
•Contexte - Nombre important de variables et d'individus statistiques - Pas ou peu de connaissances préalables sur les données • Objectifs des méthodes - Réduction des données • Identifier les variables discriminantes les plus informatives • Identifier des relations entre variables - Juger de la capacité de caractérisation des variables - Identifier des groupes d'individus et/ou des types de comportement 3Plan de l'Exposé
• Principes communs aux méthodes factorielles • Analyse en Composantes Principales (ACP)Exemple
• Analyse des Correspondances -Simple (AFC) -Multiple(AFCM)Exemple
• Étude en cours 4Principes Communs
• Tableau de données nindividus statistiques ×pvariables •Objectif Représenter les données de manière " optimale » •Méthode - Transformation DX adaptée à l'analyse souhaitée
- Définition d'une distance - Critère d'optimisationAnalyse en Composantes Principales
Principes Communs
Analyse des Correspondances
Étude en Cours
5Espace des Individus / des Variables
Individus
StatistiquesVariables
dnpIn...I2d12d11I1Vp...V2V1 DIndividus
StatistiquesVariables
xnpIn...I2x12x11I1Vp...V2V1 XV1 Rn V2 Vp I1 Rp I2Ip I3Mise en forme
Analyse en Composantes Principales
Principes Communs
Analyse des Correspondances
Étude en Cours
v u =n i iu OHidp 1 )(max H2 6Propriétés de Base
• Dans l'espace des variables Rp u = vecteurs propres de X tXassociés aux valeurs propres λ
• Dans l'espace des individus Rn v = idemavec XX tAnalyse en Composantes Principales
Principes Communs
Analyse des Correspondances
Étude en Cours
Les valeurs propres de X
tXest de XX
t sont égales !! Rechercher la meilleure représentation des individus revient à chercher la meilleure représentation des variables 7Analyse en Composantes Principales
(ACP) • Type de données - Variables continues - ACP normée : données centrées réduites (X) • Distance euclidienne • Critère • Recherche des valeurs propres de X t X jjij ij ddxpnji -=×? ], ,1[] ,1[),( =n i u GHid 1 )(maxPrincipes Communs
Analyse des Correspondances
Étude en Cours
Analyse en Composantes Principales
8Exemple ACP - Données
Principes Communs
Analyse des Correspondances
Étude en Cours
Analyse en Composantes Principales75841082845,0Suisse602534712544,2Suède211515774194,0Slovaquie871817454849,0RoyaumeUni61880752410,3Roumanie212261048427,6RépTchèque301834653118,7Portugal2022401167223,9Pologne991869642735,7Pays-Bas442344771962,8Norvège41850053473,9Lettonie3820255514410,5Italie2717607
(Nb / 100 Hab)TxImp (%)TxEnrPirates (%)MusClas (%)MusPopInt (%)MusPopNat (%)Vente ($ US / Hab) Activités et Tendances Culturelles : Musique Enregistrée (1998) 9Valeurs Propres
Critères de choix des axes principaux
• % inertie expliquée > 80% • Valeurs propres> 1 • Différence significative entre 2 valeurs propres successivesPrincipes Communs
Analyse des Correspondances
Étude en Cours
Analyse en Composantes Principales
InterprétationRésultats ACP
% d'inertie expliquée par l'axe αλVariances suivant l'axe αValeurs propres λ
Dépend du nombre de variables
10Variables
0,82Principes Communs
Analyse des Correspondances
Étude en Cours
Analyse en Composantes Principales
InterprétationRésultats ACP
CorrélationCosinus angle entre variablesQualité de la représentation dans le planPosition absolue de la variable
Axe : 1
VENTE$/HAB 0,83
LECTCD/100 0,81
MUSPOPINT 0,73
MUSCLAS 0,38
TXIMP -0,04
MUSPOPNAT -0,78
TXENRPIRAT -0,81
Axe : 2
MUSPOPINT 0,65
TXENRPIRAT 0,33
MUSCLAS -0,13
VENTE$/HAB -0,35
TXIMP -0,37
LECTCD/100 -0,42
MUSPOPNAT -0,60
Coordonnées variables
-0,98-0,74 11Individus
Principes Communs
Analyse des Correspondances
Étude en Cours
Analyse en Composantes Principales
InterprétationRésultats ACP
Contribution à l'inertie suivant l'axe αContribution d'un individu à l'axe αSimilitudesProximités entre individus
OUEST et NORD ?
EST et SUD ?
12Individus / Variables Supplémentaires
(Illustratives) • Individus : Projection dans Rp • Variables continues : Projection dans Rn • Variables nominales : Projection dans Rp!! xi +4p ...xi +4j ...xi +41xi +3p ...xi +3j ...xi +31
nominalecontinue mod 1...mod 2...mod 1
Individus
supplémentairesIndividus actifsVariables supplémentairesVariables actives
xv +i1 x ip ...x ij ...x i1 xi +2p xi +1p x np ...x 1p xi +2j xi +21xi +1j xi +11 xv +n1 x nj x n1 xv +11 x 1j x 11 moyenne