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Analyse Complexe

-.4 .0 .4 -.4.0.4 S

´eries de Fourier

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Ernst Hairer et Gerhard Wanner

Universit´e de Gen`eveOctobre 2006

Section de math´ematiques

Case postale 240

CH-1211 Gen`eve 4

Table de mati`ere

I Diff

´erentiabilit´e danslC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 I.1 Les nombres complexes et le plan complexe . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2 I.2 Fonctions complexes d'une variable complexe . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3 I.3 ´Equations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 I.4 Propri´et´es de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 9 I.5 S´eries et fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 12 I.6 Holomorphie et analyticit´e des s´eries enti`eres . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 14 I.7 Calcul avec des s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15 I.8 La fonction exponentielle et le logarithme . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 20 I.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II Calcul int

´egral et th´eorie de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 II.1 Chemins et courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29 II.2 Int´egrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 31 II.3 Existence des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 32 II.4 Th´eor`eme fondamental de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 34 II.5 Formule int´egrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 36 II.6 D´eriv´ees sup´erieures d'une fonction holomorphe . .. . . . . . . . . . . . . . . 38 II.7 Th´eor`eme fondamental de l'alg`ebre . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 39 II.8 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40 II.9 Prolongement analytique et th´eor`eme de l'image ouverte . . . . . . . . . . . . . 43 II.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46

III Singularit

´es et fonctions m´eromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 III.1 Le point `a l'infini et la sph`ere de Riemann . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 49 III.2 Le d´eveloppement de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 50

III.3 Singularit´es isol´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 52

III.4 Th´eor`eme des r´esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 55

III.5 Calcul d'int´egrales par la m´ethode des r´esidus . . .. . . . . . . . . . . . . . . 56

III.6 Fonctions m´eromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 60 III.7 Principe de l'argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 64 III.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66 i IV S´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 IV.1 D´efinitions math´ematiques et exemples . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 71 IV.2 Lemme de Riemann et fonctions `a variation born´ee . . . .. . . . . . . . . . . . 75 IV.3 Etude ´el´ementaire de la convergence . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 78 IV.4 Noyau de Dirichlet et convergence ponctuelle . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 79 IV.5 Le ph´enom`ene de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 82 IV.6 Fonctions continues, Th´eor`eme de Fej´er . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 83 IV.7 Syst`emes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 87 IV.8 L'espace de Hilbert?2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 IV.9 Ondelette de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93 IV.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95

V Equations aux d

´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 V.1 Equation des ondes (corde vibrante) . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 101 V.2 L'´equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 104 V.3 Le probl`eme de Dirichlet pour l'´equation du potentiel. . . . . . . . . . . . . . 106 V.4 Equation des ondes (membrane circulaire) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 108 V.5 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 113 V.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 ii OEuvres g´en´erales sur l'analyse complexe et les s´eries de Fourier Il y a un grand assortiment de livres qui introduisent le sujet d'analyse complexe (voir le rayon

30 `a la biblioth`eque de la section de math´ematiques et aussi le rayon 27 pour des trait´es g´en´eraux

d'analyse). Des livres sur l'analyse de Fourier se trouventau rayon 42. En voici quelques ex- emples. Les num´eros entre chrochets (p. ex. [MA 30/213]) vous permettent de trouver le livre facilement `a la biblioth`eque. L.V. Ahlfors (1979):Complex Analysis.McGraw-Hill. [MA 30/62] T. Apostol (1957):Mathematical Analysis.Addison-Wesley. [MA 27/51] H. Behnke & F. Sommer (1962):Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Ver¨anderlichen.

Springer-Verlag. [MA 30/91]

J.C. Burkill & H. Burkill (1970):A Second Course in Mathematical Analysis.Cambridge University Press.

[MA 27/152]

H. Cartan (1961):Th´eorie´el´ementaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes.

Hermann. [MA 30/101]

J. Conway (1973):Functions of one complex variable.Springer. [MA 30/152] H. Dym & H.P. McKeen (1972):Fourier Series and Integrals.Academic Press. [MA 42/62] W. Fulks (1993):Complex Variables.M. Dekker. [MA 30/268] T.W. Gamelin (2001):Complex Analysis.Springer. [MA 30/300] R. Godement (1998):Analyse math´ematique II et III.Springer. [MA 27/274] P. Henrici (1974):Applied and Computational Complex Analysis.John Wiley & Sons. [MA 30/166] A. Hurwitz & R. Courant (1964):Funktionentheorie.Springer-Verlag. [MA 30/100]

E. Neuenschwander (1996):Riemanns Einf¨uhrung in die Funktionentheorie.G¨ottingen; cours donn´e par

Riemann `a l'Universit´e de G¨ottingen 1855-1861. R. Remmert (1991):Theory of Complex Functions.Springer. [MA 30/213] M. Rudin (1978):Analyse r´eelle et complexe.Masson. [MA 27/95] G.P. Tolstov (1962):Fourier Series.Dover. [MA 42/115] J.S. Walker (1988):Fourier Analysis.Oxford University Press. [MA 42/110]

Avant-propos

Ce polycopi´e contient la mati`ere du cours "Analyse II (analyse complexe)" enseign´e pendant les

ann´ees 1999 - 2002 par Gerhard Wanner et pendant l'ann´ee acad´emique 2005/06 par Ernst Hairer

`a la Section de math´ematiques de l'Universit´e de Gen`eve. Les portraits de la page 1 ont ´et´e copi´es

sur l'adresse Internet http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/≂history/Mathematicians/. En ce lieu, nous aimerions remercier Assyr Abdulle, St´ephane Cirilli, Ghislain Jaudon, Gilles

Vilmart et des nombreux assistants et ´etudiants soit pour leur aide dans la pr´eparation des exercices

soit pour la correction des erreurs (typographiques et math´ematiques). iii iv

TABLE DE MATI`ERE1

Analyse complexe

"COMPLEXEadj. (lat.complexus, qui contient). Qui contient plusieurs ´el´ements diff´erents

et combin´es d'une mani`ere qui n'est pas imm´ediatement claire pour l'esprit, qui est difficile `a

analyser."(Petit Larousse illustr´e 1983)

L'analyse complexemoderne a ´et´e d´evelopp´ee au 19 `eme si`ecle par trois math´ematiciens c´el`ebres:

A.L. Cauchy (1789-1857)consid`ere des fonctions diff´erentiables danslC(fonctions holo-

morphes ou analytiques). Sa th´eorie est bas´ee sur une repr´esentation int´egrale de telles

fonctions (formule de Cauchy) et sur les r´esidus. B. Riemann (1826-1866)publie sa th`ese "Grundlagen f¨ur eine allgemeine Theorie der Functionen einer ver¨anderlichen complexen Gr¨osse" en 1851. Pour lui, la conception g´eo- m´etrique occupe une place pr´epond´erante.

K. Weierstrass (1815-1897)appuie sa th´eorie sur les fonctions d´eveloppables en s´eries

enti`eres (fonctionsanalytiques),il en r´esulteuneapprochealg´ebriquedel'analysecomplexe.

Aujourd'hui, les trois approches sont confondues et ins´eparables. De cette mani`ere il est possible

de simplifier la th´eorie et de trouver des r´esultats importants.

"La th´eorie de Cauchy contenait en germe `a la fois la conception g´eom´etrique de Riemann et la

conception arithm´etique de Weierstraß,...la m´ethode de Riemann est avant tout une m´ethode

de d´ecouverte, celle de Weierstraß est avant tout une m´ethode de d´emonstration." (H. Poincar´e 1898,Acta Math.22, p.6-7)

Dans ce cours nous abordons la th´eorie du calcul diff´erentiel danslC(chapitre I) et des fonctions

holomorphes selon Riemann. Nous suivons ensuite le cheminement de Cauchy (int´egrales com- plexes, formule de Cauchy) dans le chapitre II et nous d´emontrons que toute fonction holomorphe

est analytique (poss`ede un d´eveloppement en s´erie enti`ere). Nous traitons les singularit´es et le

calcul de r´esidus dans le chapitre III.

Cauchy Riemann Weierstrass

Chapitre IDiff´erentiabilit´e danslC

L'objet de l'analysecomplexeest l'´etude defonctionslC→lC. Nous rappelons les r`egles de calcul

avec les nombres complexes et nous discutons la diff´erentiabilit´e danslC(qui est diff´erente de la

diff´erentiabilit´e dansIR2). Les fonctions holomorphes (c.-`a-d., diff´erentiable danslC) poss`edent

despropri´et´essurprenantesquiserontanalys´eesparlasuite. Nousterminonscechapitreparl'´etude

des s´eries enti`eres (fonctions analytiques).

I.1 Les nombres complexes et le plan complexe

Les nombres complexes ont leur origine dans l'impossibilit´e de r´esoudre certaines ´equations qua-

dratiques (Cardano 1545); au cours des si`ecles suivants, ils deviennent de plus en plus importants (Descartes 1637; voir [HW, pages 57-61]

1pour plus de pr´ecisions). Euler d´ecouvre leur grande

utilit´e dans toutes les branches de l'analyse, et introduit (en 1777) le symbole i=⎷ -1c.-`a-d.i2=-1,(1.1) grˆace auquel les nombres complexes prennent la forme z=x+iy.(1.2) D`es le d´ebut du 19`eme si`ecle (Gauss 1799, Argand 1806), on identifie les nombres complexeslC avec leplan de Gauss(ou plan d'Argand)IR2(voir Fig.I.1 `a gauche) lC={x+iy;x,y?IR} ?IR2={(x,y) ;x,y?IR}.(1.3) On notex=Rez,y=Imzlesparties r´eellesetimaginairesdez, et z=x-iyle nombre complexe conjugu

´e.

Le corps des nombres complexes.En tenant compte de (1.1), le produit de deux nombres com- plexesc=a+ibetz=x+iydonne c·z=ax-by+i(ay+bx).(1.4) Avec l'additionc+z=a+x+i(b+y)l'ensemblelCdevient uncorps commutatif. L'´el´ement inverse dezpour la multiplication est 1 z= z zz=x-iyx2+y2=xx2+y2-iyx2+y2.(1.5)

1On utilise l'abbreviation HW pour le livre de E. Hairer & G. Wanner,L'analyse au fil de l'histoire. Ce livre nous

sert de r´ef´erence sur le sujets trait´es au cours Analyse I.

Diff´erentiabilit´e danslC3

0101-i

i rz=x+iy xy z=x-iy1 ze i?lC i zcw=c+zi ?αz cw=c·z FIG. I.1: Plan complexe (gauche), addition complexe (milieu),multiplication complexe (droite) En identifiant un nombre r´eelxavec le nombre complexex+i·0, l'ensembleIRpeut ˆetre consid´er´e comme un sous-corps delC.

Coordonn

´ees polaires.Si l'on d´enote parrla distance du pointz=x+iy`a l'origine, et par?

l'angle entre l'axe horizontal et la droite qui relie l'origine avec le pointz(voir Fig.I.1 `a gauche),

nous avonsx=rcos?ety=rsin?. La distancers'appellemoduleouvaleur absoluedez, et ?= argzest sonargument. Ainsi le nombre complexezpeut ˆetre ´ecrit comme z=r(cos?+isin?).(1.6)

Cette repr´esentation des nombres complexes permet une interpr´etation g´eom´etrique du produit.

Pourc=s(cosα+isinα)etz=r(cos?+isin?), le produit (1.4) devient c·z=sr(cosαcos?-sinαsin?+i(sinαcos?+ cosαsin?)) =sr(cos(α+?) +isin(α+?))(1.7)

`a l'aide des identit´es trigonom´etriques connues ([HW, p.43]). Ainsi, la multiplication de deux

nombres complexesmultiplie les valeurs absoluesetadditionne les arguments(Fig.I.1 `a droite).

Espace m

´etrique.Avec l'identification (1.3) delCavecIR2, la valeur absolue dez=x+iy |z|=r=? x2+y2,(1.8) correspond `a la norme euclidienne deIR2. Elle fait delCun espace norm´e. La distance entre deux nombres complexes est ainsid(z1,z2) =|z2-z1|. Les concepts de convergence, limites, continuit´e, convergence uniforme, ensembles ouverts et

ferm´es, compacit´e, etc. sont les mˆemes qu'en Analyse I etn'ont donc pas besoin d'ˆetre r´ep´et´es.

Nous utiliserons la notationDr(c) ={z?lC;|z-c|< r}pour le disque ouvert centr´e au point cet de rayonr.

I.2 Fonctions complexes d'une variable complexe

SoitU?lCun ensemble (g´en´eralement ouvert) etV?lCun autre ensemble. Une fonction qui associe `a chaquez?Uunw=f(z)?Vest unefonction complexef:U→V. Nous pouvons aussi identifierz=x+iy?(x,y)?IR2etw=f(z)?(u,v)?IR2et arrivons `adeuxfonctionsu(x,y),v(x,y)(les coordonn´ees du pointw) dedeuxvariables r´eelles x,y(les coordonn´ees du pointz); voir Fig.I.2.

4Diff´erentiabilit´e danslC

1 1 1 1 U z xy z 1 z 2 z HV w uv w 1 w

2w=f(z)

f f(γ) f(H)

FIG. I.2: Fonction complexew= (z+ 0.2)2

Si un pointz1se met en mouvement le long d'une courbeγ, alors le point imagew1bougera le long d'une autre courbef(γ); si un pointz2remplit une surfaceH("the horse of Sarah"), alors le point imagew2remplira une surfacef(H); voir Fig.I.2. Plusieurs exemples vont nous aider `a nous familiariser avec cette mati`ere. On va constater que des formules tr`es simples donnent d´ej`a lieu `a des situations assez compliqu´ees.

Exemple 2.1 (applicationlC-lin´eaire)Pour un nombre complexecfix´e, consid´erons la fonction

w=f(z) =cz.(2.1) Elle estlC-lin´eaire, c.-`a-d., elle satisfaitf(c1z1+c2z2) =c1f(z1) +c2f(z2)pour toutc1,c2?lC et pour toutz1,z2?lC. Vue comme application deIR2dansIR2(z=x+iy,c=a+ib=s(cosα+isinα), w=u+iv), nous pouvons l'´ecrire sous forme matricielle (cf. la formule (1.4)) ?u v? =?a-b b a?? x y? =s?cosα-sinα sinαcosα?? x y? .(2.2)

Cette application lin´eaire est unerotationorthogonale d'angleα= argc, suivie d'unehomoth´etie

de rapports=|c|(voir Fig.I.3). Elle sera fondamentale, plus tard, pour toute la compr´ehension des fonctionslC-diff´erentiables. -11 -1 1 -11 -1 1 z c w=cz c

FIG. I.3: Produit avec une constante,w=cz

Diff´erentiabilit´e danslC5

-11 -1 1 -11 -1 1 z cwc

FIG. I.4: ApplicationIR-lin´eaire de (2.3)

Exemple 2.2 (applicationIR-lin´eaire mais paslC-lin´eaire)Consid´erons la fonction w=f(z) = (0.3-i)z-(1.1-0.5i) z.(2.3)

Elle n'est paslC-lin´eaire, carf(i)?=if(1). Par contre, elle estIR-lin´eaire c.-`a-d., elle satisfait

f(c1z1+c2z2) =c1f(z1) +c2f(z2)pour toutc1,c2?IRet pour toutz1,z2?lC. Comme application deIR2dansIR2elle devient ?u v? =?a b c d?? x y? (2.4)

sans structure particuli`ere de la matrice apparente. En contraste avec l'exemple pr´ec´edent, nous

observons que l'orientation n'est pas pr´eserv´ee et que lagrille ne reste pas orthogonale (Fig.I.4).

Exemple 2.3 (fonction carr

´ee)La fonction

w=f(z) =z2(2.5) est illustr´ee en Fig.I.5. En coordonn´ees r´eellesu+iv= (x+iy)2=x2-y2+ 2ixyelle est donn´ee par u=x2-y2, v= 2xy.(2.6) -10 -1 1 -11 -1 1 z=⎷ww=z2

FIG. I.5: La fonctionw=z2

6Diff´erentiabilit´e danslC

Les images des lignes verticales (poserx=a) deviennentu=a2-y2, v= 2ayet en ´eliminant yon trouve des parabolesu=a2-v2

4a2. Les lignes horizontales (y=b) deviennent des paraboles

aussi (voir Fig.I.5). Nous observons que pour chaquew?= 0, cette fonction poss`ede 2 pr´eimages (un chat gris fonc´e et un chat gris clair). Ce ph´enom`eme vaencore nous int´eresser. Exemple 2.4 (transformation de Cayley)Une fonction int´eressante est w=f(z) =z+ 1 z-1,(2.7) elle est illustr´ee en Fig.I.6. C'est uneinvolution, c.-`a-d., elle satisfaitf(f(z)) =z. Donc, la fonctionf(z)est bijective comme applicationlC\ {1} →lC\ {1}et on af-1(z) =f(z). L'importance de cette formule fut d´ecouverte par Cayley (Crelle J.vol.32, 1846, p.119) pour

le calcul matriciel: elle m´etamorphose des matrices antisym´etriques en matrices orthogonales.

DanslC, elle transforme l'axe imaginaire en cercle unitaire (et vice-versa):quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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