4 - Il faut calculer : ∂2E ∂t2 = E0(−ω2) cos [ ω ( t − x c )] = −ω2E correction – CCP physique TSI 2014 1/8 Pierre de Coubertin TSI 2 2017-2018 Page 2
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4 - Il faut calculer : ∂2E ∂t2 = E0(−ω2) cos [ ω ( t − x c )] = −ω2E correction – CCP physique TSI 2014 1/8 Pierre de Coubertin TSI 2 2017-2018 Page 2
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Mickaël Melzani -www.mmelzani.frRévisions
Correction - physique - CCP TSI 2014Problème I - Ondes électromagnétiques Première partie - Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide 1 - div ~E=0;!rot~E=@~B@t
div ~B= 0;!rot~B=0~j+00@~E@t Dans un espace vide de charges et de courants on a= 0et~j=~0, d"où : div ~E= 0;!rot~E=@~B@t div ~B= 0;!rot~B=00@~E@t2 -?On part de l"égalité!rot(!rot~E) =!grad(div~E)~E.
On a div
~E= 0(pas de charges). Puis !rot!rot(~E) =!rot @~B@t =@@t !rot~B=@@t00@~E@t
On obtient donc :~E00@2~E@t
2=~0:?Pour le champ magnétique on procède de même :!rot(!rot~B) =!grad(div~B)~B.
On a div
~B= 0. Puis !rot(!rot~B) =!rot00@~E@t
=00@@t !rot~E=00@2~B@t 2.On obtient donc :~B00@2~B@t
2=~0:3 -L"onde se propage selon lesxcroissants.
Elle est plane car elle ne dépend que d"une seule coordonnée cartésienne : les surfaces d"onde
sont des plans.Elle est progressive car elle s"écrit sous la formef(xvt): il y a donc propagation sans déformation
du profil. Elle est monochromatique car la dépendance temporelle est du typecos(!t+cst)(àMfixé). creprésente la célérité de l"onde, donc sa vitesse de propagation. On a ~k=k~ex, aveck=!=c >0sa norme.4 -Il faut calculer :
2~E@t2=~E0(!2) cosh
txc i =!2~E correction - CCP physique TSI 20141 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018Mickaël Melzani -www.mmelzani.fr
~E= Ex~ex+ Ey~ey+ Ez~ez = n E0ycosh
txc io ~e y+ n E0zcosh
txc io ~e z:Calculons la composante selon~ey:
n E0ycosh
txc io =E0y@2@x 2cosh txc i =E0y!2c 2cosh txc iDe même sur~ez:
n E0zcosh
txc io =E0z@2@x 2cosh txc i =E0z!2c 2cosh txc iÀ la fin on obtient
~E=!2c 2~E:L"équation de d"Alembert impose donc que!2c
2~E00(!2)~E=~0, et il faut donc que :
00=1c2:5 -On sait que pour une OPPM dans le vide, les équations de Maxwell imposent la relation~B=
~k^~E! (on peut le démontrer en appliquant Maxwell-Faraday,!rot~E=(@=@t)~B, si besoin).Ceci indique directement que
~Eet~Bsont perpendiculaires.En prenant la norme, et en utilisant le fait que pour une OPPM dans le vide
~Eet~ksont perpendiculaires, on obtientk~Bk=k~kkk~Ek! =!=ck~Ek! , d"oùk~Bk=k~Ekc :Calculons : ~B=k~ex! ^(E0y~ey+E0z~ez)cosh txc i 1c (E0y~ezE0z~ey)cosh txc iOn a doncB0y=E0zcetB0z=E0yc
:6 -1/ Le vecteur de Poynting est défini comme~R=~E^~B0:Son unité est le watt par mètre carré (Wm2).
Il donne la puissance électromagnétique passant par unité de surface. ~R!dSest ainsi égal à la puissance des champs passant à travers la surface élémentaire!dS.2/On passe les calculs, on arrive à :
R=c0E20cos2h
txc i ~ex:On prend ensuite la valeur moyenne sur une périodeT, en sachant que celle d"un cosinus au carré
de pulsation2=!donne1=2. On a donc h ~Ri=c0E202 ~ex:correction - CCP physique TSI 20142 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018Mickaël Melzani -www.mmelzani.fr
Deuxième partie - réflexion d"une OPPM sur un conducteur parfait en incidence normale7 -La direction de polarisation du champ électrique est~ey.
8 -Les relations de passage (qui ne sont plus exigibles dans les programmes post-2014) sont :
E2~E1=
0~n12et~B2~B1=0~js^~n12;
avec~n12un vecteur unitaire qui va du milieu 1 vers le milieu 2,~E1le champ électrique total dans le milieu 1 au niveau de l"interface,~E2le champ électrique total dans le milieu 2 au niveaude l"interface, et de même pour~B1et~B2,la densité surfacique de charge à l"interface, et~jsla
densité surfacique de courants à l"interface. 9 -1/ D"après la relation précédente pour~E, on sait que la composante tangentielle au plan du
champ électrique est continue. Ici la direction de propagation de~Eiet de~Erest selon~ex, doncle champ électrique associé à chacune de ces OPPM est justement dans le plan du conducteur :
on a affaire uniquement à des composantes tangentielles, il y a donc continuité de~E.Enx= 0, on a côté conducteur~Etot(x= 0+;t) =~0, et côté vide~Etot(x= 0;t) =~Ei+~Er=
E0~eycos(!t) +~E0rcos(!t).
Il faut donc queE0~eycos(!t) +~E0rcos(!t) =~0, on a donc~E0r=E0~ey;et on a doncEr=E0cos(!t+kx)~ey:Et on rappelle que
Ei=E0cos(!tkx)~ey:2/On utilise encore la relation~B=~k^~E! , qui est valable indépendamment pour chacune desOPPM dans le vide.
On a donc
~Bi=k~ex^~Ei! =E0c cos(!tkx)~ez:Et ~Br=k~ex^~Er! =E0c cos(!t+kx)~ez:3/On utilisecos(a+b) = cosacosbsinasinbetcos(ab) = cosacosb+sinasinbpour arriver au résultat demandé, à savoir queE=~Ei+~Er= 2E0sin!tsinkx~eyet~B=~Bi+~Br=2E0c
cos!tcoskx~ez:Il s"agit d"ondes stationnaires.10 -?Compte tenu du fait que le milieu 1 est le vide, le milieu 2 est le conducteur où donc~E2=~0,
la relation de passage s"écrit ~0~E1= 0~ex. Or ~E1est le champ total dans le vide enx= 0. L"expression précédente montre qu"il est nul. On a donc= 0:?pour~Bon a aussi~B2=~0dans le conducteur. On a~B1=~B(x= 0;t) =2E0c cos!t~ez.La relation de passage est donc
~02E0c cos!t~ez=0~js^~ex.Le vecteur
~jsest dans le planyz. D"après la relation ci-dessus, il doit être exclusivement selon ~e y. Posons donc~js=js~ey. correction - CCP physique TSI 20143 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018Mickaël Melzani -www.mmelzani.fr
On a alors
~02E0c cos!t~ez=0js~ey^~ex=0js~ez, d"oùjs=2E00ccos!t, et finalement (en
utilisant aussi00c2= 1) : js= 20cE0cos!t~ey:11 -1/ !dFL=~jsdS^~Bi = 20cE0cos!t~eydS^E0c cos(!t)~ez = 20E20cos2!tdS~ex:Pour obtenir la force totale on intègre sur toute la surfaceS. Comme rien ne dépend des variables
spatiales, on obtient directementFL= 20E20cos2!tS~ex:2/On remarque que cette force de Laplace est perpendiculaire à la surface. La pression est donc
donnée par la norme de la force de Laplace divisée par la surface :P= 20E20cos2!t:On prend la valeur moyenne sur une période :hPi=0E20:12 -
~R=~E^~B0et on prend les champs totaux de la question 9.3.
On obtient alors
~R= 4c0E20sin!tsinkxcos!tcoskx~ex=c0E20sin(2!t)sin2kx)~ex:La valeur moyenne est nulle. C"est normal, car la réflexion étant parfaite l"onde incidente amène
autant d"énergie que l"onde réfléchie n"en transporte dans l"autre direction. Il n"y a donc pas de
transport en moyenne.Problème II - L"oscilloscope cathodique
Première partie : création et accélération d"un faisceau d"électrons1 -Le champ électrique est selon l"axez. Il pointe vers les bas potentiels, donc vers~ez. On a donc
E=UACd
~ez. 2 - ~f=e~E=eUACd ~ez(on prende >0, la charge de l"électron est donce).3 -La force électrostatique est de l"ordre de10191030:1= 1015N, et le poids de l"ordre demeg
103010 = 1029N.
Le poids est donc largement négligeable devant la force électrostatique.4 -Théorème de l"énergie cinétique appliqué à l"électron, entre les points C et A :
E c(A)Ec(C) =WCA(~f) =eUACd ~ezd~ez=eUAC:OrEc(A) =12
mev20etEc(C)est négligeable devantEc(A). On en déduit : v0=r2eUACm
e= 1:9107m=s:Ceci est élevé, mais reste petit devant la vitesse de la lumière, ce qui montre que notre analyse
utilisant la mécanique classique est valide. correction - CCP physique TSI 20144 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018Mickaël Melzani -www.mmelzani.fr
Deuxième partie : Dispositif de déflexion du faisceau d"électrons5 -La différence de potentielle est positive. Elle est donc associée à un champ électrique~E=UyL
1~ey. La force s"exerçant sur les électrons est donc ~f0=e~E=eUyL1~ey:Elle est dirigée vers lesypositifs : les électrons sont donc déviés vers le haut.
6 -Principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron (dans le référentiel galiléen du
laboratoire) :me~a=~f0, d"où~a=eUym eL1~ey:7 -On projette8>>>< >>:x= 0; y=eUym eL1; z= 0:On intègre :
8>>>< >>:_x=A= 0; _y=eUym eL1t+B=eUym eL1t; _z=C=v0:On a déterminé les constantes d"intégrationA,BetCen utilisant le fait que àt= 0, l"électron
arrive enO1avec une vitessev0~ez.On intègre encore, en prenant en compte le fait que àt= 0l"électron est en(0;0;0)pour éliminer
les constantes d"intégration :8>>>< >>:x= 0; y=eUy2meL1t2; z=v0t: Pour obtenir l"équationy(z), on écrit quet=z=v0, et on injecte dans l"expression dey: y=eUy2meL1v20z2:8 -1/ Enz=ZE=L2on aXE= 0etYE=eUy2meL1v20L22:2/La tangente est donnée pardydz=eUym eL1v20z, et donc enz=L2elle vautp=eUyL2meL1v20:3/Après la sortie, l"électron n"est plus soumis à aucune force. Il voyage donc en ligne droite.
4/L"équation esty=p(zZE) +yE, soity=p(zL2) +eUyL222meL1v20:5/Le point d"impact est pourXs= 0(il n"y a pas de mouvement selonx), pourZs=L22
+D, et sa coordonnéeyest donnée en prenantz=L22 +Ddans l"équation de la droite précédente, doncYS=eUyL2m eL1v20 L22 +DL2 +eUyL222meL1v20, soitYS=eUyL2Dm eL1v20:correction - CCP physique TSI 20145 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018Mickaël Melzani -www.mmelzani.fr
9 -Ysest proportionnel àUy. Ceci permet donc de prévoir facilement le point d"impact sur l"écran,
et de réaliser un affichage sur l"écran de l"oscilloscope. Problème III - Pince ampèremétrique à induction Remarque :Dans tout ce problème on se place dans le cadre de l"ARQS magnétique, qui permetd"utiliser l"équation de Maxwell-Ampère simplifiée!rot~B=0~j, et donc d"avoir le théorème d"Ampère
et les propriétés de symétries du champ comme en magnétostatique.1 -Il s"agit du phénomène d"induction : la présence d"un courantI(t)variable dans le fil central crée
un champ magnétique variable, dont le flux à travers les spires varie, ce qui crée une fem induite
et donc un courant dans les spires.2 -?On considère un pointM. Le plan(M;~er;~ez), notésur le schéma ci-dessus, est un plan de
symétrie de la distribution de courants.Conséquence : le champ
~Bau pointMest orthogonal à ce plan. Il est donc selon~e.On a donc
~B=B(r;;z;t)~e(en régime variable il y a également la dépendance ent). ?La distribution de courants est invariante par rotation autour de l"axez(d"angle). Les composantes de~Bne dépendent donc pas de la coordonnée.On a donc
~B=B(r;z;t)~e:3 -On va utiliser le théorème d"Ampère.?On considère un pointMde coordonnées(r;;z), qui est à l"intérieur des spires.
?Le contour choisi est un cercle dont le centre est sur l"axez, perpendiculaire à l"axez, et passant par le pointM(donc de rayonr).On orientece contour pour que sa normale soit orientée selon+~ez. D"après la règle de la main
droite, il faut donc procéder comme sur la figure. On a alors!dl=dl~e. D"où : C ~B!dl= C B (r;z;t)~edl~e=B(r;z;t) C dl=B(r;z;t)2r: ?On exprime ensuite le courant enlacé :Ienlacé=I(t) +Ni(t)car dans le contour passent le fil du centre (courantI(t)), et chacune desNspires (couranti(t)par spire). correction - CCP physique TSI 20146 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018Mickaël Melzani -www.mmelzani.fr
?On applique le théorème d"Ampère : C ~B!dl=0Ienlacé, ce qui donne, après avoir isoléB: B (r;z;t) =0(I(t) +Ni(t))2r;d"où~B=0(I(t) +Ni(t))2r~e:4 - xSunespire~
B!dS 3a r=2a a=2 z=a=20(I(t) +Ni(t))2r~edS~e
3a r=2a a=2 z=a=20(I(t) +Ni(t))2rdS
3a r=2a a=2 z=a=20(I(t) +Ni(t))2rdrdz
0(I(t) +Ni(t))2
3a r=2adrr a=2 z=a=2dz0(I(t) +Ni(t))2ln3a2aa
0(I+Ni)2aln32
:On vient de donner l"expression du flux du champ magnétique à travers une spire. Or la pince comporteNspires. Le fluxtotà travers tout le bobinage de la pince ampèremétrique est donc tot=0N(I+Ni)2aln32 :5 -Le circuit considéré ici est le bobinage de la pince, parcouru par un couranti(t). Par définition des coefficientsLetM, le flux total du champ magnétique à travers le circuits"écrittot=Li+MI:On a alors bien, par identification avec le résultat de la question 4, les expressions de l"énoncé.
6 -La fem induite est en convention générateur, et sa valeur est donnée par la loi de Faraday :
e=dtotdt=MdIdtLdidt:7 -On écrit l"équation électrique du circuit à l"aide d"une loi des mailles :
On ae=Ri, soitRi+Ldidt=MdIdt.
On passe en régime complexe :Ri+j!Li=j!MI.
On en déduitH=
iI= j!MR+j!L:8 -jHj=!MpR2+ (!L)2:Lorsque!RL
on ajHj !MR et qui tend vers 0. correction - CCP physique TSI 20147 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018Mickaël Melzani -www.mmelzani.fr
Lorsque!RL
on ajHj ML =1N On peut donc mesurer des intensités dans la gamme de fréquences où l"amplitude deiest pro- portionnelle à celle deI, donc pourfR2L.À basse fréquence on n"a plus proportionnalité, la mesure devient donc plus complexe. À fréquence
nulle (courant continu),idevient nul et on ne peut plus faire de mesure. On s"y attendait car lephénomène d"induction nécessite un flux variable du champ magnétique, et non pas constant.