[PDF] [PDF] Groupes et Actions de groupes 1 Groupes, morphismes et actions

[PDF] Guide des types dordres de Bourse ING

Ordre à seuil de déclenchement ou « Stop loss » 3 5 (correspondant au fixing de clôture) et attendra de trouver contrepartie dans le carnet d'ordres (quan -

[PDF] Types dordres - Bolero

Avec un ordre en bourse, vous faites savoir à un négociabilité de l'action à l'œil Important Si vous reconnaissez l'ordre au marché du fait que le cours du

[PDF] Groupes et Actions de groupes 1 Groupes, morphismes et actions

L'efficacité et l'ubiquité des groupes proviennent de leur action sur des ensembles Corollaire 1 Si G est un groupe fini, l'ordre d'un élément divise l' ordre de G

[PDF] En savoir plus en téléchargeant la fiche pédagogique - Investir

27 nov 2013 · Sur le compartiment action se trouvent le marché Eurolist, Alternext L' introduction d'un nouvel ordre provoque une nouvelle cotation dès lors qu'il l' offre et la demande s'ajustent pour trouver un nouveau prix d'équilibre

[PDF] Comment acheter des actions en bourse ? - Safran group

Comment transmettre votre ordre en bourse ? 06 Sommaire Autorité des autres types d'ordres et est exécuté immédiatement, sous réserve de trouver un acheteur ou un vendeur la nature du titre (action, obligation, etc ), – la quantité de 

[PDF] Groupes, actions de groupes et géométrie Exercices

Trouver un générateur des groupes et trouver un élément de cet ordre Exercice Le groupe GL(E) agit naturellement sur E Cette action est–elle transitive ?

[PDF] Feuille 1 - Solutions - webusersimj-prgfr

La troisième est formée des huit 3-cycles (d'ordre 3) (123), (132), (124), (142) c) Le cardinal de l'orbite d'un élément x sous l'action d'un groupe G est l'indice

[PDF] Des verbes pour laction - CEDIP

Proposer un objectif pédagogique Différents moments où nous avons besoin de verbes d'action En voici quelques-uns classés par ordre alphabétique A

[PDF] 7 Applications dans la théorie des groupes Léquation de classe est

L'élément x 2 G est un point fixe pour cette action si et seulement si gx = xg Montrer qu'un groupe d'ordre p2 est abélien, isomorphe à Cp2 ou à Cp ⇥ Cp Il reste à trouver le neutre et montrer que toute paire (n, g) 2 N ⇥ G possède un 

[PDF] exercices corrigés de chimie organique pdf

[PDF] examen chimie organique+corrigé pdf s2

[PDF] examen de chimie organique s4

[PDF] examen chimie organique+corrigé s2

[PDF] exercice corrigé chimie organique licence

[PDF] examen chimie organique+corrigé s3 pdf

[PDF] chimie organique 2 exercices corrigés

[PDF] exercice corrigé complexité algorithmique

[PDF] examen algorithmique 1ere année

[PDF] examen d'algorithmique

[PDF] examen principe de gestion 1ére année

[PDF] examen principe de gestion ihec

[PDF] principe de gestion 2

[PDF] comptabilité générale exercices corrigés maroc

[PDF] examen comptabilité générale s1 corrigé pdf

Groupes et Actions de groupes

On présente ici des notions de base de théorie des groupes pour l"agrégation interne.

1 Groupes, morphismes et actions de groupes.

Un groupe(G;), ou plus simplementG, est un ensemble muni d"une opéra- tion internevérifiant les propriétés suivantes : G1 : L"opération est associative, ie(g1g2)g3=g1(g2g3) G2 :Gpossède un élément neutree, ieeg=ge=g G3 : Tout élémentgdeGpossède un symétriqueg0, ieg0g=gg0=e. Dans ce cas, on sait montrer qu"un élément neutre est unique et que pour toutgdeG, son symétrique est unique, il sera notég1. Remarquons en passant que(g1)1=get que(hg)1=g1h1, on dit que l"inversion est un antiautomorphisme involutif. On a plus généralement que tout élément deGest régulier, ie pour toutgdeG ga=gbimplique quea=b. Si de plusest commutative, ieg1g2=g2g1, alors on dit queGest abélien. Exemple fondamental.SiXest un ensemble, l"ensemble des bijections deX dansXmuni de la composition des applications est un groupe, notéS(X). De la même manière que l"individu n"est pas grand chose sans la société, les groupes ne sont rien sans leurs morphismes : Définition 1Soient(G;)et(H;:)deux groupes etune application deGdans H. On dit queest un morphisme de groupes sivérifie (g1g2) =(g1):(g2): Dans ce cas, on montre queenvoie l"élément neutre deGsur l"élément neutre deHet le symétrique degsur le symétrique de(g). On dit queest un isomorphisme s"il est de plus bijectif (dans ce cas son inverse est aussi un morphisme) et que c"est un automorphisme si de plusH=G. Un exemple célèbre et incontournable d"automorphisme est l"automorphisme in- térieur que l"on peut construire pour toutgdeG. On poseg(h) :=ghg1et on montre quegest un automorphisme deGappelé automorphisme intérieur. Bien sûr, siGest abélien, cet automorphisme n"est rien d"autre que l"automorphisme trivial : l"identité. L"efficacité et l"ubiquité des groupes proviennent de leur action sur des ensembles : 1 Définition 2Soit(G;)un groupe etXun ensemble. On dit queGagit surX s"il existe une application':GX!X;(g;x)7!g:xqui vérifie :

A1 :e:x=x

A2 :g1:(g2:x) = (g1g2):x:

Une façon équivalente, plus abstraite, mais plus féconde, de définir une action du groupeGsur l"ensembleX, se fait par un morphismedeGversS(X).

Effectivement, on construità partir de'par

:G! S(X);avec(g)(x) ='(g;x):

Inversement, on construit'à partir depar

':GX!X;(g;x)7!(g)(x): Remarque.Notons que siGagit surX, alorsGagit sur l"ensemble des ap- plications deXdans un ensembleYparg:f=f(g1), et il agit sur l"ensemble des application deYversXparg:f=(g)f. Une première propriété importante d"une action de groupe est qu"elle partitionne l"ensembleX: Définition 3SoitGun groupe agissant sur un ensembleX. On appelle orbite pour l"action tout sous-ensemble deXde la formeOx:=fg:x; g2Gg, oùxest fixé dansX. On appelle en particulierOxl"orbite dex. Proposition 1SiGest un groupe agissant surX, alors les orbites pour cette action forment une partition deX.

2 Sous-groupes, classes à gauche, groupes quo-

tients. Les sous-groupes et les classes qu"on peut leur associer jouent un rôle impor- tant dans l"étude des actions. De plus, lorsque le sous-groupe seradistingué, on pourra définir une notion de groupe quotient. Les notions de sous-groupes et de groupes quotient permettent souvent de diviser en deux la complexité liée à un groupe. Soit(G;)un groupe etHun sous-ensemble deG,Hest appelé naturellement sous-groupe deGsiHmuni de l"opérationest aussi un groupe. On préfère l"axiomatisation plus simple suivante : Définition 4Soit(G;)un groupe etHun sous-ensemble deG, alorsHest appelé sous-groupe deGs"il vérifie

SG1 :Hest non vide

SG2 : Sih1,h2sont dansH, alorsh1h12est aussi dansH. 2 ExempleUn exemple classique de sous-groupe est l"image Im()d"un morphisme Le sous-groupeHagit alors surGparHG!G,(h;g)7!hget les orbites pour cette action sont appelées classes à droite deG. Les orbites sont de la forme Hg=fhg; h2Hgqui sera souvent notée[g]dans le contexte. Les classes à droite forment donc une partition deGet on poseHnG=f[g];g2Gg. De même, on définit les classes à gauche :Hg=fhg; h2Hget l"ensemble des classes forment aussi une partition (même siGH!G,(g;h)7!ghne définit pas une action car A2 n"est pas vérifiée). On noteraG=Hl"ensemble des classes à gauche. Les classes à gauche ont un lien important avec les orbites : Proposition 2SoitGun groupe agissant sur un ensembleXet soitxdansX.

Alors,

(i) Le stabilisateurGx:=fg2G; g:x=xgdexest un sous-groupe deG (ii) L"applicationG=Gx! Ox,[g]7!gxest bien définie et établit une bijection (ensembliste) (iii) Siy=gxest dans l"orbite dexalorsgGyg1=Gx, et donc les sous-groupesGyetGxsont isomorphes via un automorphisme intérieur deG. Preuve : Seul (ii) demande une preuve. Le reste est laissé à titre d"exercice. Soitg1pris quelconque dans la classe deg, alors on peut ecrireg1=gh, avec h2Gx. Il vient queg1:x= (gh):x=g:(hx) =g:x. Ce qui prouve que l"application est bien définie. La surjectivité est claire par définition d"une orbite. Montrons l"injectivité. Supposons pour cela queg1etg2vérifientg1x=g2x. Alors, on a(g12g1):x=g12:(g1:x) =g12:(g2:x) = (g12g2):x=e:x=x. Conclusion,g12g12Gx, doncg12g2Gxet on a bien[g1] = [g2]: En particulier, si l"action est transitive, ie s"il n"y a qu"une seule orbite, alors Xest en bijection avec un quotient deG. C"est là une des clefs de l"importance des groupes en mathématiques. Le problème est maintenant de savoir siG=Hest muni d"une structure na- turelle de groupe, c"est à dire si l"on peut définir une opération (encore notée *) telle que [g1g2] = [g1][g2]: La proposition suivante donne des conditions nécessaires et suffisantes pour que cette loi soit cohérente, c"est à dire ne dépende pas du choix deg1et deg2dans leur classe (on multiplie en fait deux ensembles!). Proposition 3SoitGun groupe etHun sous-groupe. Les conditions suivantes sont équivalentes : 3 (i)G=Hest muni d"une structure naturelle de groupe (i")HnGest muni d"une structure naturelle de groupe (ii) Toute classe à droite est aussi une classe à gauche, iegH=Hgpour toutg (iii)Hest stable par tout automorphisme intérieur deG, iegHg1Hpour toutg. Preuve : (i))(iii). (i) implique en particulier que[e][g1] = [eg1] = [g1] et donc queH(g1H) =g1H, en particulier commeeest dansH, Hg1=Hg1e2g1H. Il vient quegHg1H, d"où la stabilité. (iii))(ii). On a doncgHg1H, mais aussi en changeantgeng1,g1 HgH, c"est à direHgHg1. D"où l"égalitégHg1=Het donc gH=Hg. (ii))(i). Comme (ii) est vrai, on a [g1][g2] = (g1H)(g2H) =g1(Hg2)H=g1(g2H)H = (g1g2)(HH) = (g1g2)H= [g1g2]: Comme (i) et (i") jouent des rôles similaires, on a bouclé la proposition. Définition 5Un sous-groupeHvérifiant une de ces conditions est appelé sous- groupe distingué deG. Remarques.SiGest abélien alors tout sous-groupe deGest distingué.

Si#G=H= 2alorsHest distingué. (TD).Un stabilisateur n"est en général pas distingué et il ne

faut donc pas s"attendre à une structure de groupe sur G=G x, la bijection entre quotient et orbite reste une bijection et il ne sera encore moins question d"isomor- phisme. Un exemple trivial de sous-groupe distingué est justement le sous-groupe tri- vialfeg. Un exemple important de sous-groupe distingué est le centre d"un groupe : on appelle centre du groupeGet on noteraZ(G)l"ensemble des éléments qui com- mutent avec tous les autres éléments.

Z(G) :=fz2G; gz=zg;8g2Gg:

On voit facilement queZ(G)est un sous-groupe et commez2Gest équivalent àgzg1=z, on a en particulier queZ(G)est stable par tout automorphisme intérieur et il est donc distingué. 4 On montre facilement que la préimage d"un sous-groupe distingué par un mor- phisme est encore un sous-groupe distingué (ce n"est d"ailleurs pas vrai pour l"image). En particulier le noyau d"un morphisme est un sous-groupe distingué du groupe de départ. Rappelons qu"on appelle noyau du morphisme:G!H l"ensembleker=1feHg. Son importance réside dans le fait qu"il mesure l"in- jectivité d"un morphisme : un morphisme est injectif ssi son noyau est trivial. D"ailleurs on retrouve ainsi que le centre est un sous-groupe distingué puisque le centre n"est rien autre que le noyau du morphisme pour l"action de conjugaison. Il vient donc queG=kera une structure de groupe et on a le théorème fonda- mental suivant dit d"isomorphisme canonique : Proposition 4Soitun morphisme d"un groupeGvers un groupeH, alors l"ap- plication[g]7!(g)définit bien un isomorphisme canoniqueentre les groupes

G=keret Im.

Remarque.Cela signifie qu"un morphisme est de façon purement probabiliste une chose rare chez les groupes. Effectivement, si chez les espaces vectoriels de dimension finie, deux espaces son isomorphes si et seulement si ils ont même dimension, la classification des groupes à isomorphisme près est beaucoup plus complexe et beaucoup plus variée. Il existe par exemple 6 groupes d"ordre 8 deux

à deux non isomorphes.

Cette proposition est importante dans le sens qu"elle réduit un morphismeà l"essentiel : dans le groupe de départ, elle tue le noyau, dans le groupe d"arrivée, elle ne garde que l"image. Mais aussi importante qu"elle soit, elle n"est qu"un cas particulier du "passage au quotient" : Proposition 5Soitun morphisme d"un groupeGvers un groupeH, et soitK

un sous-groupe deker, alors l"application[g]7!(g)définit bien un morphismeentre les groupesG=KetH. Le noyau deest le quotientker=Kest son

image est Im.

3 Groupes finis.

L"étude des groupes finis reprend les résultats précédents mais utilise aussi l"arithmétique, c"est à dire ici, la relation "divise". L"ordre d"un groupe est par définition son cardinal. Dans les groupes finis, les bijections obtenues precedemment donnent des égalités de cardinaux. Par exemple le théorème de Lagrange peut s"obtenir en faisant agir un sous-groupeHpar multiplication à gauche sur le groupeG, le stabilisateur d"un élément étant trivial par la propriété de régularité, toutes les orbites on#Héléments. Et donc : Théorème 1L"ordre d"un sous-groupe divise l"ordre du groupe. 5 On appelle ordre d"un élémentgdeGle plus petit entierm,m >0tel que g m=e. L"ordre d"un élémentgn"est rien autre que l"ordre du sous-groupe qu"il engendre, c"est à dire le plus petit sous-groupe deGqui contientg, ou si on préfèrefgk; k2Zg. A l"aide d"une division euclidienne, on voit que la minimalité demdonne que g n=e,mdivisen: Corollaire 1SiGest un groupe fini, l"ordre d"un élément divise l"ordre deG. SiGest un groupe fini agissant sur un ensemble finiX, on sait queXest partitionné en orbites, ce qui donne, via la bijection quotient/orbite la fameuse

équation des classes :

#X=X x2X=G#G=#Gx; oùX=Gdésigne l"ensemble des orbites de l"action. On note en passant que si le sous-groupeGxdépend du choix dexdans son orbite, son ordre, lui, n"en dépend pas. On sait aussi dans ce cas calculer le nombre d"orbites, par une formule très pratique, un peu plus délicate à démontrer, la formule de Burnside : #X=G=1#GX g2G#Xg; oùXg=fx2X; g:x=xg. Preuve : L"idée est de calculer de deux façons différentes le cardinal de l"ensemble

R:=f(x;g);g:x=xg.

Si on fixexon a#Gxpossibilités pourget on peut regrouper tous lesxd"une même orbite puisque leurs stabilisateurs, étant isomorphes, ont me même ordre.

Cela donne :

#R=X x2X#Gx=X O x2X=G#Gx=#Ox=X O x2X=G#Gx(#G=#Gx) =quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26