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ECPM1èreannée
ExamendeMécaniqueQuanti que
14no vembre2013
Duréedel'épreuv e:2h
Touslesdocum entsainsiquel escalculatricessontinterd its.Lebarè meproposéestuniquement indicatif.
1.Qu estionsdecoursnotéessur9poi nts
a)[3pts ]Soit(r,t)= 0 e i p.r≠ p 2 2m t lafonct iond'ondedécrivantune particulelibred emassemet dequant itédemouvementp, 0 dépendantedutemps. physiquedonne-t-onàl'inté grale R 2 dx?Ju stifiezvotreréponse.c)[1.5pts]Montrerquelesvaleurs propresd' unopérateur hermitiensontréell es.Pourquoilapropriét é
d'hermiticitéd'unopérateurestfondamentaleen mécaniquequan tique?d)[2pts ]Soit|(t)Íl'état,àl'instantt,d' unsystèmequ antiquedontonsupposequel 'hamiltonien
Hne dépendpasdutemps.Soi t Aunopér ateurquelconqueindépend antdutemps.Démontrerlethéorèm e d'Ehrenfest: d dtÈ(t)|
A|(t)Í=
1 i~È(t)|[
A,H]|(t)Í.
unatomeh ydrogénoïded enuméroatomiqueZs'écrit 1 2 (Z-) 2 m e c 2 oùm e estlamasse del'é lectron,c lavite ssedelalumièredanslev ideet-¥1/137lacons tantedestructurefine.Qu epeut -onconclureélevé)?Détaillezvot rer éponse.
12.Pr oblèmenotésur11points:état sdespind el'électr onen présenced'unch amp
magnétiqueLarot ationdel'électron surlui même("spin"enanglais)peutêtre miseenév idenceenp longeant,par
exemple,unatomed'hydrogèned ansunch ampmagnétiqu euniformedenormeB 0 .On s'int éresseiciauxétatsquantiqu es|+Íet|≠Ícorrespondantaumouvementdespindel' él ectronautourdel'axedeszdansle
sensdirectet indirect,respecti vement ,commeillustrédanslaFig.1.Lesét ats|+Íet|≠Íformentunebase
orthonorméedel'espacedesétat squanti quesdespindel'électr on. f- T V 6. I "l or Figure1:Représen tati onschématiquedesétatsdespin|+Íet|≠Í.a)[1pt] Onadme tquesilechamp magnétiquee stdir igésuiv antl'axedesz,l' hamiltoniendel'électron
estreprés entécommesuitdanslabase{|+Í,|≠Í}: H S W U 0 2 00≠
0 2 T X V, oùÊ 0 eB 0 m e estlapul sationdi tedeLarmor(eestlacharge élémen tairedel'éle ctron(envaleurabsolue) etm e samasse ).Onsupposequ'àl'i nstantt=0l'électronestdansl'étatdespin |+Í.Quelleestla probabilitéquel'électronsoitdan sl'état|≠Ílorsquet>0.Ju stifiezvotreréponse.b)[3pts ]Onsupp osedanslasuiteduprob lèmequele champmagn étiqueestdésorm aisdiri gésuivant
l'axedesx.Dan scecas,l'h amiltoni endel'él ectronestreprésentécommesuitdanslab ase{|+Í,|≠Í}:
H S W U 0 0 2 0 2 0 T X V. 2Vérifierquelesétatspropr esde
Hs'écrivent|1Í=
1 2 1 2 et|2Í= 1 2 1 2 ,qu 'ilssont associésrespectivemen tauxénergies≠ 0 2 et 0 2 ,et qu'ils formentunebaseorthonor mée. c)[2pts ]Soit|(t)Í=C 1 (t)|1Í+C 2 (t)|2Íl'étatquantiqued el'électronàl'instanttécritdanslabasede s étatspropresd el'hamiltonien.Démont rerqu eC 1 (t)=C 1 (0)e i 0 2 t etC 2 (t)=C 2 (0)e ≠i 0 2 t d)[1pt] Onsup posequ'àl'instantt=0,l' électronestdansl'état|+Í.EndéduireC 1 (0)etC 2 (0). e)[2pts ]Montrer,encalculantP (t)=|È+|(t)Í| 2 ,qu el'étatde spindel'électron oscill eentrelesétat s |+Íet|≠Íavecunepulsat ionégaleàcel ledeLarmor.f)[2pts ]Expliquer,àl'aideduthéorèmed'Eh ren fest,pourquoilaval eurmo yennedel'énergiedel'é lectron
liéeàsonspin È(t)| H|(t)Ínevarie pasaucoursdutem ps.Que ll eestsavaleur? 3 m fl* [ nr I f a I trJ /f o 3tr.l rsl g qJF\ r{ -u sl -9qJ vl J U 3ood '.1 I ,l J 'qJ 1 -,9 ll n t -t I Er t N I I lv "rr I gl t s J t l T t -,9 ll )"a 4T ef .'"n .tl- I I J -,9 l{ 5 b tl 2 s '(5 -l( Jo 3 0 f,ld -,9 rl t t> n A "I 'l 1 I sJ UJ.- jou { [t t f nn d( l{': jr,t I q ,dt.J '1, *r tt] lnn t 3 jr" -,9 fl t (t I r'd ll J 6 0 drl {s .iA \ts n J tu( s{ .F- 'ls ^-{-"(t .fg .$l{1.+ {lq 3 ;r s