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Vincent Manet

Méthode des

éléments finis

Vulgarisation des aspects mathématiques

et illustration de la méthode Vincent Manet - 2015 (Ceci est la version "livre» de ce document) Ce document est sous licence Creative Commons 3.0 France : paternité ; pas d"utilisation commerciale ; partage des conditions initiales à l"identique ;

IntroductionDans ce (de moins en moins court) document, plutôt à destination d"ingénieurs mécaniciens

connaissant déjà la méthode des éléments finis, nous allons essayer de faire une présentation un

peu plus théorique que ce qui leur est généralement proposé (et qui est quand même souvent de

type "preuve par les mains», ce qui occulte trop de points).

Nous ne ferons appel qu"à des notions mathématiques de bases généralement déjà vues pour la

plupart en taupe (ou en tout début de cycle d"ingénieur)... bien que des compléments que l"on peut

qualifier d"élémentaires nous aient été demandés et aient été inclus.

Nous espérons, grâce à cette présentation théorique montrer toute la souplesse et la puissance

de la méthode, afin de permettre au lecteur d"envisager d"autres simulations que celles qu"il a pu

déjà réaliser par le passé.

Pourquoiuningénieur pratiquantdéjàlesélémentsfinis devrait-ils"intéresserplus enprofondeur

aux mathématiques derrière la méthode?

Tout d"abord parce que c"est beau et intéressant : deux raisons parfaitement licites et suffisantes.

Mais surtout parce que le monde change! On souhaite des modélisations toujours plus proches

du réel, toujours plus détaillées, toujours plus complexes, toujours plus couplées... Par ailleurs un

constat s"impose : si la physique d"hier était essentiellement celle du continu, celle d"aujourd"hui

est le règne du discontinu. Ainsi, connaître l"intégrale de Riemann et savoir intégrer par parties

étaient autrefois des outils suffisants, alors qu"aujourd"hui il faut en passer par les dérivées au sens

des distributions, les espaces de Sobolev, l"intégrale de Lebesgue...

Rester sur les outils d"hier c"est se condamner à résoudre les problèmes d"hier! C"est pourquoi

ce document a vu le jour, pour essayer de présenter et d"expliquer " simplement » (nous l"espérons)

les mathématiques derrière la méthode, mais sans demander au lecteur de se transformer en mathématicien.

But du document

Le but initial était deprésenter brièvement la théorie mathématiquederrière les éléments finis afin

que les ingénieurs utilisant cette méthode puisse en envisager toutes les applications, ainsi que de

couvrir les aspects qui, selon nous,devraient être connus de tout ingénieur mécanicien impliqué ou

intéressé par le calcul numérique.

Toutefois, il s"envisage comme support de référence à plusieurs cours, cours qui ne portent pas

sur tous les aspects traités dans ce document, et pendant lesquels les aspects pratiques sont plus

développés (avec mise en situation sur machine). Même si nous avons voulu rester le plus succinct possible, l"introduction de notions de proche

en proche à conduit à un document qui fait aujourd"hui une certaine taille (par exemple, nous avons

besoins des espaces de Sobolev, mais comment les introduire sans parler des espaces de Lebesgue, mais comment les introduire sans parler...).

Aussi le document a-t-il finalement été découpé en plusieurs parties : un survol des notions

mathématiques, puis le traitement du problème continu constituent l"ossature théorique nécessaire

à assoir la méthode des éléments finis sur un socle solide. La discrétisation par éléments finis

à proprement parler n"est aborder qu"ensuite, et d"ailleurs un seul chapitre suffirait à en faire le3But du document

tour... sauf à entrer plus dans le détail concernant " ce qui fâche » : homogénéisation, non linéarité,

dynamique, ce qui est fait dans des chapitres séparés.

Enfin, d"autres méthodes sont abordées car également très employées aujourd"hui. Aussi est-il

indispensable selon nous d"en avoir entendu parlé et d"en connaître les principales notions (BEM,

FEEC...).

En annexes, se trouve un petit fourre-tout comprenant des choses censées être maîtrisées depuis

la taupe (mais qui parfois nous sont demandées) et les compléments qui alourdiraient encore les

propos précédents. Certaines notions (essentiellement de topologie) ne sont pas présentées dans ce document. Il nous a semblé que le lecteur devait avoir quelques souvenirs de ce qu"est un ouvert, un fermé,

l"adhérence, la densité... Par ailleurs, leur nom peut être suffisamment évocateur pour se passer

d"une définition formelle dans le contexte de ce document. Attention, ce document n"est pas un document de mathématiques, il ne contient d"ailleurs aucune preuve. C"est, dans ces deux premières parties, un document de vulgarisation de notions

mathématiques nécessaires à une bonne compréhension de la méthode des éléments finis.

Nous avons voulu réaliser un survol des notions importantes, mais malgré tout, afin de ne pas être parfois trop laconique, nous avons un peu débordé. En fin de document, un petit index des noms propres permettra au lecteur de replacer les divers

développements mentionnés dans l"histoire... Il se peut qu"il subsistent quelques erreurs, notamment

au niveau des nationalités mentionnées, car il n"est pas toujours aisé de déterminer rapidement cette

information (et nous ne connaissons pas toutes les biographies des personnes citées).

Ce document a été réalisé très rapidement, et de manière extrêmement hachée. Il comporte

forcément encore beaucoup de fautes : merci de m"en faire part.

Démarche de l"ingénieur numéricien

En préambule à ce document, nous tenions à synthétiser la démarche complète de l"ingénieur

numéricien :

Modélisation / mise en équations - Construction du problème continu (système d"équations

aux dérivées partielles).

Analyse mathématique du problème posé - Existence, unicité, propriétés des solutions.

Conception d"une méthode numérique - Construction d"un problème discrétisé. Analyse numérique - Questions de stabilité, con vergence,précision. Algorithmique - Choix de méthodes de résolution en dimension finie.

Mise en oeuvre sur ordinateur - Programmation.

Pre et Post Traitement (maillages / visualisation) - Interpolation, extrapolation, outils de la CAO. Tous ces points ne seront évidemment pas abordés dans ce document!

Remerciements :

Nous remercions Mathias Legrand pour ses conseils avisés et sa relecture pertinente.

Notre collaboration a permis une très nette amélioration de la qualité typographique générale du

document, et a conduit à la coexistence de deux versions, issues du même code source : l"une que

nous appelons " version cours» correspond à ce que nous proposons en cours (couleurs, notations);

l"autre que nous nommons "version livre», plus classique et sage dans sa forme, est plus proche d"un ouvrage.Démarche de l"ingénieur numéricien4

Table des matières

Introduction.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

But du document

3

Démarche de l"ingénieur numéricien

4

Table des matières.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ISURVOL MATHÉMATIQUE

1Les espaces de base.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1 Panorama non exhaustif des espaces

17

1.1.1 Point de vue topologique

18

1.1.2 Point de vue métrique

19

1.1.3 Point de vue algébrique

19

1.2 Tribu, mesure, espaces mesurable et mesuré

22

1.3 Tribu borélienne, mesures de Dirac et Lebesgue

23

1.4 Propriétés de la mesure de Lebesgue

25

1.5 Petit exemple amusant d"injection dans un Hilbert

26

2Applications et morphismes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Fonction, application, injection, surjection, bijection

28

2.2 Morphismes

29

2.2.1 Présentation

29

2.2.2 Cas des espaces vectoriels : application et forme linéaires

30

2.2.3 Endo, iso, auto -morphismes

30

2.2.4 Espace dual d"un espace vectoriel

30

2.2.5 Noyau et image

31

2.3 Opérateur

32

3Continuité et dérivabilité.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1 Continuité et classeC033

35

3.3 Dérivée

35

3.4 Fonctions de classeCk37

3.5 Différentielle

37

3.6 Dérivées partielles

37

3.7 Retour sur les classesCkpour une fonction de plusieurs variables39 5TABLE DES MATIÈRES

3.8 Nabla et comparses40

3.8.1 Champs de vecteurs et de scalaires

40

3.8.2 Gradient, divergence, rotationnel, Laplacien et D"Alembertien

40

3.8.3 Normale et dérivée normale

41

3.8.4 Potentiel d"un champ vectoriel

42

3.8.5 Signification "physique»

42

3.9 Quelques théorèmes sur les intégrales

43

4Espaces de Lebesgue.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1 Présentation des espaces de LebesgueLp48

4.2 Construction deLp49

4.3 EspaceL050

4.4 EspaceL1et dualité avecL150

4.5 EspaceL251

4.6 Compléments et retour sur les fonctions continues et différentiables

51

5Espaces de Sobolev.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1 Distributions

56

5.2 Dérivées au sens des distributions

58

5.3 EspacesWm;p./60

5.4 EspacesHm./,Hm0./etHm./60

5.5 Prise en compte du contour du domaine

62

5.5.1 Trace

62

5.5.2 Espace trace

63

5.6 EspacesH1./,H10./etH1./64

5.7 EspacesH.div/etH.rot/66

5.8 Inégalités utiles

66 IIPROBLÈME CONTINU

6Problèmes physiques : équations différentielles et aux dérivées par-

tielles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.1 Introduction

75

6.2 Conditions aux limites

77

6.2.1 Dirichlet - valeurs aux bords

77

6.2.2 Neumann - gradients aux bords

77

6.2.3 Robin - relation gradient/valeurs sur le bord

78

6.2.4 Condition aux limites dynamique

78

6.2.5 Condition aux limites mêlée

78

6.3 Types d"équation aux dérivées partielles

78

6.4 Phénomènes de propagation et de diffusion

78

6.4.1 Équations de Laplace et Poisson

79

6.4.2 Équation d"onde, phénomènes vibratoires

80

6.4.3 Équation de la chaleur

80 TABLE DES MATIÈRES6

6.5 Mécanique des fluides83

6.5.1 Équation de Navier-Stokes

83

6.5.2 Équation de Stokes

85

6.5.3 Équation d"Euler

86

6.6 Équations de la mécanique des milieux continus des solides

86

6.6.1 Notions générales conduisant aux équations de la mécanique

86

6.6.2 Formulation générale

89

6.6.3 Dynamique / statique

89

6.6.4 Grands / petits déplacements

90

6.6.5 Loi de comportement

90

6.7 Équations de l"acoustique

92

6.8 Multiplicateurs de Lagrange

92

7Formulations faible et variationnelle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.1 Principe des formulations faible et variationnelle

95

7.2 Théorème de représentation de Riesz-Fréchet

98

7.2.1 Cas des formes linéaires

98

7.2.2 Extension aux formes bilinéaires

98

7.3 Théorème de Lax-Milgram

98

7.4 Théorème de Babuška et condition inf-sup

100

7.5 Théorèmes de Brezzi et condition BBL

100

7.6 Multiplicateurs de Lagrange

102

8Problèmes physiques : formulations faibles et variationnelles.. . 105

8.1 Phénomènes de propagation et de diffusion

105

8.1.1 Équations de Laplace et Poisson

105

8.1.2 Équation d"onde

108

8.1.3 Équation de la chaleur

108

8.2 Mécanique des fluides

109

8.2.1 Équation de Stokes

109

8.2.2 Équation de Navier-Stokes

110

8.2.3 Équation d"Euler

111

8.3 Équations de la mécanique des milieux continus des solides

111

8.3.1 Formulation générale

111

8.3.2 Choix des variables

112

8.3.3 Équation des plaques

114

8.4 Équations de l"acoustique

116

8.4.1 Équation de Helmholtz

117

8.4.2 Conditions aux limites en acoustique

117

8.4.3 Formulation faible

117

9Exemple de formulation variationnelle d"un problème de Neumann

119

9.1 Étude directe de l"existence et l"unicité de la solution

119

9.2 Formulation variationnelle

119

9.3 Formulation mixte duale

121 7TABLE DES MATIÈRES

IIIÉLÉMENTS FINIS

10La méthode des éléments finis.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

10.1 Introduction

129

10.2 Problèmes de la modélisation "réelle»

131

10.2.1 Problèmes géométriques

131

10.2.2 Problèmes d"échelle

131

10.2.3 Couplage géométrique

132

10.2.4 Couplage intrinsèque

133

10.3 Principe de la méthode : résolution d"un système matriciel

133

10.4 Approximation conforme et lemme de Céa

135

10.4.1 Cas Lax-Milgram

135

10.4.2 Cas Babuška

136

10.4.3 Cas Brezzi

137

10.5 Approximations non conformes et lemmes de Strang

137

10.5.1 Approximation interne

137

10.5.2 Approximation externe

138

10.6 Convergence de la méthode des éléments finis en approximation conforme interne

138

10.6.1 Calcul de la majoration d"erreur

139

10.6.2 Majoration de l"erreur

140

11Choix d"un Modèle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

11.1 La mécanique, un problème à plusieurs champs

142

11.2 Plusieurs modélisations d"un même problème

145

11.3 Exemple : retour sur le calcul de poutre du paragraphe 11.1 avec CAST3M149

11.3.1 Modélisation 2D

149

11.3.2 Modèle 3D

150

11.4 Interpolation des champs et de la géométrie

151

12Formulation pratique d"éléments finis.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

12.1 Éléments de Lagrange

153

12.1.1 Unisolvance

153

12.1.2 Éléments finis de Lagrange

154

12.1.3 Famille affine d"éléments finis et élément de référence

156

12.1.4 Construction de la base globale

157

12.1.5 Exemple : éléments finisPken élasticité linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

12.2 Éléments d"Hermite

158

12.2.1 Classe d"un élément fini

158

12.2.2 Éléments finis d"Hermite

159

12.2.3 Éléments uni- et bidimensionnels

159

12.2.4 Exemple : éléments finis d"Hermite pour l"équation des plaques

160

12.3 Traitement de plusieurs champs

163

12.4 Validation pratique et indicateurs d"erreur

164

12.4.1 Modes rigides et parasites

164

12.4.2 Modes associés aux déformations constantes

165

12.4.3 Patch-tests

165

12.4.4 Test de précision d"un élément

165 TABLE DES MATIÈRES8

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