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Un corrigé du concours centrale-supelec 2013 Filière MP MATH. II
Mr : HAMANI Ahmed Mohammedia
I-Décomposition polaire d"un endomorphisme deRn I-AI-A-1)
Montrons queuest autoadjoint, si, et seulement si sa matrice est dansS++n(R) SoitB= (u1,...,un)une base orthonormée deRn,u∈ L(Rn)etA= (ai,j)i,jsa matrice dans dans la baseBet notons< .,. >le produit scalaire canonique surRn. .uest autoadjoint⇐⇒ ∀x,y∈Rn,< u(x),y >=< x,u(y)>⇐⇒ ⇐⇒ ∀i,j∈[[1,n]]< u(ej),ei>=< ej,u(ei)>⇐⇒ai,j=aj,i⇐⇒A=tA..Supposons queuest défini positif, et soitλ∈Sp(A)alors,∃x∈R∗tel queu(x) =λx, donc∀x∈
R n,< u(x),x >=λ∥x∥2>0, doncλ >0..Supposons queSp(A) ={λ1,...,λn} ⊂R∗+et choisissons grâce au théorème spectral une base
orthonormée(e1,...,en)de vecteurs propres def, alors∀x=n∑ k=1x ieinon nul (prenons par exemplexj̸= 0) on a< u(x),x >=n∑ k=1λ kx2k≥λjx2j>0.I-A-2)
Montrons que siS∈S++n(R), alorsS-1∈S++n(R) k=1λ k>0, d"oùSest inversible, de plus siuest son endomomorphisme canonique associé, alors ∀x,y∈Rn,< u-1(x),(y)>=< u-1(x),u(u-1(y))>=< u(u-1(x)),u-1(y)>=< x,u-1(y)>, doncu-1 est symétrique et puisqueSp(u-1) ={11,...,1
n} ⊂R∗+,S-1∈S++n(R). I-BI-B-1)
vinduit un endomorphisme deKer(u-λid) .L"égalitév2=uentraine queuov=v2ov=vov2=vou, doncKer(u-λid)est stable parv, c"est à direvinduit un endomorphisme deKer(u-λid). λsont premiers entre eux, et le théorème de décomposition des noyaux entraine queKer(u-λid) =Ker(v2-λid) =λid), orvest défini positif, donc
λid
Ker(u-λid).
I-B-2)
Expression devet conclusion
.Soitλ∈Sp(u)etpλla projection surKer(u-λid)parallélement à⊕µ̸=λKer(u-µid), alorsu=
λ∈Sp(u)λp
λet par suitev=∑
λp λ, ce qui traduit que sivexiste, il est unique.λx, doncv2=usur chaque
sous-espaceKer(u-λid)et puisqueRn=⊕λ∈Sp(u)Ker(u-λid), on aurav2=usurRn.
.Soientx=n∑ k=1x k,y=n∑ k=1y kles décompositions dex,y∈Rdans la somme directe orthogonale R n=n⊕ k=1Ker(u-λkid), alors< v(x),y >=n∑ k< xk,yk>=n∑ k< yk,xk>=< x,v(y)>de plus sixest non nul, il existej∈[[1,n]]tel quexj̸= 0, donc < v(x),x >=n∑ k∥xk∥2≥λj∥xj∥2>0, ce qui montre quevest symétrique défini positif.I-B-3)
vest un polynôme enu.Soientλ1,...,λples valeurs propres distinctes deux à deux deu, alors il existe un unique polynôme
k)à savoirQ=p∑ kLkoùL1,...,Lples polynômes j̸=iX-λj x i-xj. On peut aussi justifier l"existence deQgrâce à l"automorphismeRp-1[X]-→RpP7-→(P(λ1),...,P(λp))
.On av=∑ λpλ∈Sp(u)Q(λ)pλ=Q(∑
λ∈Sp(u)λp
λ) =Q(u).
1I-CI-C-1)t
AAest symétrique définie positive
Soitul"endomorphisme canonique associé àA, alors(f∗of)∗=f∗o(f∗)∗=f∗of, doncfest autoad-
joint, de plusfinversible (A∈GLn(R)), et par suite∀x∈Rnnon nul,f(x)est aussi non nul et on a
< f∗of(x),x >=< f(x),f(x)>=∥f(x)∥2>0, ce qui entraine quef∗ofest autoadjoint défini positif,
c"est à dire tAA∈S++n(R).I-C-2)
Décomposition polaire
tAA∈S++n(R)et la traduction matricielle deI-Bassure l"existence d"une matrice uniqueS∈S++n(R)
tel queS2=tAA. On poseO=AS-1, alors d"après(I-A-2)S-1∈S++n(R), donc tOO=tS-1tAAS-1=S-1S2S-1=In, et par suiteO∈O(n), ce qui assure l"existence..Si on a deux décompositionsA=OS=O′S′, alorstAA=S2=S′2, donc(S-S′)(S+S′) =On, or
t(S+S′) =tS+tS′=S+S′et siu,vsont les endomorphismes canoniques associés respectivement à
SetS′, alors∀x∈Rnnon nul,<(u+v)(x),x >=< u(x),x >+< v(x),x > >0, doncS+S′∈S++n(R)
et par suiteS+S′∈GLn(R), ce qui entraine queS-S′=On, d"où l"unicité.I-C-3)
Un cas particulier de décomposition polaire
tAA=
10 0-60 36 0
, on vérifie queSp(tAA) ={16,36,4}etA=PDtPavecP=
1 2 01 2 0 1 0 1 2 01 2 etD=diag(16,36,4), doncS=Pdiag(4,6,2)tP= 3 0-1 0 6 0 et par suiteO=AS-1= 1 0 0 2 2 2 4 2 2 2 4 I-DI-D-1)
O(n)est une partie compacte
.L"applicationφ:Mn(R)-→Mn(R) M7-→tMMest à composantes polynômiales en les coéfficients deM, donc continue et par suiteO(n) =φ-1({In})est image réciproque du fermé{In}par l"application continueφ, doncO(n)est un fermé. .SoitM= (mi,j)i,j∈O(n), alors∀j∈[[1,n]],n∑ i=1m ∥M∥= sup .O(n)est une partie fermée bornée en dimension finie, doncO(n)est un compact.I-D-2)
S +n(R)est un fermé .Sn(R)est un sous-espace deMn(R)de dimension finien(n+ 1) 2 , donc c"est un fermé deMn(R). .Soit(Am)mune suite de matrices deO(n)convergente versA∈Sn(R)et soitX∈Mn,1(R).L"application
φXMn(R)-→R
M7-→< MX,X >=tXMXest polynômiale en les coordonées deX, donc elle est continue, or(Am)mconverge versA, et par continuité deφX, on aura(φX(Am))mconverge versφX(A)et puisque∀m∈N,φX(Am)≥0, on obtientφX(A)≥0, c"est à dire
∀X∈Mn,1(R),< AX,X >≥0, ce qui traduit queA∈S+n(R).I-D-3)
GL n(R)est une partie dense SoitA∈Mn(R), on sait quecard(Sp(A))<+∞, donc∃n0tel que∀m≥n0∈N,Am=A-1 m Inest inversible, de plus∥Am-A∥=1 m ∥In∥=1 m tend vers0, lorsquemtend vers+∞, ce qui entraine que toute matrice deMn(R)est limite d"une suite deGLn(R).I-D-4)
Une décomposition polaire qui n"est pas unique
.SoitA∈Mn(R), alors d"après la question précédente,∃(Am)m⊂GLn(R)convergente versA, et par
la question(I-C-2),∃!(Om,Sm)m⊂O(n)×S++n(R)tel queAm=OmSm. .O(n)étant compact, donc on peut extraire de(Om)mune sous suite(Oφ(m))mconvergente vers unélémentO∈O(n), et par continuité du produit matriciel, la suite(Sφ(m))m= (tOφ(m)Aφ(m))mconverge
versS=tOA, or d"après la question(I-D-2),S+n(R)est un fermé deMn(R), doncS∈S+n(R)et ona bienA=OS. 2 .SoitA=(1 0 0 0) , on aA=(1 0 0 1)( 1 0 0 0) =(1 0 0-1)( 1 0 0 0) mais (1 0 0 1)̸=(1 0
0-1) I-Eφest un homéomorphisme
.La question(I-C-2)assure que∀A∈GLn(R),∃!(O,S)∈O(n)×S++n(R)tels queA=OS, doncφest
bijective. .φest continue comme restriction d"une application continue, à savoir le produit matriciel. .Soit(Am)m⊂GLn(R)convergente versA. Posonsφ-1(Am) = (Om,Sm)etφ-1(A) = (O,S), alors A m=OmSmetA=OS.- La compacité deO(n)nous permet d"extraire une sous-suite(Oφ(m))m⊂O(n)convergente versO′∈
O(n), or(Sφ(m))m= (tOφ(m))mAφ(m)converge d"une part par continuité du produit matriciel verstO′A,
et d"autre part versS′∈S+n(R), carS+n(R)est un fermé, doncS′=tO′Aqui devient inversible, donc
S ′∈S++n(R).- L"unicité de la décompositionA=OS=O′S′entraine queO′=O, ceci affirme que la suite(Om)madmet
une seule valeur d"adhérence dansO(n), donc(Om)mconverge versOet par suite(Sm)m= (tOmAm)m converge verstOA=S. - On vient de montrer queφ-1(Am) = (Om,Sm)converge vers(O,S) =φ-1(A), doncφ-1est continue.