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site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés représente par exemple la diagonale d'un rectangle de base 3 et de hauteur 1 ; le second correspond Voici une représentation graphique de A sur la

Pr´esentation du cours d"Analyse Fonctionnelle

Analyse Fonctionnelle signifie ici analyse sur des espaces de fonctions. Il s"agit d"un domaine des math´ematiques qui s"est d´evelopp´e dans la premi`ere moiti´e du 20`eme si`ecle grˆace en particulier aux travaux de M.

Fr´echet, S. Banach, D. Hilbert.

L"analyse classique enseign´ee jusqu"en licence porte essentiellement sur des espaces de dimension finie surRouC. Cela convient par exemple pour r´esoudre des ´equations diff´erentielles lin´eaires. Pour r´esoudre des ´equations plus compliqu´ees : ´equations diff´erentielles non lin´eaires, ´equations int"egrales, ´equations aux d´eriv´ees partielles, les solutions sont `a rechercher `a priori dans des espaces vectoriels de dimension infinie. Le calcul de solutions explicites ´etant souvent hors de port´ee on cherche `a d´ecrire la structure de ces solutions par leur appartenance `a des espaces adapt´es au probl`eme pos´e. L"´etude de la stabilit´e am`ene naturellement `a consid´erer des espaces munis de topologies d´efinies par des normes, des semi-normes ou des distances. Un exemple spectaculaire de l"efficacit´e de l"analyse fonctionnelle a ´et´e l"introduction des espaces de Sobolev (1935) et l"invention par L. Schwartz de la th´eorie des distributions (1945-1950). Ces espaces ont permis de faire de grands progr`es dans la r´esolution des probl`emes d"´equations aux d´eriv´ees partielles et fournissent les principaux outils encore utilis´es ac- tuellement dans ce domaine aussi bien pour les ´etudes th´eoriques que num´eriques. D"un point de vue purement math´ematique ont peut aussi voir l"analyse fonctionnelle comme une extension `a la dimension infinie de la g´eom´etrie euclidienne en dimension finie. Le passage de la dimension finie `a la dimension infinie n"est pas toujours facile car on perd une partie de l"intuition g´eom`etrique. Alors que sur un espace vectoriel de dimension finie il y a une seule topologie "raisonnable", sur un espace de dimension infinie on doit souvent consid´erer plusieurs topologies simultan´ement. C"est l"une des difficult´es `a surmonter pour le d´ebutant qui devra s"entrainer `a cet exercice sur les exemples propos´es dans le cours et en travaux dirig´es. Comme souvent en math´ematiques l"´etude de nouvelles structures est indissociable de l"´etude des transformations entre les espaces. Ici nous

´etudierons donc les propri´et´es des transformations lin´eaires continuesentre espaces vectoriels munis de topologies.

Ce domaine d"apparence abstraite a beaucoup d"applications concr`etes, notamment en physique quantique. C"est d"ailleurs en partie pour donner un cadre math´ematique adapt´e `a la th´eorie quantique que D. Hilbert et J. von Neumann ont d´evelopp´e la th´eorie des op´erateurs lin´eaires dans les espaces de Hilbert. Pour terminer cette introduction je voudrais insister sur le point sui- vant. L"analyse fonctionelle ´etudie des concepts g´en´eraux, parfois loin de l"in- tuition g´eom´etrique, mais dont l"efficacit´e a ´et´e prouv´ee depuis presque un si`ecle. Pour se familiariser en profondeur avec ses m´ethodes il faut constamment faire des aller-retour entre les concepts, les r´esultats g´en´eraux, d"une part, et les exemples qui les ont motiv´es d"autre part. Autrement dit il est indispensable pour comprendre le cours de r´esoudre des probl`emes ou exercices (c"est bien sˆur vrai pour l"ensemble des math´ematiques!). Les exemples et les probl`emes d"analyse fonctionnelle utilisent souvent la th´eorie de l"int´egration et l"analyse de Fourier. C"est pourquoi le dernier chapitre du cours (c6) est une annexe rappelant les principaux r´esultats utiles sur ces sujets. Dernier conseil : un cours ne s"apprend pas n´ecessairement de fa¸con lin´eaire. Apr`es une premi`ere lecture, on peut commencer `a faire des exer- cices puis revenir sur le cours pour l"approfondir puis retour sur les exer- cices et ainsi de suite. Il ne faut jamais perdre de vue quefaire des math´ematiques c"est poser et r´esoudre des probl`emes. Je recommande aussi pour compl´eter le cours, la lecture au moins par- tielle, des livres mentionn´es dans la bibliographie ou d"autres que vous trouverez `a la BU.

Plan du coursc1.Espaces de Banach

c2.Espaces de Hilbert c3.Applications lin´eaires et espaces de Hilbert c4.Dualit´e et application lin´eaires c5.´ Equations int´egrales-Th´eorie de Fredholmc6.Annexe : Int´egration et Analyse de Fourier. 2

Bibliographie pour l"ensemble du cours

1.H. Br´ezis Analyse fonctionnelle th´eorie et applications Masson fr Pa-

ris 1983 Collection Mathematiques Appliqu´ees pour la Maˆıtrise2.J. Dieudonn´e. El´ements d"analyse. T. I -fondements de l"analyse mo-

derne Gauthier-Villars fr Paris 1968.3.F. Riesz, B. Nagy. Le¸cons d"analyse fonctionnelle Akademiai Kiado

hu Budapest 1955 Acadmie des Sciences de Hongrie4.W. Rudin, Analyse r´eelle et complexe, ´edition Masson, 1975.

5.S. Banach. Th´eorie des op´erations lin´eaires, Chealsea publishing com-

pany.6.S. Lang, Analysis II Addison-Wesley publishing company us Massa- chusetts 1969 Addison-Wesley series in mathematics.

Nantes, le 20 juillet 2005, Didier ROBERT

email : didier.robert@univ-nantes.fr 3

Chapitre 1. Espaces de Banach

1.1 Espaces vectoriels norm´es

Dans ce chapitre tous les espaces vectoriels consid´er´es seront sur le corps Rdes nombres r´eels ou le corpsCdes nombres complexes.¯λd´esigne le

nombre complexe conjugu´e deλ?C.Kd´esigneRouC.D´efinition 1.1SoitEun espace vectoriel surK. On appelle semi-norme

surEtoute applicationu?→ ?u?deEdans[0,+∞[v´erifiant : (N-1)?λu?=|λ|?u? ?λ?K,?u? E (N-3)?0?= 0. On appelle norme toute semi-norme v´erifiant de plus : (N-4)?u?= 0?u= 0. (condition de s´eparation) On appelle espace vectoriel norm´e tout espace vectoriel surKmuni d"une norme. Tout espace vectoriel norm´eEest muni d"une distance canonique (d(u,v) =?u-v?qui en fait un espace m´etrique et donc un espace topologique. Une semi-norme d´efinit ´egalement une topologie qui n"est pas n´ecessairement s´epar´ee. Les ouvertsUde cette topologie sont ca- ract´eris´es par la propri´et´e suivante :

?u? U,?ε >0,{v? E ?u-v?< ε} ? UD´efinition 1.2 (normes ´equivalentes)SoientEun espace vectoriel

surKet 2 normes surE,? • ?1,? • ?2. On dit qu"elles sont ´equivalentes s"il existec >0,C >0telles que Deux normes ´equivalentes d´efinissent deux m´etriques ´equivalentes et donc des topologies identiques surE. Les exemples suivant seront trait´es en exercice. On consid`ere l"espace vectorielKn,n≥1 entier. Pouru= (u1,···,un)?Kn, on pose?u?p= (|u1|p+···+|un|p)1/p, pourp≥1 r´eel et sip=∞,?u?∞= max{|u1|,···,|un|}. Pour toutp?[1,+∞],? • ?psont des normes surKn´equivalentes entre- elles.SoitKun espace compact. On d´esigne parCK(K) l"ensemble des fonc- tions continues surK`a valeurs dansK. On pose, pourf? CK(K), ?f?∞= sup x?K|f(x)|. ∞. On d´efinit ainsi une norme surCK(K). SurCR([0,1]) on peut ´egalement consid´erer?f?1=?1

0|f(x)|dx.? • ?1

est une norme.? • ?1et? • ?∞sont des normes comparables mais non ´equivalentes. C"est un ph´enom`ene propre `a la dimension infinie, puisqu"en

dimension finie on a le r´esultat suivant.Proposition 1.3Sur tout espace vectorielEdedimension finietoutes les

normes sont ´equivalentes.

D´emonstration: voir exercice td1.

On sait que la boule unit´e ferm´ee d"un espace vectoriel de dimension finie

est compacte. Inversement on aTh´eor`eme 1.4SoitEun espace vectoriel norm´e. Si la boule unit´e ferm´ee

deEest compacte alorsEest de dimension finie.

D´emonstration:

D´esignons parBla boule unit´e deEet parB(a,r) la boule de centreaet de rayonr. Il r´esulte de la compacit´e, qu"il existea1,···,an?Btels que B?? D´esignons parVle sous-espace vectoriel engendr´e par{a1,···,an}. Mon- trons queV=E. Raisonnons par l"absurde. Supposons qu"il existe b? E,b /?V. OrVest ferm´e (c"est une cons´equence de l"´equivalence des normes surV) donc dist(b,V) =δ >0. Il existe doncc?Vtel b=c+?b-c?u=c+?b-c?ai+?b-c?(u-ai)

3δ/4, ce qui contredit la d´efinition deδ.??D´efinition 1.5On appelle espace de Banach surKtout espace vectoriel

norm´e{E,? • ?}complet pour la m´etrique associ´ee `a la norme. 4 Par exemple, on montrera en exercice queKn,n≥1 entier est un espace de Banach ainsi queCK(K) pour la norme? • ?∞. Pour faire de l"analyse efficace il est souvent pr´ef´erable de travailler dans des espace de Banach. On peut s"y ramener en raison du r´esulat de compl´etion suivant, cons´equence du th´eor`eme de compl´etion des espaces

m´etriques vu en Licence.Th´eor`eme 1.6Soit(E,? • ?)un espace vectoriel norm´e. Il existe alors

un espace de BanachˆE, muni d"une norme?| • |?, unique `a isom´etrie bijective pr`es et une isom´etriej;Ej→?Etels quej(E)est dense dansˆE.

1.2 Applications lin´eaires continues

Consid´erons deux espaces de Banach,Ei,?•?i,i= 1,2 et une application lin´eaireA:E1→ E2.Proposition 1.7Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (i)Aest continue surE1. (ii)Aest continue en 0.

D´emonstration:

Il suffit de montrer que (ii) entraˆıne (iii), les autres propri´et´es ´etant imm´ediates. Il r´esulte de la continuit´e en 0, qu"il existeη >0 tel que Maintenant pouru?= 0 on applique l"in´egalit´e pr´ec´edente `av=u?u?1ηet on obtient (iii) avecC=1η On d´esigne parL(E1,E2) l"ensemble des applications lin´eaires deE1dans E

2. Suivant la proposition pr´ec´edente, on pose

Ces ´egalit´es se v´erifient facilement.Proposition 1.8L(E1,E2)est un espace vectoriel et?•?est une norme

surL(E1,E2). SiE2est un espace de Banach alorsL(E1,E2)est un espace de Banach.D´emonstration: Il est clair queL(E1,E2) est un espace vectoriel. Le lecteur v´erifiera que ? • ?est une norme. Montrons queL(E1,E2) est complet. Soit{An}une suite de Cauchy dansL(E1,E2). Alors pour toutu? E1, A nuest une suite de Cauchy dansE2et converge donc vers un ´el´ement not´eAudeE2. On v´erifie facilement queAest une application lin´eaire. Montrons queAest continue. PosonsC= supn?An?.C <+∞car toute converge versAau sens de la norme? • ?. Pour toutε >0; il existeNεtel que pour toutu? E1et tousn,m≥Nε on a :

En faisant tendremvers l"infini, on obtient

Un cas particulier important est celui o`uE2=K.D´efinition 1.9On appelle dual topologique de l"espace vectoriel norm´e

El"espace de BanachE?=L(E,K)des formes lin´eaires continues surE.

1.3 Op´erations sur les espaces de Banach

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Pr´esentation du cours d"Analyse Fonctionnelle

Fr´echet, S. Banach, D. Hilbert.

Plan du coursc1.Espaces de Banach

Bibliographie pour l"ensemble du cours

1.H. Br´ezis Analyse fonctionnelle th´eorie et applications Masson fr Pa-

5.S. Banach. Th´eorie des op´erations lin´eaires, Chealsea publishing com-

Nantes, le 20 juillet 2005, Didier ROBERT

Chapitre 1. Espaces de Banach

1.1 Espaces vectoriels norm´es

0|f(x)|dx.? • ?1

D´emonstration: voir exercice td1.

D´emonstration:

3δ/4, ce qui contredit la d´efinition deδ.??D´efinition 1.5On appelle espace de Banach surKtout espace vectoriel

1.2 Applications lin´eaires continues

D´emonstration:

2. Suivant la proposition pr´ec´edente, on pose

En faisant tendremvers l"infini, on obtient

1.3 Op´erations sur les espaces de Banach