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For example, to create a one row matrix of five elements, type A = [12 62 93 -8 22 ]; manner, and concatenate this additional storage onto the original array

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Matlab?uneintro duction?Fran?cois LangotCEPREMAP et Universit?e duMaineCette note a p our ob jectif de donner les bases n?ecessaire ?a l?utilisation du logicielMatlab?Les conventions suivantes sont adopt?ees:?le texte en caract?eretypesetd?ecrit des co des Matlab??un?;??ala?ndelaligneindique?aMatlabdenepasa?cherlacommandequ?il ex?ecute??De nombreuses fonctions et instructions ne sont pas d?etaill?ees dans cette note?mais leurs co des sont donn?es en annexe?1Manipulationsdevecteursetdematrices1?1ConstruireuneMatriceIl y a plusieursmani?eres p our construire une matrice avec Matlab??La premi?ere? et p eut ?etre la plus simple?est de d?eclarer la matrice comme onl??ecrit ?a la main:A=?123456?Ceci cr?ee une matrice ?2?3? matrix de la forme:?

123456

??Une autre p ossibilit?eest d??ecrire:A=?123;456?Cesexemplesmontrentquedanslescro chets?unespacesert?as?e?parerlescolonnes?alorsqu?un?;?sert?as?eparerleslignesdelamatrice?1

?Finalement? ilest p ossiblede d?eclarer une matrice ?el?ement par ?el?ement:A?1?1?=1;

A?1?2?=2;

A?1?3?=3;A?2?1?=4;

A?2?2?=5;A?2?3?=6;1?2Lesmatrices particuli?eresIl y a des matrices particuli?eres qu?il est tr?es utilede conna??tre:?Lamatricez?ero:oncr?eeunematrice?r?c?de0enutilisantl?instructionzeros?r?c??Par exemple:A=zeros?2?3?;

cr?ee la matrice:A?

000000

??La matrice de un:on p eut cr?eer une matrice ?r?c? de 1 en utilisant l?instructionones?r?c??Par exemple:A=ones?2?3?;cr?ee la matrice:A?

111111

??la matrice identit?eIn

p eut ?etre cr?ee gr?ace ?a la commandeeye?n?? o ?unest ladimensionde la matrice?Ainsi?A=eye?3?;cr?ee la matrice:A?

0 B

100010001

1 C

A?une matrice al?eatoire:on p eut cr?eer une matrice ?r?c? d??el?ements al?eatoires enutilisant la commanderand?r?c?? p our des ?el?ements uniform?ement distribu?es?ourandn?r?c?? p ourdes?el?ements normalementdistribu?es?Ildoit?etre not?equerandtire des nombre sur le supp ort ?0;1? alors querandntire des nombresdans la une loinormaleN?0?1??2

?La matrice videp eut ?etre utilelors de l?initialisationd?une matrice:A=??;d?e?nitAcomme la matrice vide?1?3ManipulationsdebaseUne des op?erations de base les plus courante consiste ?a extraire des ?el?ements d?unematrice?Matlab donne un ensembled?instruments tr?es puissants p our e?ectuer cesop?erations?Consid?erons la matrice:A?

0 B BBB B?

1234523451345124512351234

1 C CCC

CA?On veut isoler la matrice centrale:B?

0 B BB?

23344551

1 C CCAPour obtenirB? les commandes Matlab sont:B=A?1:4?2:3?

1:4signi?elas?equence1234et2:3las?equence23?detellesortequeB=A?1:4?2:3?est l?instruction qui va p ermettre de d?e?nirBcomme une s?elec?tion des ligne 1 2 3 4 deAet de colonnes 2 et 3??Supp osonsquenousvoulionss?electionnerlescolonnes1et3?maisquenousvoulions garder toutes les lignes?L?instruction est alors:B=A?:??13??;Le:signi?e ?s?electionner tout?? alors que?13?est juste un vecteur contenantles nombres 1 et 3?Ainsi? tous les ?el?ements des colonnes 1 et 3 sont s?electionn?e??Maisdesop?erationspluscomplexesp euvent?etreenvisag?ees?Imaginonsquel?on veuille s?electionner les ?el?ements de la matriceAsup?erieur ou ?egal ?a 3? a?nde les sto cker dans un vecteruB:3

B=A?A>=3?;SiA?i? j??? 3 alors sto cker dans levecteurB??Maintenant? consid?erons la matrice:A? 0 B

123456

1 C

Aet supp osons que nous voulions en obtenir la vectorialisation? alors ilsu?t dedonner l?instruction:B=A?:?;p our obtenir:B?

0 B

BBBBBB?

1 3 52
46
1 C

CCCCCCA?Sion veut obtenirla matriceA?a partir dela matriceB? ilsu?t d?utiliserlacommandereshape:A=reshape?B?3?2?

ce qui signi?e que le vecteur B prendra la forme d?une matrice ?3?2?? commela matriceA??Sil?onveutagglom?erer desmatrices?ilsu?tdesuivrelesinstructionssuiv?antes?Supp osons que nous ayons les deux matrices suivantes:A?

1234
etB?

456789

?et que l?on veuillela matrice suivante:C? 0 B B B?

12000340000045600789

1 C C

CAalors? ilsu?t d??ecrire:4

C=?Azeros?2?3?;zeros?2?2?B?;?Le tableau suivant r?esume les autres manipulationsp ossibles:

rot90?A?rotation deAdiag?A?cr?ee ou extrait la diagonale deAtril?A?partie triangulaire inf?deAtriu?A?partie triangulaire sup?deA

1?4Op?erationsdebaseLe tableau suivant r?esume les op?erations matriciellesdisp oniblessous Matlab:

Action?equivalent Math?MatlabCommentaire

tailleAest ?r?c??r?c?=size?A?Transp ositionA

0A?AdditionA?BA?Bdim?A? ?dim?B?Pro duitA BA?BCompatilit?ePro duit ?el?ement par ?el?ementAij

Bij

A??Bdim?A? ?dim?B?Division 1X solution deA X?BAnBCompatilit?eDivision 2X solution deX A?BAnBCompatilit?eDivision ?el?ement par ?el?ementAij

?Bij

A??Bdim?A? ?dim?B?Puissance d?une matriceA

nA?nAcarr?eePuissance ?el?ement par ?el?ementA nij

A??nTracetr?A?trace?A?Acarr?eeD?eterminantdet?A?det?A?Acarr?eePro duit de KroneckerA?Bkron?A?B?InverseA

?1inv?A?Acarr?eeRangrang?A?rank?A?Noyau?A V? 0?V=null?A?Valeur propreA?D P ?1?P?D?=eig?A?Acarr?eeSomme des colonnes P r ow s?A?i?1 A i? sum?A?Pro duit des colonnes? r ow s?A?i?1 A i? prod?A?

2Contr?olerlas?equencedesinstructionsCommeb eaucoupd?autrelangage?Matlabp eutcontr?olerlas?equencedesinstruc?tions d?un programme?Il y a trois fa?cons de faire?2?1Lab oucleavecforMatlab p eut r?ep?eter un ensemble d?instruction un nombre donn?e de fois? en utilisantl?instructionfor?La forme g?en?erale de la b oucleest alors:forvariable=expression;instruction;

end;5 En fait?expressionest une matrice contenant des nombres?Exemple 1 :

G?en?erer la matriceAt?q?:A

ij ?i 2?j

3? 1?p ouri? 1? ? ? ? ?20 etj? 1? ? ? ? ?10Les co des Matlab corresp ondant sont:fori=1:1:20;?ivade1a20avecunpasde1:fori=init:step:finalforj=1:1:10;?jvade1a10avecunpasde1:forj=init:step:finalA?i?j?=i?2?j?3?1;end;end;Exemple 2 :

CalculerA

bij

?p ourballantde0?a1avecunpasde0?1?eta?cherler?esultat ?a chaque it?eration?Les co des sont:A=?12;21?;forb=0:0?1:1;?ivade0a1avecunpasde0?1C=A??b;disp?C??afficherCend;2?2Lab oucleavecwhileMatlab p eut aussi utiliser des b oucles p our r?ep?eter des instructions jusqu??a ce qu?uneconditionterminalesoit satisfaite?Lasyntaxe g?en?erale desb ouclesavecwhileestla suivante:whilecondition;instructions;

end;Tant queconditionest satisfait? lesinstructionsseront ex?ecut?ees?Exemple 1 : trouver un p oint ?xe de la relation dynamique suivante ?pas de solutionanalytique?: x t?1 ? 1 ?x

0?2tToutcequel?onp eutfaire?c?estit?erersurcetterelationetstopp erquandladif?f?erence en valeurabsolue entre deux it?erations est inf?erieur?a un seuilde tol?erance?Les co des sont:tol=1e?6;?criteredetolerancecrit=1;?initialisation ducriterex0=1;?valeurinitialedexwhilecrit>tol;x=1?x0?0?2;?relationdynamiquecrit=abs?x?x0?;?valeurabsolueentre2iterations consecutivesx0=x;?lanouvelle valeurdex?t?end;6

2?3Lab oucleavecifL?instructionifex?ecute unensembledecommandesiuneconditionestsatisfaite?La syntaxe g?en?erale est:ifconditioncommandes1elsecommandes2endExemple 1 :

savoir si un entier est impair ou non?Les co des sont alors les suivants:x=input??entrer unentier:??;?Demandeal?utilisateur d?entrerunentier?etlestockdanslevecteur xifrem?x?2?==0;?silerestedeladivisionpar2estnul?alorsdisp??xestpair??;?afficherlemessage: xestpairelse;?sinondisp??xestimpair??;?afficherlemessage: xestimpairend;?findutestCes commandes p euvent ?etre enrichiesde la fa?con suivante:ifconditioncommandes1elseifconditioncommandes2elsecommandes3endExemple 2 :

Construction d?une fonction de demande de la forme:D?P? ? 8

0sip?21?0?5Psi 2? p?32P

?2sinonLes co des sont les suivant:P=input??entrer unprix:??;ifP<=2;D=0;elseif?P>2???P<=3?;D=1?0?5P;else;D=2?P???2?;end;disp?D?;7

Cesinstructionsp euvent?evidement?etrecombin?eeslesunesaveclesautres?L?exemple3donneuneillustrationdelacombinaisonentrelesinstructionsforetif? en utilisant l?instructionbreakqui p ermet de sortir d?une b oucle avant la ?nde celle?ci?Exemple 3:

Construire la s?equence suivante:x

t ?x

0?4t?1

?x

0?2t?1p ourt? 1? ? ? ? ?100?On doit s?assurer que x reste p ositif autrement Matlab trou?vera unevaleurcomplexe?Lesco dessuivantp ermettent deg?en?erer cette s?equenceet nous font sortir de la b oucle d?es que le r?esultat d?une it?eration est n?egatif:x?1?=2;

fori=2:1:100;y=x?i?1??0?4?x?i?1??0?2;ify<0;disp??le resultatnepeutpasetrenegatif??;break;end;x?i?=y;end;Avec cette ensemble de trois instructions? il est normalement p ossible de r?esoudretous vos probl?emes num?eriques ?a l?aide de Matlab?Toutefois? une autre capacit?e deMatlab est de vous p ermettre de construire des nouvellesfonctions?3D?e?nitionetutilisationdesvospropresfonctionsLes fonctions sont des sous?programmes annexes qu?il est p ossible d?app eler avec desco des usuels?La syntaxe g?en?erale p our d?e?nir une fonction est:function?output?=nom?de?la?fonction?input?;instructions;o ?uoutputd?esignelevecteurdesr?esultats?etinputd?esignelevecteurdesparam?etres ?a entrer p our la r?esolution de la fonction?Cette fonction doit ?etresauv?ee dans un ?chier texte ??script ?le?? p ortantlem?emenomquelafonction?Par exemple? construisons une fonction? app el?eestat? qui nous donne la moyenneet l??ecart?typ e d?un vecteur?On doit alors cr?eer? ?a l?aide de votre ?editeur favori? un?chier nomm?estat?m? contenant le texte suivant:function?m?st?=stat?x?;lx=length?x?;m=sum?x??lx;st=sqrt?sum?x?mx??2??lx;8

Soit le vecteur:x=?1;2;3;4;5;6?;En app elant?mx?sx?=stat?x?dans un autre programme? vous obtiendrezmx=3?5000etsx=1?8708?Les fonctions sont tr?es imp ortantes p our le traitement de certain probl?eme?Undesplusimp ortanten?economieestlecalculdel??etatstationnaired?unmo d?ele?Celui?cip eut ?etre r?esolu en utilisant la routinefsolvequi r?esout les syst?emes non?lin?eaires?Par exemple? dans le cas du mo d?ele n?eo?classique de croissance? on doit r?esoudrele suivant suivant

1:1????A k

??1? 1???? k?A k

??cIlfautalorscr?eerunefonction?adeuxvariables?app el?eeparexemplesteady?dans un ?chier app el?esteady?m:functionz=steady?x?;alpha=0?35;beta=0?99;delta=0?025;A=1;k=x?1?;

c=x?2?;z=zeros?2?1?;?Initialisation dez??Pasnecessaire? maisrecommandez?1?=1?beta??alpha?A?k??alpha?1??1??delta?;?Remarque: lafonction estz?2?=delta?k??A?k?alpha?c?;?ecritef?x?=0et?dansunautre?chier?donnerlesconditionsinitialesa?ndep ermettrelar?esolution num?erique de ce syst?eme:k0=10;

c0=1;x0=?k0;c0?;sol=fsolve??steady??x0?;Un autre avantage des fonctions est qu?elles p ermettent de vous cr?eer une librairieque vous p ouvez utiliserquand vous en avez b esoin p our diverses probl?emes?

1Remarque?cet exemple p eut ?etre r?esolu ?a la main? mais il a ?et?e choisi p our sa simplicit?e?9

4OutilsInput?OutputLes instructions Input ? Output sont imp ortantes car elles p ermettent d?a?cher? desauver et d?utiliservos r?esultats dans d?autres co des que ceux utilis?es par Matlab?4?1TextesInput?OutputLapremi?erecommandeestcellep ermettantd?a?cherunecommande:disp?Ellevous p ermet d?a?cher un message? unevaleurou ce quevous voulez comme texte?Ainsidisp??Ceciestunbeaumessage??a?chera ?Ceciestunbeaumessage? ?a l??ecran?Soit une matriceAde la forme:A?

1234
?alors:

disp?A?a?chera ?a l??ecran:1234Sivousd?esirezsto ckervosr?esultatsdansun?chier?ilfautouvrirun?chieretfairea?chervosr?esultatssouslaformequevousvoulez?Pourcela?utiliserlacommandediaryname

offile?Nepasoublierdefermervotre?chieraveclacommandediaryoff?Par exemple:diaryresult?outdisp??Salut??diaryoffcr?ee un ?chierapp el?eresult?outcontenant ?Salut??Attention?l?instructiondiaryn??ecrase pas le?s? ?chier?s? existant sous le m?emenom?Il est donc n?ecessaire? dans un premier temps? d?e?acer le?s? vieu?x? ?chier?s?en utilisantdeletename

offile? si vous ne voulez pas a jouter de nouvelles infor?mations dans le ?chier existant? mais seulement avoir un ?chier donnant les nouveauxr?esultats?Si on d?esire que l?utilisateur du programme entre une information avec le clavier?utiliserl?instructioninput?n=input??Donnerunnombre??;10

a?chelemessage?Donnerunnombre??al??ecranenattendantuner?ep onse?Lar?ep onse est enregistr?ee dans la variablen?Si on d?esire charger des donn?ees? vous avez simplement ?a cr?eer un ?chier ASCI Icontenantcesdonn?ees?Parexemplesupp osonsquele?chierdedonn?eesdat?txtest de la forme:

123456Donner juste l?instruction:loaddat?txt?ascii;etvosdonn?eessontsto ck?eesdansunematrice?app el?eedat?quevousp ouvezmanipulercomme toutes les matrices?4?2GraphiquesLapremi?ereinstructionimp ortanteestclg:ellep ermetd?e?acerlegraphique?al??ecran?Danscettenoted?intro duction?aMatlab?seulslesgraphiquesen2?dserontab ord?es ?se sont les plus commun?

2?Il y a essentiellementune instruction:plot?La syntaxe g?en?erale deplotest:plot?X?Y?S?o ?uXetYsontdesmatricesetSestunecha??nedecaract?eres 1?2ou3d?e?nissantl?asp ectdugraphique?L?instructionci?dessusdessineYcommeunefonctiondeX?La cha??neSest une option et p eut prendre les valeurs suivantes:

yjaune?p ointmmagentaocercleccyanxx?marquerrouge?plusgvert?trait pleinbbleu??etoilewblanc:p ointill?eknoir??tirets?p oint?traits espac?es

Ainsiplot?X?Y??b???dessine une ?etoile bleue en chaque p oint de l??echantillon?Ilestp ossibled?a jouterdestitres?desl?egendesp ourlesaxes?enutilisantlesinstructions suivantes:

2Pour le graphiques en 3?d? voir le manuel ?Matlab Graphics??11

title?string??xlabel?string??titredel?axedesxylabel?string??titredel?axedesyIlest?egalementp ossibledera jouterunegrillesurvotregraphique?enutilisantl?instructiongrid?Les graphiques? cr?e?es ?a partir des instructions suivantes sont rep ort?es en annexe?A??Le graphique ?1? est d?e?ni par les co des suivants:x=??3:?01:3?;y1=exp??0?5?x??2??sqrt?2?pi?;y2=exp??0?25?x??2??sqrt?2?pi?;clg;plot?x?y1??w??x?y2??w????;title??Un belexemple???;ylabel??Lesfonctions??;xlabel??Lesvaleurs??;grid;Ilest?egalementp ossibled?avoirsimultan?ementplusieursgraphiques?al??ecran?Pourcela?utiliserlacommandesubplot?rcn?o ?ur?c?nsontresp ectivementlenum?ero de la ligne? de la colonne et du graphique?Ainsi? le graphique ?4? de l?annexeest d?e?ni par les co des:x=??3:?01:3?;y1=exp??0?5?x??2??sqrt?2?pi?;y2=sin?x?;y3=cos?x?;y4=abs?sqrt?x??;clg;subplot?221?;plot?x?y1?;ylabel??Y1??;xlabel??X??;title??Gauss??;subplot?222?;plot?x?y2?;ylabel??Y2??;xlabel??X??;title??Sin?X???;subplot?223?;plot?x?y3?;ylabel??Y3??;xlabel??X??;title??Cos?X???;subplot?224?;plot?x?y4?;ylabel??Y4??;xlabel??X??;title??Abs?Sqrt?X????;Poursauverungraphiquedansun?chier?ilsu?td?utiliserl?instructionprint?La syntaxe g?en?erale est:print?optionsnom?du?fichierD?autres d?etails sont donn?es en annexe ?C??5Applications?economiques?lemo d?eledecyclesr?eels?RBC?L?ob jectif de cette section est de montrer comment r?esoudre num?eriquement? ?a l?aidedeMatlab?lemo d?eled??equilibreg?en?eral?ahorizondeviein?ni?dansuncadresto chastique?Ce mo d?ele est le cadre de r?ef?erence des mo d?eles RBC?Le programme est ?ecrit dans un ?chierrb c?m? et les r?esultats de ceprogrammedans un ?chier rb c?res?Ainsi?au d?ebut du programme on a les co des suivants:12

cleardeleterbc?resdiaryrbc?res5?1Lemo d?ele ?economique1?9un continuum d?agents identiques? indic?espari2?0?1??2?Ceux?ci sont ?a la fois pro ducteur et consommateur?L?agentimaximise la fonction d?utilit?e suivante:max

c i?s ?li?s ?ki?s?1 1 Xs?t E t s?t ?log?ci?s l

1??i?s

1 ?? ?sous la s?equence de contraintes suivante:c i?t ?ki?t?1 ??1???ki?t ?pi?t yi?t

8t? 1?? ? ??1?pi?t

prix de la pro duction de l?agentirelativement aux prix des biens consom?m?es??ki?t ?li?t ?ci?t etyi?t

repr?esentent resp ectivementlesto ckdecapital?lenombred?heure de travail? la consommation et la pro duction de l?agenti??lesparam?etres?2?0?1???2?0?1? et?2?0?1? repr?esentent resp ectivementletauxded?epr?eciation?lefacteurd?escomptepsychologiqueetl?inversedel??elasticit?e de l?o?re de travailChaque agent a acc?es ?a une technologie de pro duction lui p ermettant de pro duirey

i?t :y i?t ?st k mi?t tl i?t

1?m??taux de croissance du P?T? incorp or?e au travail??st

cho c de progr?es technique? incertitudeintrins?eque??fonction de pro duction de l?agenti:rendements constants??le march?e concurrentiel?pi?t

?pj?t

? 18i? j?le bien ?nal est le num?eraire??En supp osant que la contrainte budg?etaire de l?agent est satur?ee ?a chaque p?erio de?i?e?l?agent utilise ces revenus?? le probl?eme de l?agentip eut se r?e?ecrire de la fa?consuivante:max

k s?1 ?li?s 1 Xs?t E t s?t ?log ?ci?s?1 l

1??i?s

1 ?? ?avecci?s ??ki?s?1 ? ?1???ki?s ?ss k mi?s tl i?s 1?m13 Les conditions d?optimalit?e de ce probl?eme sont:?1 ci?t ?? Et

1ci?t?1

1??? ? y i?t?1? ki?t?1 ?01 ci?t ? y i?t? li?t ?l ?i?t ?0?1???ki?s ?ss k mi?s tl i?s

1?m?ci?s

?ki?s?15?2Conditionsd??equilibre8i? les conditions d?optimalit?e sont identiques:1 ct ?? Et 1ct?1 1???m y t?1kt?1 ??l ?t 1 ct ?1?m? y tlt ?Les tra jectoires d??equilibrev?eri?ent ?egalement:k t?1 ??1???kt ?yt ?cty t ?st k mt tl t 1?ms t ?s ?t?1 v to ?u?2?0?1? repr?esente la p ersistance du cho c technologique etvt

est une innovationiid?Remarque:Il est p ossiblede r?eduire la dimensiondu probl?eme substituant l?o?re de travailpar l?expression suivantel

t ??1?m? s t k mt ct 1 ???m?o ?ult est une fonction dect ?kt etst

?5?3Sentierdecroissanced?eterministe?hyp oth?eses sur les fonctions de pro duction et d?utilit?e ??existence d?un sen?tier de croissance ?equilibr?ee??tendance ??progr?es technique incorp or?e au travail ?fonction de????exprimer le mo d?ele en variables intensives ??d?e?ater l?ensemble des ?equationsd?e?nissant l??equilibrepar?

t14 k t?1 t?1 ??1??? k t? t y t? t c t? t y t t ?st k t? t ml

1?mt?1???

y t t c t? t l ??1t? t ct E t t?1ct?1 1???m y t?1? t?1 t?1kt?1 ???On d?e?nit alors les variablesstationnaris?ees:?ct ?ct t; ?k?kt t;?yt ?yt

t5?4Dynamique autour du sentier de croissance et ?etat stationnaireLes ?equations d?e?nissant l??equilibrese r?e?ecrivent:1

?ct E t

1?ct?1

1???m ?yt?1 ?k t?1 ??l ?t 1 ?ct ?1?m? ?ytlt ?k t?1 ??1??? ?k t ? ?yt ??ct?yt ?st k mt l

1?mtCes ?equations d?eterminent la dynamique d??equilibre autour du sentier de croissance?equilibr?ee?L??etatstationnaireestd?e?niparlequadrupletf

c?k?y ?lguniquesolutiondusyst?eme:? k?y? ?1???k?c y?sk ml

1?m?1?m?

y l cl ?1? 1???m y k ?15

5?5R?esolutiondumo d?ele?l?approximation log?lin?eaireEn substituantlt

par son expression enkt ?ct etst ? on r?eduit la dimension du syst?emedynamique?Celui?ciest alors dedim? 3?3:? ?k t?1 ?? s b 5t k b 2t ?c b 3t ? ?1??? ?k t ??ct1 ?ct E t

1?ct?1

1???? ? s

b 5t?1 k b 4t?1 ?cquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20