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Correction - physique - CCP TSI 2014Problème I - Ondes électromagnétiques Première partie - Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide 1 - div ~E=

0;!rot~E=@~B@t

div ~B= 0;!rot~B=0~j+00@~E@t Dans un espace vide de charges et de courants on a= 0et~j=~0, d"où : div ~E= 0;!rot~E=@~B@t div ~B= 0;!rot~B=00@~E@t

2 -?On part de l"égalité!rot(!rot~E) =!grad(div~E)~E.

On a div

~E= 0(pas de charges). Puis !rot!rot(~E) =!rot @~B@t =@@t !rot~B=@@t

00@~E@t

On obtient donc :~E00@2~E@t

2=~0:?Pour le champ magnétique on procède de même :!rot(!rot~B) =!grad(div~B)~B.

On a div

~B= 0. Puis !rot(!rot~B) =!rot

00@~E@t

=00@@t !rot~E=00@2~B@t 2.

On obtient donc :~B00@2~B@t

2=~0:3 -L"onde se propage selon lesxcroissants.

Elle est plane car elle ne dépend que d"une seule coordonnée cartésienne : les surfaces d"onde

sont des plans.

Elle est progressive car elle s"écrit sous la formef(xvt): il y a donc propagation sans déformation

du profil. Elle est monochromatique car la dépendance temporelle est du typecos(!t+cst)(àMfixé). creprésente la célérité de l"onde, donc sa vitesse de propagation. On a ~k=k~ex, aveck=!=c >0sa norme.

4 -Il faut calculer :

2~E@t

2=~E0(!2) cosh

txc i =!2~E correction - CCP physique TSI 20141 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018

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~E= Ex~ex+ Ey~ey+ Ez~ez = n E

0ycosh

txc io ~e y+ n E

0zcosh

txc io ~e z:

Calculons la composante selon~ey:

n E

0ycosh

txc io =E0y@2@x 2cosh txc i =E0y!2c 2cosh txc i

De même sur~ez:

n E

0zcosh

txc io =E0z@2@x 2cosh txc i =E0z!2c 2cosh txc i

À la fin on obtient

~E=!2c 2~E:

L"équation de d"Alembert impose donc que!2c

2~E00(!2)~E=~0, et il faut donc que :

00=1c

2:5 -On sait que pour une OPPM dans le vide, les équations de Maxwell imposent la relation~B=

~k^~E! (on peut le démontrer en appliquant Maxwell-Faraday,!rot~E=(@=@t)~B, si besoin).

Ceci indique directement que

~Eet~Bsont perpendiculaires.En prenant la norme, et en utilisant le fait que pour une OPPM dans le vide

~Eet~ksont perpendiculaires, on obtientk~Bk=k~kkk~Ek! =!=ck~Ek! , d"oùk~Bk=k~Ekc :Calculons : ~B=k~ex! ^(E0y~ey+E0z~ez)cosh txc i 1c (E0y~ezE0z~ey)cosh txc i

On a doncB0y=E0zcetB0z=E0yc

:6 -1/ Le vecteur de Poynting est défini comme~R=~E^~B

0:Son unité est le watt par mètre carré (Wm2).

Il donne la puissance électromagnétique passant par unité de surface. ~R!dSest ainsi égal à la puissance des champs passant à travers la surface élémentaire!dS.

2/On passe les calculs, on arrive à :

R=c0E20cos2h

txc i ~e

x:On prend ensuite la valeur moyenne sur une périodeT, en sachant que celle d"un cosinus au carré

de pulsation2=!donne1=2. On a donc h ~Ri=c0E202 ~ex:correction - CCP physique TSI 20142 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018

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Deuxième partie - réflexion d"une OPPM sur un conducteur parfait en incidence normale

7 -La direction de polarisation du champ électrique est~ey.

8 -Les relations de passage (qui ne sont plus exigibles dans les programmes post-2014) sont :

E2~E1=

0~n12et~B2~B1=0~js^~n12;

avec~n12un vecteur unitaire qui va du milieu 1 vers le milieu 2,~E1le champ électrique total dans le milieu 1 au niveau de l"interface,~E2le champ électrique total dans le milieu 2 au niveau

de l"interface, et de même pour~B1et~B2,la densité surfacique de charge à l"interface, et~jsla

densité surfacique de courants à l"interface. 9 -

1/ D"après la relation précédente pour~E, on sait que la composante tangentielle au plan du

champ électrique est continue. Ici la direction de propagation de~Eiet de~Erest selon~ex, donc

le champ électrique associé à chacune de ces OPPM est justement dans le plan du conducteur :

on a affaire uniquement à des composantes tangentielles, il y a donc continuité de~E.Enx= 0, on a côté conducteur~Etot(x= 0+;t) =~0, et côté vide~Etot(x= 0;t) =~Ei+~Er=

0~eycos(!t) +~E0rcos(!t).

Il faut donc queE0~eycos(!t) +~E0rcos(!t) =~0, on a donc~E0r=E0~ey;et on a donc

Er=E0cos(!t+kx)~ey:Et on rappelle que

Ei=E0cos(!tkx)~ey:2/On utilise encore la relation~B=~k^~E! , qui est valable indépendamment pour chacune des

OPPM dans le vide.

On a donc

~Bi=k~ex^~Ei! =E0c cos(!tkx)~ez:Et ~Br=k~ex^~Er! =E0c cos(!t+kx)~ez:3/On utilisecos(a+b) = cosacosbsinasinbetcos(ab) = cosacosb+sinasinbpour arriver au résultat demandé, à savoir que

E=~Ei+~Er= 2E0sin!tsinkx~eyet~B=~Bi+~Br=2E0c

cos!tcoskx~ez:Il s"agit d"ondes stationnaires.

10 -?Compte tenu du fait que le milieu 1 est le vide, le milieu 2 est le conducteur où donc~E2=~0,

la relation de passage s"écrit ~0~E1= 0~ex. Or ~E1est le champ total dans le vide enx= 0. L"expression précédente montre qu"il est nul. On a donc= 0:?pour~Bon a aussi~B2=~0dans le conducteur. On a~B1=~B(x= 0;t) =2E0c cos!t~ez.

La relation de passage est donc

~02E0c cos!t~ez=0~js^~ex.

Le vecteur

~jsest dans le planyz. D"après la relation ci-dessus, il doit être exclusivement selon ~e y. Posons donc~js=js~ey. correction - CCP physique TSI 20143 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018

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On a alors

~02E0c cos!t~ez=0js~ey^~ex=0js~ez, d"oùjs=2E0

0ccos!t, et finalement (en

utilisant aussi00c2= 1) : js= 20cE0cos!t~ey:11 -1/ !dFL=~jsdS^~Bi = 20cE0cos!t~eydS^E0c cos(!t)~ez = 20E20cos2!tdS~ex:

Pour obtenir la force totale on intègre sur toute la surfaceS. Comme rien ne dépend des variables

spatiales, on obtient directement

FL= 20E20cos2!tS~ex:2/On remarque que cette force de Laplace est perpendiculaire à la surface. La pression est donc

donnée par la norme de la force de Laplace divisée par la surface :P= 20E20cos2!t:On prend la valeur moyenne sur une période :hPi=0E20:12 -

~R=~E^~B

0et on prend les champs totaux de la question 9.3.

On obtient alors

~R= 4c0E20sin!tsinkxcos!tcoskx~ex=c0E20sin(2!t)sin2kx)~ex:La valeur moyenne est nulle. C"est normal, car la réflexion étant parfaite l"onde incidente amène

autant d"énergie que l"onde réfléchie n"en transporte dans l"autre direction. Il n"y a donc pas de

transport en moyenne.

Problème II - L"oscilloscope cathodique

Première partie : création et accélération d"un faisceau d"électrons

1 -Le champ électrique est selon l"axez. Il pointe vers les bas potentiels, donc vers~ez. On a donc

E=UACd

~ez. 2 - ~f=e~E=eUACd ~ez(on prende >0, la charge de l"électron est donce).

3 -La force électrostatique est de l"ordre de10191030:1= 1015N, et le poids de l"ordre demeg

3010 = 1029N.

quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

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0;!rot~E=@~B@t

2 -?On part de l"égalité!rot(!rot~E) =!grad(div~E)~E.

On a div

00@~E@t

On obtient donc :~E00@2~E@t

2=~0:?Pour le champ magnétique on procède de même :!rot(!rot~B) =!grad(div~B)~B.

On a div

00@~E@t

On obtient donc :~B00@2~B@t

2=~0:3 -L"onde se propage selon lesxcroissants.

4 -Il faut calculer :

2=~E0(!2) cosh

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0ycosh

0zcosh

Calculons la composante selon~ey:

0ycosh

De même sur~ez:

0zcosh

À la fin on obtient

L"équation de d"Alembert impose donc que!2c

2~E00(!2)~E=~0, et il faut donc que :

2:5 -On sait que pour une OPPM dans le vide, les équations de Maxwell imposent la relation~B=

Ceci indique directement que

On a doncB0y=E0zcetB0z=E0yc

0:Son unité est le watt par mètre carré (Wm2).

2/On passe les calculs, on arrive à :

R=c0E20cos2h

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7 -La direction de polarisation du champ électrique est~ey.

8 -Les relations de passage (qui ne sont plus exigibles dans les programmes post-2014) sont :

E2~E1=

0~n12et~B2~B1=0~js^~n12;

1/ D"après la relation précédente pour~E, on sait que la composante tangentielle au plan du

0~eycos(!t) +~E0rcos(!t).

Er=E0cos(!t+kx)~ey:Et on rappelle que

OPPM dans le vide.

On a donc

E=~Ei+~Er= 2E0sin!tsinkx~eyet~B=~Bi+~Br=2E0c

10 -?Compte tenu du fait que le milieu 1 est le vide, le milieu 2 est le conducteur où donc~E2=~0,

La relation de passage est donc

Le vecteur

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On a alors

0ccos!t, et finalement (en

0et on prend les champs totaux de la question 9.3.

On obtient alors

Problème II - L"oscilloscope cathodique

1 -Le champ électrique est selon l"axez. Il pointe vers les bas potentiels, donc vers~ez. On a donc

E=UACd

3 -La force électrostatique est de l"ordre de10191030:1= 1015N, et le poids de l"ordre demeg

3010 = 1029N.