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Etudes statistiques
I- Etude statistique
1) Vocabulaire
Lapopulationest l"ensemble des individus sur lesquels portent l"étude statistique.(Par exemple classe de
seconde, habitants de la France ...)Lecaractère(ouvariable) d"une série statistique est une propriété étudiée sur chaque individu :
?Lorsque le caractère ne prend que des valeurs (oumodalités) numériques, il estquantitatif: -discrets"il ne peut prendre que des valeurs isolées(notes, âge ...) -continudans le cas contraire(poids, taille ...). Dans ce cas on effectue souvent un regroupement des valeurs parclasses.?Sinon, on dit qu"il estqualitatif(couleur des yeux, sport pratiqué ...): les modalités ne sont pas des
nombres.2) Effectif, fréquence
Exemple 1:
Voici les notes obtenues à un contrôle dans une classe de30élèves : (Série A :)Représenter cette série par un tableau d"effectifs, et calculer les fréquences (arrondir à 0,1 près) :
Notestotal
Effectif
Fréquence
On peut regrouper les valeurs de cette série enclassesd"amplitude4:Notes[ 0 ; 4 [total
Effectif
Fréquence en %
Définition:
Lafréquenced"une valeur est
Pour l"exprimer en pourcentage,
Remarque:
La somme des fréquences est égale à
La somme des fréquences exprimées en pourcentages est égaleàM. Herbaut1Seconde
II- Représentation graphique d"une série statistique1) Nuage de points
0123456
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19Effectifs
notes2) Diagramme en bâton
0123456
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19Effectifs
Notes3) Histogramme
Lorsque le caractère étudié est quantitatif, et lorsque lesvaleurs sont regroupées en classes, on peut repré-
senter la série par unhistogramme: l"aire de chaque rectangle est alors proportionnelle à l"effectif (ou à la
fréquence) associée à chaque classe. Exemple d"un histogramme représentant la répartition des salaires dans une entreprise.800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
5salariés
On obtient le tableau suivant :
Salaires
Effectif
M. Herbaut2Seconde
Construire l"histogramme de lasérie A, dont les valeurs sont regroupées par classes :0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1note NotesRemarque:
4) Diagramme circulaire
Lorsque le caractère est qualitatif, on représente souventla série par undiagramme circulaire ou semi-
circulaire("camemberts") : l"angle de chaque secteur angulaire est proportionnel à l"effectif associé (ainsi
qu"à la fréquence).Exemple 2:
Voici le diagramme circulaire représentant la répartition des adhérents à un club sportif : Sachant que ce club compte240adhérents, combien d"adhérents jouent au tennis? Quel est l"angle du secteur représentant les joueurs de foot?Handball : 16,7%Tennis : 25%
Football : %
III- Caractéristiques d"une série.
1) Mesures de position
a) La moyenneExemple 3:
Calculer la moyenne de la série A :
Notes234567891011131516total
Effectif121123562321130
Définition:
Soit une série statistique à caractère quantitatif, dont lespvaleurs sont données parx1,x2, ...,xpd"effectifs
associésn1,n2, ...,npavecn1+n2+...+np=N(effectif total). Lamoyenne pondéréede cette série est le nombre noté xqui vaut :M. Herbaut3Seconde
Remarque:
?On peut aussi calculer une moyenne à partir des fréquences :?Lorsque la série est regroupée en classes, on calcule la moyenne en prenant pour valeursxilecentre
de chaque classe; ce centre est obtenu en faisant la moyenne des deux extrémités de la classe. Notes[ 0 ; 4 [[ 4 ; 8 [[ 8 ; 12 [[ 12 ; 16 [[ 16 ; 20 [Centres des classes
Effectif371631
Si on regroupe par classe d"amplitude4, une estimation de la moyenne est : b) La médiane On divise la série en deux groupes de même effectif.Définition:
Soit une série statistique ordonnée dont lesnvaleurs sontx1?x2?x3?···?xn.Lamédianeest un nombreMqui permet de diviser cette série en deux sous-groupes de même effectif.
?Sinestimpair,Mest la valeur de cette série qui est située au milieu.?Sinestpair,Mest le centre l"intervalle médian, qui est l"intervalle formé par les deux nombres
situés " au milieu » de la série.Exemple 4:
?La médiane de la série "2-5-6-8-9-9-10» est ?La médiane de la série "2-5-6-8-9-9» est ?La médiane de la série "2-5-6-6-9-10» estDéterminer la médiane de la sérieA.
c) Quartiles On divise la série en quatre groupes d"effectifs égaux (ou presque).Définition:
Lepremier quartiled"une série statistique est la plus petite valeurQ1telle qu"au moins un quart des
valeurs sont inférieures ou égales àQ1.Letroisième quartiled"une série statistique est la plus petite valeurQ3telle qu"au moins trois quarts
des valeurs sont inférieures ou égales àQ3.Déterminer les quartiles de la sérieA.
M. Herbaut4Seconde
2) Mesures de dispersion
a) EtendueDéfinition:
On appelleétendued"une série l"écart entre les deux valeurs extrêmes de la série.L"étendue de lasérie Aest
b) Intervalle inter-quartilesDéfinition:
On appelleintervalle inter-quartilesl"intervalle[Q1;Q3]. L"amplitude de cet intervalle est appeléeécart inter-quartiles.Exemple 5:
Dans lasérie A, l"intervalle inter-quartile est l"intervalleL"écart interquartiles vaut
IV- Effectifs et fréquences cumulés
1) Définitions
Définition:
Quand les valeurs d"un caractère quantitatif sont rangées dans l"ordre croissant, ?L"effectif cumulé croissant ( respectivement décroissant )d"une valeur est la somme deseffectifs des valeurs inférieures ( respectivement supérieures ) ou égales à cette valeur,
?la fréquence cumulée croissante ( respectivement décroissante )d"une valeur est la sommedes fréquences des valeurs inférieures ( respectivement supérieures ) ou égales à cette valeur.
Pour l"exemple de lasérie Ade notes, calculer les effectifs cumulés croissants :Notes234567891011131516
Effectif1211235623211
Effectif cumulé croissant
Ce tableau permet de retrouver la médiane et les quartiles dela série :Pour l"exemple de lasérie Adont les valeurs sont regroupées par classes, calculer les fréquences cumulées :
Notes[ 0 ; 4 [[ 4 ; 8 [[ 8 ; 12 [[ 12 ; 16 [[ 16 ; 20 ]Effectif371631
Fréquence en %
Fréquence cumulée croissante en %
M. Herbaut5Seconde
2) Courbe des fréquences cumulées
Enfin, lorsque le caractère étudié estquantitatifet lorsque les valeurs sont regroupées enclasses, on peut
effectuer lacourbe des fréquences cumulées(croissantes ou décroissantes) appelée aussipolygonedes
fréquences cumulées.Construire le polygone des fréquences cumulées croissantes de lasérie A, puis retrouver graphiquement une
valeur approchée de la médiane de la série : 24684 8 12 16Fréquences cumulées en %
Notes 0000 0100V- Utilisation de la calculatrice
Les calculatrices savent calculer directement les paramètres statistiques habituels (moyenne,médiane, quar-
tiles ...).Pour cela, on entre les données dans une liste statistique etles effectifs ou les fréquences (s"il y en a) dans
une autre, puis on lance les calculs statistiques à une variable en précisant à la machine dans quelle liste sont
les données et dans quelle liste sont les effectifs. La machine affiche alors simultanément tous les paramètres
statistiques.Attention : Les quartiles donnés par la calculatrice ne correspondent pas exactement à ceux du cours.
Pour les " TI »
Entrée de la série :Appuyer sur la toucheSTAT, puis sur1:EDIT. Dans la colonneL1, saisir les valeurs de la série et dans la colonneL2les effectifs correspon- dants. Appuyer à nouveau surSTAT.Obtention des paramètres :
- Sélectionner l"ongletCALC(avec la flèche droite) et appuyer sur la touche1:1-VarStats. Appuyer sur2NDpuis1pour afficherL1, puis,2ND 2pour afficherL2(ne pas oublier la ",» entreL1etL2) - Appuyer surENTERpour obtenir les paramètres : x(moyenne),Q1,Med,Q3etc ....Pour les " casio GRAPH 35+ » Entrée de la série :Sélectionner le menu(2) STATet entrer dans la colonneLIST1les valeurs de la série, puis dans la colonneLIST2les effectifs correspon- dants.Obtention des paramètres :
- Appuyer surF2(CALC), puis surF6(SET)(ouF4 sur la graph25). - Sur la ligne1VAR XLIST, indiquerLIST1avec les touches de fonctions; sur la ligne1VAR FREQ, in- diquerLIST2. Terminer en appuyant surEXIT. - En appuyant sur la touche de fonction correspon- dant à1VAR,(F1)on obtient les paramètres de la série : x(moyenne),Q1,Med,Q3etc ....Exemple 6:
Déterminez, à l"aide de la calculatrice, la moyenne, l"effectif, l"étendue, la médiane et les quartiles de chacune des séries
statistiques suivantes :