Modèle d'indépendance Les nuages Inertie Représentation simultanée Aides à l'interprétation Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 1 Données
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AFC (analyse factorielle des correspondances) et l'ACM (analyse des L'AFC est l'étude des correspondances entre les modalités de deux variables qualitajves En pratique: On retient pour l'interprétation les lignes dont la contribution
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2 Analyse Factorielle des Correspondances 15 2 2 3 Interprétation des résultats C'est l'interprétation de ces graphiques qui permettra de comprendre la
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En fait, les graphiques obtenus diffèrent très peu de ceux du biplot ; ce dernier sert donc de “caution” puisque les interprétations des graphiques sont identiques
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L'analyse factorielle des correspondances vise à rassembler en un nombre réduit de absolues mais aux correspondances entre les variables, c'est-à-dire aux valeurs relatives C'est particulièrement utile pour l'interprétation thématique,
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DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)
Jérôme Pagès (& François Husson)
Laboratoire de mathématiques appliquées - Agrocampus Rennes husson@agrocampus-ouest.fr 1/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)1Données2Modèle d"indépendance
3Les nuages et leur ajustement
4Pourcentages d"inertie et inertie en AFC
5Représentation simultanée des lignes et des colonnes
6Aides à l"interprétation
2/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)1Données2Modèle d"indépendance
3Les nuages et leur ajustement
4Pourcentages d"inertie et inertie en AFC
5Représentation simultanée des lignes et des colonnes
6Aides à l"interprétation
3/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Tableau de correspondancesTableau de correspondances Ij1J ijxEnsemble I
Ensemble J
ijNombre d"individus appartenant à l"élément ide l"ensemble Ià l"élément jde l"ensemble J
2Lignes Colonnesxij
Personnages de Phèdre Mots Nombre de fois que le personnage i (Racine)a utilisé le mot j Vins Mots Nombre de fois que le vin ia été associé au mot j Bureau de vote Candidat Nombre de voix obtenues par le candidat j dans le bureau de vote ix ij:nomb red"individus appa rtenantà l"élémentide l"ensembleI
à l"élémentjde l"ensembleJPersonnages de
Phèdre (Racine)MotsNomb rede fois que le p ersonnage ia utilisé le motjParfumsDesc ripteurNomb red efois où le pa rfumia été décrit par le motjMilieuxEsp ècesAb ondancede l"esp ècejdans le milieui=?Exemples où le test d"indépendance duχ2peut être appliqué4/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Données historiques
Enquête du CREDOC (N. Tabard, 1974)?Etude de la liaison entre deux variables qualitatives 5/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Données
nindividus et 2 variables qualitatives7 V1V2 i jIndividus
Ij1JModalités
de VModalités
de V Distribution desnindividus dans lesI×Jcases du tableau 6/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Du tableau de contingences au tableau de probabilités ij=xijnijf j1JModalités
de VModalités
de V .ifSMarge colonne
(probabilité marginale) ijf de V .jfMarge ligne
(probabilité marginale) .if1 ijjff1.Liaison entre V1 et V2 : écart entre les données observées et le
modèle d"indépendance 7/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)1Données2Modèle d"indépendance
3Les nuages et leur ajustement
4Pourcentages d"inertie et inertie en AFC
5Représentation simultanée des lignes et des colonnes
6Aides à l"interprétation
8/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Liaisons et indépendance entre deux variables qualitativesModèle d"indépendance :
Evènements indépendants :P(AetB)=P(A)×P(B)Variables qualitatives indépendantes :?i,?j,fij=fi.×f.j
?Probabilité conjointe=produit des probabilités marginalesAutres écritures : fijf i.=f.jfijf .j=fi. ?Probabilité conditionnelle = probabilité marginale9/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Liaisons entre deux variables qualitatives
Ecart entre données obs (fij) et modèle d"indépendance (fi.f.j)1Significativité de la liaison (de l"écart) : test duχ2
2obs=I?
i=1J j=1(eff. observé-eff. théorique)2effectif théorique =I? i=1J j=1(nfij-nfi.f.j)2nf i.f.j2obs=I?
i=1J j=1n(probabilité observée-probabilité théorique)2probabilité théorique=nΦ22Intensite de la liaison =Φ2= écart entre probabilités théoriques et observées3Nature de la liaison = association entre modalités
L"AFC travaille sur le tableau des p robabilités ne dit rien sur la significativité visualise la nature de la liaison entre les deux variables 10/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Comment l"AFC appréhende l"écart à l"indépendance?Analyse par lignes :
fijf i.=f.jL"AFC compare les profils lignes au profil moyenProfil ligne i= distribution conditionnelle de V2
sachant que l'on possède la modalité ide V1Profil ligne moyen = distribution marginale de V2Profil de l"ensemble des individus étudiés
Ij1JModalités
de VModalités
de V .iijff jf.Approche multidimensionnelle de l"écart à l"indépendance 11/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Comparaison du profil ligne au profil moyen
rester au foyer trav. à mi-temps trav. à plein temps2 conj. tr. également 4.98 54.41 40.61
trav. mari + absorbant 5.41 73.51 21.08 seul le mari travaille 26.54 63.11 10.35 marge ligne 16.47 65.14 18.392 conj. tr. également seul le mari travailMarge ligneTrav. mari + absorb.
rester au foyer trav. à mi-temps trav. à plein temps0 20 40 60 80 100Les femmes qui répondentseul le mari travaillerépondent-elles de
façon particulière à la question sur l"activité d"une mère de famille? 12/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Comment l"AFC appréhende l"écart à l"indépendance?Analyse par colonnes :
fijf .j=fi.Profil colonne j = distribution conditionnelle de V1 sachant que l"on possède la modalité jde V2 Ij1JModalités
de VModalités
de VComparaison des profils colonnes au profil moyen
.if1G Profil colonne moyen = distribution marginale de V1Profil de l"ensemble des individus étudiés
.ijjffApproche multidimensionnelle de l"écart à l"indépendance13/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Comparaison du profil colonne au profil moyen
rester trav. à trav. à marge au foyer mi-temps plein temps colonne2 conj. tr. également 4.58 12.64 33.44 15.14
trav. mari + absorbant 10.56 36.33 36.91 32.19 seul le mari travaille 84.86 51.02 29.65 52.672 conj. tr. également seul le mari travailMarge ligneTrav. mari + absorb.
rester au foyer trav. à mi-temps trav. à plein temps20 40 60 80 100
1000 20 40 60 80
seul le mari travailletrav. mari + absorbant2 conj. tr. égalementLes femmes qui répondenttravailler à mi-tempsrépondent-elles de
façon particulière à la question sur la famille idéale? 14/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)1Données2Modèle d"indépendance
3Les nuages et leur ajustement
4Pourcentages d"inertie et inertie en AFC
5Représentation simultanée des lignes et des colonnes
6Aides à l"interprétation
15/43DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation
Le nuage des (profils) lignes
DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation