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?Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers?

14 juin 2010

Exercice 14 points

Commun à tous lescandidats

Question 1

Dans l"espace muni d"un repère orthonormal

O,-→ı,-→?,-→k?

, on considère les droites (D1)et (D2) de re- présentations paramétriques : (D1)???x= -1+2t y= -3t z=1+t(t? ?) et (D2)???x=1-2t y=5-t z= -2+t(t??).

Affirmation:

Les droites (D1) et (D2) sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs?u1et?u2sont or-

thogonaux : u1??????2-3 1· ?u2??????-2 -1

1=2×-2+(-3)×(-1)+1×1=0

Question 2

Dansl"espacemunid"unrepèreorthonormal(O;?ı;??;?k),onconsidèrelepointAdecoordonnées(2;-1; 3)

et la droite (D) de représentation paramétrique : (D)???x=1+4t y= -2+2t z=3-2t(t?

Affirmation:

Le plan (P) contenant le point A et orthogonal à la droite (D) a pour équation : 2x+y-z=0, car un

vecteur normal au plan est u??????21-1? ?v??????42-2qui est un vecteur directeur à la droite (D).

De plus, le pointA(2 ;-1 ; 3) appartient au plan car ses coordonnées vérifient l"équation du plan (P) :

2×2+(-1)-3=0.

Question 3

La durée de vie, exprimée en heures, d"un jeu électronique, est une variable aléatoireXqui suit la loi

exponentielle de paramètreλ=0,0003.

On rappelle que, pour toutt?0,p(X?t)=?

t 0

λe-λxdx.

Affirmation:

La probabilitéppour que la durée de vie de ce jeu soit strictement supérieureà 2000 heures estsupé-

rieureà 0,5. p=1-p(X?2000)=1-? 2000
0

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Question 4

AetBsont deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : p(A)=0,4,pA(B)=0,7 etp A?B? =0,1.

Affirmation:

La probabilité de l"évènement A sachant que l"évènement B est réalisé est égale à14

41. En effet :

p(A∩B)=pA(B)×p(A)=0,4×0,7=0,28 etp?

A∩B?

=p(A)×pA?B? =0,6×0,1=0,06

De plus :

p

A∩B?

=p?A?B? =0,82

Ainsi :

p

B(A)=0,28

0,82=1441

Exercice 25 points

Réservéaux candidatsn"ayant passuivi l"enseignementde spécialité Dans le plan complexe (P) muni d"un repère orthonormal direct?

O,-→u,-→v?

d"unité graphique 4 cm,

on considère le point A d"affixea= -1 et l"applicationf, du plan (P) dans lui-même, qui au pointM

d"affixez, distinct de A, associe le pointM?=f(M) d"affixez?tel que : z ?=iz z+1.

1.Affixe des pointsMtels queM?=M:

z ?=z??z=iz z+1??z(z+1)=iz??z2+z(1-i)??z(z-(-1+i))??z=0 ouz=-1+i

Les points d"affixes 0 et-1+i vérifientM?=M?

2.Pour tout pointMdistinct de A et de O, on a :

OM ?=????iz z+1???? =|iz||z+1|=|i|.|z||z+1|=OMAM -→u,---→OM?? =Arg?iz z+1? =Arg(iz)-Arg(z+1)[2π] =Arg(i)+Arg(z)-Arg(z+1)[2π]

2+?-→u,--→OM?

-?-→u,--→AM? =π2+?-→u,--→OM? +?--→AM,-→u?

2π]

2+?--→AM,--→OM?

=π2+?--→MA,--→MO?

2π]

3. a.SoitBle point d"affixeb=-1

2+i. (Voir figure en fin d"exercice)

b.Calcul de l"affixeb?du pointB?image du pointBparf: b ?=i? -1 2+i? -12+i+1=-1-1 2i 1

2+i=-2-i

1+2i=(-2-i)(1-2i)12+22=-45+35i

Centres étrangers214 juin 2010

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

B?appartient au cercle (C) de centreOet de rayon 1, car : ?-4

5+35i????

?-4 5? 2 +?35? 2 16+9

25=1??OM=1??M?C

c.SiMest sur la médiatrice (Δ), on aOM=AM??1=OM

AM=OM?. AinsiM?est sur le cercle

(C) de centreOet de rayon 1. d.SoitCle point tel que le triangleAOCsoit équilatéral direct. Le pointC?est sur le cercle (C). On a?-→u,--→OC??

2+?--→CA,--→CO?

2π].

On trace le pointC1vérifiant?-→u,--→OC1? =?--→CA,--→CO?

3[2π], à l"intersection du cercle (C)

et du cercle de centreIet de rayon 1. On trace la perpendiculaire à (OC1) enO. Elle coupe le cercle (C) enC?.

4.Danscette question, onse propose dedéterminer, par deux méthodes différentes, l"ensemble (Γ)

des pointsMdistincts deAet deOdont l"imageM?parfappartient à l"axe des abscisses. a.On posez=x+iyavecxetyréels tels que (x,y)?=(-1, 0) et (x,y)?=(0, 0). z ?=i(x+iy) x+iy+1=-y+ix(x+1)+iy=(-y+ix)(x+1-iy)(x+1)2+y2=-y+i(x2+y2+x)(x+1)2+y2; d"oùIm?z??=x2+y2+x(x+1)2+y2 M ?appartient à l"axe des abscisses si et seulement si sa partieimaginaire est nulle, donc si et seulement si?x2+y2+x=0 (x;y)?=(-1;0)?????? x+1 2? 2 +(y-0)2=?12? 2 (x;y)?=(-1 ; 0)

Ainsi (Γ) est le cercle de centre?

-1 2; 0? et de rayon12, privé du pointA(-1 ; 0). b.Géométriquement (k? M ??(xx?) avecM?=AetM?=O???-→u,---→OM?? =kπ

Ainsi :

2+?--→MA,--→MO?

=0+2kπ ouπ

2+?--→MA,--→MO?

--→MA,--→MO?

2+2kπ

ou ?--→MA,--→MO?

2+2kπ???--→MA,--→MO?

2+kπ??

M?Cdiamètre [AO]-{O;A}

Centres étrangers314 juin 2010

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

-1-0.50.511.52 -1 -0.5 0.5 1 0 A B O(C) C B? I C1 C? 2 3π 3

Exercice 25 points

Réservéaux candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

Le plan complexe est muni d"un repère orthonormal direct (O;?u;?v) d"unité graphique 1 cm, on consi-

dère les pointsA,B,C,M,NetPd"affixes respectives : a=1+i,b=-1+2i,c=2+3i,m=7-5i,n=5-i,p=9+i.

Centres étrangers414 juin 2010

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1. a. -2 -42 4

2 4 6 8

?A? B? C M? N? P b.On calcule les longueurs des côtés :

AB=|b-a|=|2+i|=?

5;AC=|1+2i|=?5;

BC=|3+i|=?

10 doncAB=AC, le triangleABCest isocèle enAetBC2=10;BA2+AC2=

5+5=10, donc

BC

2=BA2+AC2le triangleABCest isocèle rectangle enA.

NP=|p-n|=|4+2i|=?

20;NM=|2-4i|=?20;MP=|2+6i|=?40 doncNP=NM, le

triangleNPMest isocèle enNetMP2=40;MN2+NP2=20+20=40, doncMP2=MN2+ NP

2le triangleMNPest isocèle rectangle enN.

c.Deux triangles isocèles rectangles ont leur côtés proportionnels (ici il faut multiplier par 2,

pour passer des dimensions deABCaux dimensions deMNP), donc ces deux triangles sont semblables.

2.Soitsla similitude directe qui transforme le pointAenNet le pointBenP.

a.On chercheaetbcomplexes, tels que la forme complexe dessoitz?=az+baveca?=0 ets est telle que elle transforme le pointAenNet le pointBenP. Donc

S:?azA+b=zN

az B+b=zP; donc ce système aux inconnuesa,badmet une unique

S:?a(1+i)+b=5-i

a(-1+2i)+b=9+i

S:?b=5-i-a(1+i)

a(-1+2i)+5-i-a(1+i)=9+i La dernière ligne ne comporte que l"inconnuea, on la résout : a(-2+i)=4+2i donca=4+2i -2+idonca=(4+2i)(-2-i)(-2+i)(-2-i) a=1

5((-8+2)+i(-4-4))

a=? -6

5-85i?

on trouveb;b=5-i-a(1+i)=5-i+? -65-85i? (1+i); doncb=?

5+65-85?

Centres étrangers514 juin 2010

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

i? -1+65+85? =235+95i.

L"écriture complexe de la similitudesest :

z -6

5-85i?

z+235+95i. b.Le rapport, c"est|a|=? -6 5? 2 -65? 2 =2. L"angle c"estθ=arg(a) avec cos(θ)=-6 5

2=-35et

sin(θ)=-8 5

2=-45c"est un angle du 4equadrant c"est 233 au degrés environ.

Le centre de la similitudes, c"est le point fixeWdes, on résoutz?=z. z ?=z??z=? -6

5-85i?

z+235+95i z ?=z??5z=(-6-8i)z+23+9i z ?=z??(11+8i)z=23+9i z ?=z??z=23+9i (11+8i) z ?=z??z=(23+9i)(11-8i) (11+8i)(11-8i) z ?=z??z=253+72+(99-184)i 185
z ?=z??z=325+(-85)i 185
z ?=z??z=65+(-17)i 37
-2 -42 4

2 4 6 8

??W?2330 ?A? B? C M? N? P c.Calculons l"affixe des(C) : c"estz?=(-6

5-85i)(2+3i)+235+95i

z ?=1

5[(-12+24+23)+(-18-16+9)i]

Centres étrangers614 juin 2010

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

z?=15[(35)+(-25)i] z ?=7-5i doncs(C)=M.

3.Soits?la similitude dont l"écriture complexe est :

z ?=2i z+3-3i. a.On calculez?avecz=(1+i) z ?=2i(1-i+3-3i=5-i=n

On calculez?avecz=(-1+2i)

z ?=2i(-1-2i+3-3i=7-5i=m

On calculez?avecz=(2+3i)

z ?=2i(2-3i)+3-3i=9+i=p b.On résoutz?=zavecs?.

On az=2i

z+3-3i donc en conjuguant : z=-2iz+3+3i donc en revenant à la première équation z=2i×(-2iz+3+3i)+3-3i, on a alors une équation du premier degré enzdonc z=4z+6i-6+3-3i -3z=-3+3i doncz=1-i Comme la méthode a été compliquée , on vérifie : 2i(

1-i)+3-3i=2i(1+i)+3-3i=

=2i-2+3-3i=1-i

Le point fixe des?est le pointKd"affixe 1-i

c.Soithl"homothétie de centreKet de rapport1

2etJle point d"affixe 2.

On pose :f=s?◦h. Commeh(K)=Kets(K)=K, alorss?◦h(K)=K. PourJ, parh Jest transformé enJ?point d"affixezJ?et comme?K J?=1

2?K Jon peut dire queJ?est le milieu de

[K J] donc2+(1-i)

2=zJ?donczJ?=12(3-i).

Calculons ensuite l"affixe des?(J?) c"est

2i 1

2(3-i)+3-3i=i(3+i)++3-3i=2 on trouve bien queKetJsont invariants parf.

Fest une composée de similitudes l"une directe, l"autre indirecte, doncfest une similitude indirecte, qui conserve deux points ,donc c"est la symétrieaxiale par rapport à la droite por- tant ces deux points donc par rapport à la droite (K J).quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50