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Jeremy DUSSART

Natacha JOUKOFF

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Ariane SZAFARZ

Direction de collection : Roland Gillet

professeur à l'université Paris 1 Panthéon-SorbonneCollectionsynthex

Composition sous L

ATEX : ScripTEXToute reproduction, même partielle, par quelque procédé que ce soit, est interdite sans autori-

sation préalable.Unecopieparxérographie, photographie, lm,support magnétiqueouautre,

constitue une contrefaçon passible des peines prévues par la loi, du 11 mars 1957 et du 3 juillet

1995, sur la protection des droits d'auteur.

Tous droits réservés

ISBN :

ISSN : 1768-7616

© 2009 Pearson Education France

cette matière fascinante qui leur a pris un peu du temps de leurs parents.

À Emerson, pour l'encourager à découvrir ce domaine que son grand frère a pris plaisir à

investiguer.

Sommaire

Les auteursVII

IntroductionIX

Chapitre 1 •Rappels et dénitions1

Chapitre 2 •Suites réelles31

Chapitre 3 •Les fonctions d'une seule variable51 Chapitre 4 •Optimisation des fonctions d'une seule variable101

Chapitre 5 •Les matrices121

Chapitre 6 •Les fonctions de plusieurs variables réelles161 Chapitre 7 •Optimisation des fonctions de plusieurs variables201

Références bibliographiques235

Index237Sommaire V

Les auteurs

Jeremy DussartestingénieurdegestiondelaSolvayBusinessSchool(SBS)del'Université Libre de Bruxelles (ULB). Il est chercheur en stratégie au Centre Emile Bernheim (CEB) et enseigne les mathématiques en privilégiant les applications pratiques à ce domaine. Natacha Joukoffest mathématicienne diplômée de l'ULB. Passionnée par la pédagogie, elle enseigne les mathématiques à la SBS, elle participe aussi activement aux cours pré- paratoires à destination des futurs étudiants et aux cours de soutien organisés pour ceux qui, en première année de sciences de gestion,ont des difcultés à s'adapter au rythmede l'enseignement des mathématiques. Ahmed Loulitest titulaire d'un DEA de sciences de gestion (SBS) et d'un doctorat de mathématiques (ULB), obtenu sous la direction du professeur Jean-Pierre Gossez. Il est enseignant en mathématiques (SBS) et chercheur au CEB. Il prépare actuellement une thèse en modélisation nancière sous la direction du professeur André Farber. Ariane Szafarzest professeur de mathématiques et de nance à l'ULB. Elle y dirige le Centre Emile Bernheim (CEB) et est membre du Département d'économie appliquée

(DULBEA). Diplômée en philosophie des sciences, elle a rédigé une thèse de doctorat de

mathématiques sous la supervision du professeur Christian Gouriéroux (CREST, Paris), (SBS),elleparticipeàdivers projets scientiques, nationaux etinternationaux, etencadre professeurs Ariane Chapelle et André Farber. Enn, elle est l'auteur de nombreux livres et d'articles scientiques en économétrie nancière.Les auteurs VII

Introduction

L'objectif principal de cet ouvrage est d'apporter aux étudiants en sciences de gestion les bases mathématiques nécessaires pour aborder les diverses branches de leur discipline. À les aspects pratiques et une démarche strictement utilitariste qui masquerait la fécondité et l'esthétique du raisonnement mathématique. Selon le principe de la collection, chaque chapitre commence par une synthèse de cours illustrée de nombreux exemples, remarques pratiques et commentaires. Ceci exclut les démonstrations (qui peuvent être trouvées dans les ouvrages de référence) au prot d'explications mettant en évidence la logique de la succession des matières. Ce sacrice, difcile à consentir pour un mathématicien, est compensé par des dénitions précises, des hypothèses explicites et des résultats rigoureux. Les exercices et problèmes, qui occupent la seconde et majeure partie de chaque chapitre, se répartissent entre applications directes des résultats théoriques et formalisation des qui mentionnent, le cas échéant, l'existence d'autres approches possibles. Les sciences de gestion sont jeunes et dynamiques et leurs contours théoriques uctuent. Dresser l'inventaire détaillé des outils mathématiques qu'elles emploient constitue une mission périlleuse. Nous avons choisi la voie, plus commode, de la cohérence mathéma-

tique thématique, quitte à délaisser certaines matières, qui, comme les intégrales ou les

applications linéaires, apparaissent moins souvent dans les applications, mais sont tout aussi passionnantes. Il reste donc matière à un second volume. Ce livre est organisé de la manière suivante. Le premier chapitre introduit les notions de au-delà des simples rappels en présentant notamment la résolution d'équations dans l'ensemble des nombres complexes. Le chapitre 2 étudie les suites réelles qui permettent de caractériser l'évolution et la convergence de processus déterministes en temps discret. Le chapitre 3 développe la théorie des fonctions d'une variable tandis que le chapitre 4

est dédié à la détermination des extrema de ces fonctions. Le chapitre 5 est consacré aux

notions fondamentales relatives aux matrices et à la résolution de plusieurs problèmes d'algèbre linéaire. Le chapitre 6 présente les fonctions de plusieurs variables dont les applicationspratiques àlagestionsontmultiples.Logiquement, lechapitre7approfondit la recherche des extrema de telles fonctions. ***Introduction IX Il y a près d'un an, le professeur Roland Gillet nous a proposé de rédiger cet ouvrage. Nous avons saisi avec enthousiasme cette opportunité de transmettre notre expérience de l'enseignement des mathématiques aux gestionnaires. En effet, notre équipe dispense depuis plusieurs années ce type de cours à la Solvay Business School de l'Université Libre de Bruxelles. Arrivés au terme de la rédaction, nous lui sommes très reconnaissants de la conance qu'il nous a témoignée et des bons moments passés en sa compagnie qui nous ont permis d'apprécier sa rigueur intellectuelle, son sens de l'organisation etson humour communicatif. Il convient de souligner le soutien efcace et les encouragements répétés que nous a pro- digués Pearson Education France, et tout spécialement Pascale Pernet et Antoine Chéret, avec qui nous avons pris un grand plaisir à travailler. Ils conserveront probablement le souvenir que les matheux sont des gens certes pointilleux, mais respectant les délais. Nous remercions également Martine Anciaux-Mundeleer pour sa patiente relecture et

ses commentaires judicieux, sans oublier les générations d'étudiants et d'élèves-assistants

qui nous ont aidés à ajuster le contenu de notre enseignement et à afner l'approche pédagogique d'une discipline qui suscite parfois une certaine appréhension. Enn, nous formulons l'espoir que les lecteurs découvriront au l de cet ouvrage que les mathématiques constituent non seulement un outil précieux pourles sciences de gestion, mais aussi un savoir fascinant dont l'apprentissage procure des joies insoupçonnées...

Jeremy Dussart

Natacha Joukoff

Ahmed Loulit

Ariane Szafarz

Bruxelles, juin 2004X Introduction

1

Chapitre

Rappels

et dénitions

Rappels et dénitions

1. Ensembles de nombres ............... 2

2. Relation

6dansR.................. 3

3. Sous-ensembles convexes de

R...... 4

4. Fonctions de

RdansR.............. 4

5. Résolution d'équations dans

C....... 6

5.1 Nombres complexes .............. 6

5.2 Plan complexe et forme

trigonométrique .................. 7

5.3 Polynômes à coefcients

complexes ........................ 9

6. Topologie et dépendance linéaire

dans

Rn............................ 9

Problèmes et exercices...... 12

Relation

6dansR

et les sous-ensembles convexes deR12

Fonctions de

R!R................. 14

Nombres complexes ................... 24

Topologie et dépendance linéaire

dans

Rn........................... 27

Ce chapitre présente les notionsde base et les

notations utilisées dans la suite du livre (1), en commençant par les ensembles de nombres. Il évolue ensuite vers la structure ordonnée de l'ensembleRdes nombres réels. De là, les intervalles et autres ensembles convexes de Rsont introduits. Les fonctions réelles dont l'étude détaillée apparaît dans les chapitres 3 et 4 sont brièvement présentées. La généralisation de l'ensembleRest abordée selon deux directions. D'une part, au plan algébrique, les nombres complexes permettent la résolution d'équations polynomiales sans solution réelle. D'autre part, les ensembles den-uples réels constituent la base indispensable à l'examen des fonctions de plusieurs variables qui font l'objet des chapitres 6 et 7.

1. Nous supposeronsnéanmoins acquises les notions de base et les notations de la théorie des ensembles et de

l'algèbre élémentaire.Rappels et dénitions 1

1Ensembles de nombres

Lesensembles de nombres sont présentés du plus petitau plusgrand,partantde celui des sont obtenus en ajoutant aux nombres naturels leurs opposés, qui sont munis d'un signe négatif. Les nombres rationnels permettent d'introduire toutes les fractions (division de deux nombres entiers) à dénominateur non nul. Enn, l'ensemble des nombres réels qui

n'est pas dénombrable, est déterminé par analogie avec les points d'une droite, appelée la

droite réelle

Notations

Nest l'ensemble des nombres naturelsf0;1;2;:::g.

Zest l'ensemble des nombres entiersf:::;2;1;0;1;2;:::g.

Qest l'ensemble des nombres rationnelspq

Vp2Z;q2Z;q6D0

Rest l'ensemble des nombres réels, représenté par l'ensemble des points d'une droite orientée munie d'une origine et d'une unité. Pour chacun des ensembles cités, on indique l'exclusion du nombre 0 par un indice inférieur nul ou un astérisque. La restriction aux nombres positifs ou nuls, ou négatifs ou nuls, s'effectue à l'aide du signe qui convient placé en indice supérieur. oExemples N0DNDNnf0g D f1;2;:::g,RCD fx2RVx>0g,R0D fx2RVx<0g. L'équationx2D1 n'admet pas de solution réelle. An de résoudre cette difculté, on dénit un ensemble plus vaste queR, l'ensemble des nombres complexes.

DénitionCD\baCbiVa;b2R;i2D 1.o

Les dénitions et propriétés relatives à l'ensembleCseront présentées dans la section 5

du présent chapitre. Remarquons que les inclusions successivesNZQRC sont strictes puisque :

12Zet1=2N.

13

2Qet13

=2Z. p2Retp=2Q.

3C2i2Cet 3C2i=2R.

L'ensembleRoccupe sans conteste une place prépondérante dans les applications pra- tiques. En effet, les multiples éléments quantitatifs qui émaillent les problèmes de la gestion s'expriment le plus souvent à l'aide des nombres réels. le temps vu comme une succession d'instants dissociés (approche dite discrète) conduit

à une représentation mathématique de dates appartenant àNouN0et l'évolution des2 Rappels et dénitions

1

Chapitre

variables d'intérêt sera exprimée à l'aide de suites (chapitre 2). D'autre part, le temps

considéré comme un continuum (approche dite continue), en référence àRouRC0, requiert la théorie des fonctions (chapitre 3). En fait, ces deux visions du temps sont complémentaires : l'observation statistique s'effectue à des dates discrètes, tandis que l'analyse théorique repose plus volontiers sur la théorie des fonctions, plus performante à cet égard.2Relation6dansR qui enrichissent la droite réelle et permettent de dénir des notions qui s'avèreront fort utiles dans l'étude des fonctions.

Propriétés

La relation6est un ordre total surRcar :8x2RVx6x(réexivité),8x;y2RVx6yety6x)xDy(antisymétrie),8x;y;z2RVx6yety6z)x6z(transitivité),8x;y2RVx6youy6x(l'ordre est total).

L'ordre6est compatibleavec l'addition et avec lamultiplication par un nombre positif ou nul car :8x;y;z2RVx6y)xCz6yCz.8x;y2R;8z2RCVx6y)x:z6y:z.o

Attention

8 x;y2R;8z2RVx6y)x:z>y:z.

PropriétéRest un ensemble dense car :

8 x;y2RVxRemarque NetZne sont pas des ensembles denses, tandis queQetRnQle sont. En outre, ces deux derniers ensembles sont denses dansR. En effet : 8 x;y2RVxRelation6dansR3

Dénitions

best unmajorantdeAsi8x2AVx6b. L'ensemble des majorants deAest noté NA. best unminorantdeAsi8x2AVb6x. L'ensemble des minorants deAest notéA. AestbornésiAadmet au moins un minorant (Aestminoré) et un majorant (A estmajoré). Le plus petit majorant deAest appelésupremumouborne supérieuredeA. Il est noté supA. Si9supA2A, alors supAest appelémaximumdeA. Il est noté maxA. Le plus grand minorant deAest appeléinmumouborne inférieuredeA. Il est noté infA. Si9infA2A, alors infAest appeléminimumdeA. Il est noté minA.o ensemble non vide minoré admet un inmum. o Néanmoins, certains ensembles majorés (resp. minorés) n'admettent pas de maximum (resp. minimum). Voir les exercices.3Sous-ensembles convexes deR Un sous-ensembleAdeRest ditconvexesi tout segment qui joint deux de ses points est contenu dans l'ensemble. La formalisation mathématique de cette dénition s'énonce comme suit.

DénitionAest un sous-ensembleconvexedeRsi :

8 x;y2A;8z2RVx6z6y)z2A.o triviaux :;(ensemble vide) etR. Voici tous les intervalles et demi-droites possibles :

Intervalle fermé :[a;b]D fx2RVa6x6bg.

Intervalle ouvert :.a;b/D fx2RVa Intervalles ni ouverts, ni fermés :[a;b/D fx2RVa6xDénitions

fest unefonctiondeAdansBsi à tout élémentx2Acorrespond un et un seul

élémentf.x/2B. On écrit :fVA!BVx!f.x/.

L'ensembleAest appelé ledomaine de dénitiondef, et noté domf. Legraphedefest la courbe plane d'équationyDf.x/;x2A.o4 Rappels et dénitions 1

Chapitre

Les rôles des ensemblesAetBsont fort différents. En effet, tout élément deAest obligatoirement envoyé parfsur un élément deB, tandis que chaque élément deBpeut être l'image d'un, de plusieurs ou d'aucun élément deA.

Exemple

Prenons la fonctionfVR!RCVx!maxfx;1g. Tous les nombres du sous-ensemble.1;1U deRont pour image 1, tandis que les autres points deRsont envoyés sur eux-mêmes. Il s'ensuit, entre autres, que : 1/2 n'est l'image d'aucun point deR, 1 est l'image d'une innité de points deR, 3 est l'image d'un seul point deR. Notons aussi que les nombres négatifs ne font pas partie de l'ensemble d'arrivéeRC. Le graphe defest donné par la gure 1.1.

Figure 1.1

Ð1Ð221043

2 4y x 3 Ð2

1y = f(x)An de caractériser les diverses situations possibles, on adopte les dénitions suivantes.

Dénitions

L' imageparfdeAest l'ensemble : Imf.A/ouf.A/D ff.x/Vx2Ag. L' image inversedeB0Bparfest l'ensemble :f1.B0/D fx2AVf.x/2B0g.o

Exemple

Si l'on considère la fonctionfVR!RCVx!maxfx;1g, on a :Imf.A/D[1;C1/et, pour B

0D[1;2]RC, on a :f1.B0/D.1;2].

Dans les problèmes pratiques, on est souvent amené à appliquer plusieurs fonctions successivement. Par exemple, une usine peut, dans un premier temps, transformer une quantité de facteur de production de base en un produit semi-ni, lui-même appelé à

peuvent être représentées par l'application en chaîne de fonctions de production selon leFonctions deRdansR5

schéma suivant : Facteur brut.x/f!produit semi-ni.y/g!produit nal.z/

Le passage direct de l'

inputinitialxà l'outputnalzest donné par la fonction composée dénie comme suit : DénitionSifVA!BVx!f.x/etgVB!CVx!g.x/, lacomposéedef etgest la fonction deA!C, notéegf, dénie par :.gf/.x/Dgf.x/.o injectives, surjectives et bijectives.

DénitionsSoitfVA!BVx!f.x/.

festsurjectivesi8y2B;9x2AVyDf.x/; festbijectivesifestinjective etsurjective, c'est-à-diresi8y2B;9unetunseul x2AVyDf.x/.o

Remarque

Les ensemblesAetBjouent un rôle crucial dans la détermination du caractère injectif et/ou surjectif d'une fonction. Enn, seules les fonctions bijectives permettent de donner un sens à une fonction réci- proque (ou inverse) selon le schéma suivant : xDf1.y/f! f

1 yDf.x/

DénitionSi la fonctionfVA!BVx!f.x/est bijective, alors safonction réciproque , notéef1, deB!A, est dénie par : 8 y2BVf1.y/Dx,yDf.x/:o Ainsi, parmi les fonctions usuelles, on dénombre plusieurs couples de fonctions réci- proques telles que l'exponentielle et le logarithme (dans la même base), les fonctions sinus et arcsinus (moyennant une restriction de domaine qui garantisse la bijectivité), etc. Plus simplement encore, la fonction identitéfVR!RVx!xest sa propre réciproque tandis que la fonction carré fVRC!RCVx!x2(domaine restreint

pour bijectivité) a pour réciproque la fonction racine carréefVRC!RCVx!px.5Résolution d'équations dansC

Après avoir brièvement rappelé les dénitions de base des nombres complexes, nous donnons ici les propriétés relatives aux solutions d'équations polynomiales.

5.1 NOMBRES COMPLEXES

Dans la section 1, l'ensembleCdes nombres complexes a été déni par :

CD faCbiVa;b2R;i2D 1g:

On introduit également les notions suivantes :6 Rappels et dénitions 1

Chapitre

Dénitions

Le nombre réelaest lapartie réelledeaCbi.

Le nombre réelbest lapartie imaginairedeaCbi.

Le nombre complexeNzDabiest appeléconjuguédezDaCbi. j zj Dpz:Nzest appelé lemoduledez. Les nombres complexesaCbietcCdisontégaux,aDcetbDd.o L'addition et la multiplication dansCsont dénies par la généralisation des opérations correspondantes dansR. Ainsi, siz1DaCbietz2DcCdi, on a : z

Remarque

L'inverse du nombre complexeaCbi6D0est obtenu comme suit :

1aCbiDabi.aCbi/.abi/

D abia 2Cb2 D aa

2Cb2ba

2Cb2i:

5.2 P

LAN COMPLEXE ET FORME TRIGONOMÉTRIQUE

Gauss ,munienabscissedel'axeréeletenordonnée del'axeimaginaire(gure1.2).Figure 1.2axe imaginaire b axe rŽel0a

z = a + biLes nombres complexes non nuls peuvent aussi être représentés sous forme trigonomé-

trique (gure 1.3, page suivante) :zDaCbiDr.coshCisinh/,

Résolution d'équations dansC7

Figure 1.3y

x b az = a + bi oa= cos b= sinb asin ,cos= =

LÕangle est appelŽ

argumentdez. = a2+ b2

Exemple

zD1p3iD2 cos5p3

Cisin5p3

puisque :

1Drcosh

p3Drsinh)8 :rDp1C3 sinhDp3 2 ;coshD12 )8 :rD2 hD5p3

C2kp;oùk2Z:

On peut aussi opter pour la représentation plus générale : zD2 cos5p3 C2kp

Cisin5p3

C2kp ;oùk2Z: La forme trigonométrique est commode pour effectuer les produits et les quotients de nombres complexes. PropriétésSiz1Dr1.cosh1Cisinh1/etz2Dr2.cosh2Cisinh2/, alors : z1:z2Dr1:r2cos.h1Ch2/Cisin.h1Ch2/; siz26D0 :z1z 2Dr1r

2cos.h1h2/Cisin.h1h2/.o

Exemple

z1D1p3iD2 cos5p3

Cisin5p3

etz2D 4p34iD8 cos7p6

Cisin7p6

On a :

z1z 2D28 cos5p3 7p6

Cisin5p3

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