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Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 1/60
Fascicule d"exercices
d"électromagnétisme John Martin, Dorian Baguette, Alexandre Cesa, Jérôme DenisI.P.N.A.S., bât. B15
Tél. : 04/366 28 64
email : jmartin@uliege.be
2019-2020
Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 2/60 I
Calcul vectoriel
Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 3/60
Calcul vectoriel
Rappels sur les intégrales curviligne et superficielle Une courbeCest paramétrée par un cheminr(t) = (x(t);y(t);z(t)). L"intégrale curviligne (ou circulation) d"un champ vectorielAle long d"une courbe orientéeC=fr(t) :t2[tA;tB]gest notée C
Ad`et est par définitionégale à
tB t
AA(r(t))drdt
dt Une surfaceSest paramétrée par une couverture(r(u;v);K)où r(u;v) = (x(u;v);y(u;v);z(u;v))et(u;v)2K= [umin;umax][vmin;vmax]. L"intégrale superficielle (ou flux) d"un champ vectorielAsur (au travers de) la surface orientéeSest notée C
AndSet est par définitionégale à
K
A(r(u;v))(@ur@vr)dudv
Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 4/60
Calcul vectoriel
Rappels de calcul intégral
Quelques primitives à connaître...
1x dx= ln(x)(1)
11 +x2dx= arctan(x)(2)
x(1 +x2)3=2dx=1p1 +x2(3)
1p1 +x2dx= arcsinh(x)(4)
xp1 +x2dx=p1 +x2(5)
1(1 +x2)3=2dx=xp1 +x2(6)
Changement de variable régulierx=x(y)
b a f(x)dx= b0 a
0f(x(y))dxdy
(y)dy
aveca0= limx!ay(x)etb0= limx!by(x)Remarque :Toutes les primitives sont définies à une constante additive près.
arcsinh(x) = ln(x+p1 +x2). Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 5/60
Calcul vectoriel
Théorèmes de Gauss et de Stokes
Formule de Gauss (du flux ou d"Ostrogradsky)
Pour tout volume donnéVdont la frontière est une surfaceSrégulière, c"est-à-dire admettant une normale extérieurenpresque partout, on a S AndS= V (rA)dV
Formule de Stokes(-Ampère)
Pourvu queAetr Asoient continus dans un domaine contenant la surfaceS ouverte, limitée par le contourC, on a C Ad`= S (r A)ndS avec les règles de signes habituelles concernantnet le sens de parcours deC. Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 6/60
Calcul vectoriel
Scalaire, pseudoscalaire, vecteurs polaire et axial C1. Démontrez que le produit scalaire entre deux vecteurs polaires (resp. axiaux) est un scalaire (qui ne change donc pas de signe sous l"action d"une réflexion). C2. Démontrez que le produit vectoriel entre deux vecteurs polaires définit un vecteur axial. C3. Démontrez que le produit mixte entre trois vecteurs polaires est un pseudosca- laire. C4. Justifiez le fait que la position, la vitesse et la quantité de mouvement d"une particule sont des vecteurs polaires, tandis que le moment cinétique est un vecteur axial. C5. Démontrez que le produit scalaire entre un vecteur polaire et un vecteur axial définit un pseudoscalaire. C6. Démontrez que le produit vectoriel entre un vecteur polaire et un vecteur axial définit un vecteur polaire. Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 7/60
Calcul vectoriel
Dérivées de champs scalaires et vectoriels
C7. Calculez la dérivée du champ scalaireV(r) =xe(y2+x2)dans les directions n=1p3 (1;1;1)etn0= cos'ex+ sin'ey. C8. Dans une région de l"espace règne le potentiel électrostatique
V(x;y) = 10(2xy3x24y218x+ 28y+ 12):
Déterminez la position et la hauteur du maximum de potentiel. Déterminez ensuite la direction et le module de la plus grande pente au point(1;1). C9 . Effectuez le développement en série dejrr0j1aux alentours der0= 0 jusqu"à l"ordre 2 inclus. Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 8/60
Calcul vectoriel
Divergence et rotationnel
C10. Montrez que la divergence et le rotationnel du champA=r=r3sont nuls
8r6= 0mais que le flux au travers d"une surface sphérique de rayonRentourant
l"origine est non nul.Remarque : le champ coulombien en est un cas particulier. Formellement, on obtient le même résultat par application de la formule de Gauss avec rA= 4(r). C11. Montrez que le champ inhomogèneA= (x;y;0)est simultanément indiver- gentiel et irrotationnel.
C12. Montrez que le champ
A=e' =yx
2+y2;xx
2+y2;0
est simultanément indivergentiel et irrotationnel86= 0, mais que la circulation le long d"une boucle entourant l"axeezest non nulle. Calculez celle-ci pour un tour complet dans le sens trigonométrique autour deez.
Solution:
u CAd`= 2.Remarque : Formellement, on obtient le même résultat par application de la formule de Stokes avecr A=
2()(')ez== 2(x)(y)ez.
Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 9/60
Calcul vectoriel
Intégration
C13. Calculez les intégrales (poura >0)
I 1= R 0xpx
2+a2dx
I 2= 1 01x
2+a2dx
I 3= R 1 ln(x)dx
Solution:I1=pR
2+a2a,I2==(2a)etI3=Rln(R)R+ 1.
C14. Calculez l"intégrale (poura >0)
I= R
3(x0)(y0a)[0;R](z0)p(ax0)2+ (ay0)2+ (z0)2dV0:
Solution:I= arcsinh(R=a).
Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 10/60
Calcul vectoriel
Intégrales curvilignes et surfaciques
C15. Calculez l"intégrale volumique
A= R
3v(r)dV;
où le champ vectorielv(r)exprimé en coordonnées sphériques est donné par v(r) = sin(2)(rR)er:
Solution:A=2R2ez=2.
C16. Calculez la circulation du champ vectorielA=xy2ex+ 2ey+xezle long de la courbeCparamétrée par le cheminr(t) = (t;=t;)pourt: 1!2, où ;2R.
Solution:
C
Ad`=4ln2
C17. Calculez la circulation du champ vectorielA(r) =r=r3le long de la courbe
C=r(') =1 +cos'2
(cos'ex+ sin'ey) :'2[0;2].
Solution:
uA(r)d`= 0: Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 11/60
Calcul vectoriel
Intégrales curvilignes et surfaciques
C18. Soit le champ de forceF=yexxey+ezet une courbeCparamétrée par le cheminr() = (ac+ccos)ex+ (b+csin)ey+c2ezpour: 0!2 oùa;b;c2R. Quelle est la forme de cette courbe? Montrez que
CFd`= 0.
Ce résultat implique-t-il queFest un champ de force conservatif?
Solution:
C
Fd`= 0. Non
C19. Montrez que l"ellipse d"équationx2=a2+y2=b2= 1peut être paramétrée par le cheminr(t) = (asint;bcost); t2[0;2]: Soit le champ vectorielF=y(4x2+y2)ex+x(2x2+ 3y2)ey. Calculez sa circulation le long de l"ellipse parcourue dans le sens trigonométrique (t: 0!
2). Si l"ellipse est parcourue dans le sens horloger (t: 2!0), que vaut alors
la circulation?
Solution:12
ba3,12 ba3 C20. Vérifiez la validité de la formule de Gauss en calculant i) le flux du champ vectorielF(r) =r=(r2+a2)3=2au travers de la surface définie par l"équation jrj=p3aet ii) l"intégrale volumique de la divergence deF(r)sur le volume jrj6p3a.
Solution: On obtient
3p32dans les deux cas.
Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 12/60 II
Électrostatique
Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 13/60
Électrostatique
Rappels d"électrostatique
Force de Coulomb :F(r) =qE(r)avecE(r) =rV(r)
Travail de la force de Coulomb :WCoulomb(rA!rB) =
r0=rB r
0=rAF(r0)d`0
Potentiel et champ électrique :ParticulesponctuellesDistributiondecharges
V(r) =140N
X i=1q ijrrijV(r) =140
V(r0)jrr0jdV0
E(r) =140N
X i=1q irrijrrij3E(r) =140 V (r0)rr0jrr0j3dV0
Variation de potentiel électrique :
V(r1)V(r2) =
r0=r1 r
0=r2E(r0)d`0=WCoulomb;q=1C(r2r1)
Énergie potentielle électrique :U(r) =qV(r)
Loi de Gauss et équation de Poisson :rE(r) =(r)=0,V(r) =(r)=0 Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 14/60
Électrostatique
Rappels d"électrostatique
Énergie électrostatique :U=X
paires140q iqjjrirjj 12 V (r)V(r)dV=02 R
3jE(r)j2dV
Dipôle électrique ponctuel :V(r) =140prr
3,E(r) =140
pr
3+ 3prr
5
Moment dipolaire électrique :p=
V (r)rdV
E(r) =140
C (r0)rr0jrr0j3d`0(r)densité linéique de charge au pointr(enCm1)
E(r) =140
S (r0)rr0jrr0j3dS0(r)densité surfacique de charge au pointr(enCm2)
E(r) =140
V (r0)rr0jrr0j3dV0(r)densité volumique de charge au pointr(enCm3) Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 15/60
Électrostatique
Loi de Coulomb
E1. Une barre de longueurLporte une chargeQrépartie uniformément sur toute sa longueur. Calculez la force exercée par cette barre chargée sur une charge ponctuelleqplacée à une distancede la barre dans le plan de symétrie.
Calculez le potentiel électrique dans ce plan.
Solution:F=140Qq
p
2+ (L=2)2e
V=Q20LarcshL2
E2. Un disque de rayonRsitué dans le planx-yporte une chargeQrépartie uniformément sur toute sa surface. Calculez la force exercée par ce disque chargé sur une charge ponctuelleqplacée enr= (0;0;z)sur l"axe de symétrie du disque (Oz). Calculez le potentiel électrique sur cet axe.
Solution:F=Qq20R2
zjzjzpR 2+z2 equotesdbs_dbs20.pdfusesText_26