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?Baccalauréat S Centres étrangers?
10 juin 2016
Exercice I(4 points)
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer sielle est vraie ou fausse, en jus-tifiant la réponse. il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une ré-
ponse non justifiée n"est pas prise en compte. une absence de réponse n"est pas pénalisée.
1.Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard unebaguette de pain dans la
production. Onadmetque lavariable aléatoire exprimantsa masse, engramme, suitla loi normale d"espérance 200 et d"écart-type 10.Affirmation 1
La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à 187 g est supérieure à 0,9.
2. Affirmation 2
L"équationx-cosx=0 admet une unique solution dans l"intervalle?0 ;π
2? les droitesD1etD2qui admettent pour représentationsparamétriques respectives : ?x=1+2t y=2-3t z=4t,t?Ret???????x=-5t?+3 y=2t? z=t?+4,t??R3. Affirmation 3
Les droitesD1etD2sont sécantes.
4. Affirmation 4
La droiteD1est parallèle au plan d"équationx+2y+z-3=0.Exercice II(6 points)
Soitfune fonction définie sur l"intervalle
[0; 1], continue etpositive sur cet intervalle, etaune réel tel que 0Cla courbe représentative de la
fonctionfdans un repère orthogo- nal :A1l"aire du domaine plan limité par
l"axe des abscisses et la courbeC d"une part, les droites d"équations x=0 etx=ad"autre part.A2l"aire du domaine plan limité par
l"axe des abscisses et la courbeC d"une part, les droites d"équations x=aetx=1 d"autre part. 1 A1A2 aC x Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctionsf, une valeur du réela vérifiant la condition (E) : "les airesA1etA2sont égales». On admet l"existence d"un tel réelapour chacune des fonctions considérées.Partie A : Étudedequelques exemples
1.Vérifier que dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réelaet
déterminer sa valeur. a.fest une fonction constante strictement positive. b.fest définie sur [0 ; 1] parf(x)=x.2. a.À l"aide d"intégrales, exprimer, en unités d"aires, les airesA1etA2.
b.On noteFune primitive de la fonctionfsur l"intervalle [0 ; 1]. Démontrer que si le réelasatisfait la condition (E), alorsF(a)=F(0)+F(1) 2.La réciproque est-elle vraie?
3.Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.
a.La fonctionfest définie pour tout réelxde [0 ; 1] parf(x)=ex. b.La fonctionfdéfinie pour tout réelxde[0 ; 1]parf(x)=1 (x+2)2.Vérifier que la valeura=2
5convient.
Partie B : Utilisation d"une suite pour déterminer une valeur approchée dea Dans cette partie, on considère la fonctionfdéfinie pour tout réelxde [0 ; 1] parf(x)=4-3x2.
1.Démontrer que siaest un réel satisfaisant la condition (E), alorsaest solution de
l"équation : x=x3 4+38. Dans la suite de l"exercice, on admettraque cette équationaune uniquesolution dans l"intervalle [0 ; 1]. On noteacette solution.2.On considère la fonctiongdéfinie pour tout réelxde [0 ; 1] parg(x)=x3
4+38et la
suite (un)définie par :u0=0 et, pour tout entier natureln,un+1=g(un). a.Calculeru1. b.Démontrer que la fonctiongest croissante sur l"intervalle [0 ; 1]. d.Prouver que la suite(un)est convergente. À l"aide des opérations sur les limites, prouver que la limite esta. e.On admet que le réelavérifie l"inégalité 0à chaque personne.
Les trois parties sont relatives à cette même situation, mais peuvent être traitées de manière
indépendante. Partie A : Nombre depersonnes qui acceptent derépondre au sondage On admet dans cette partie que la probabilité qu"une personne interrogée accepte de ré- pondre à la question est égale à 0,6.1.L"institut de sondage interroge 700 personnes. On noteXla variable aléatoire corres-
pondantaunombre de personnesinterrogées quiacceptentderépondreà la question posée. a.Quelle est la loi de la variable aléatoireX? Justifier la réponse.0,92 0,93 0,94 0,95.
probabilité supérieur à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400. Partie B : Proportion de personnes favorables au projet danslapopulation Dans cette partie, on suppose quenpersonnes ont répondu à la question, et on admet que ces personnes constituent un échantillon aléatoire de taillen(oùnest un entier naturel supérieur à 50). Parmi ces personnes, 29 % sont favorables au projet d"aménagement.1.Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, de la proportion
de personnes qui sont favorables au projet dans la population totale.2.Déterminer la valeur minimale de l"entiernpour que l"intervalle de confiance, au ni-
veau de confiance de 95 %, ait une amplitude inférieure ou égale à 0,04. Partie C : Correction dueà l"insincérité de certaines réponses Danscettepartie,onsuppose que,parmilespersonnessondéesquiontacceptéderépondre à la question posée, 29 % affirment qu"elles sont favorables au projet. L"institut de sondage sait par ailleurs que la question posée pouvant être gênante pour lespersonnes interrogées, certaines d"entre elles ne sont passincères et répondent le contraire
de leur opinion véritable. Ainsi, une personne qui se dit favorable peut : soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère. soit être en réalité défavorable au projet si elle n"est passincère.Par expérience, l"institut estime à 15 % le taux de réponses non sincères parmiles personnes
ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soitl"opinion de la personne interrogée.Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes
favorables au projet, à l"aide d"un modèle probabiliste. Onprélève au hasard la fiche d"une
personne ayant répondu, et on définit : Fl"évènement "la personne est en réalité favorable au projet»; Fl"évènement "la personne est en réalité défavorable au projet»; Al"évènement "la personne affirme qu"elle est favorable au projet»; Al"évènement "la personne affirme qu"elle est défavorable auprojet».Ainsi, d"après les données, on ap(A)=0,29.
1.En interprétantles données de l"énoncé, indiquer les valeurs dePF(A) etP
F(A). 2.On posex=P(F).
a.Reproduire sur la copie et compléter l"arbrede probabilité ci-contre. b.En déduire une égalité vérifiée parx?F xA A F1-xA A3.Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles
qui sont réellement favorables au projet.Exercice IV(5 points)
Candidat/e/sn"ayant pas choisi la spécialité mathématiqueOn veut modéliser dans le plan la coquille d"un nautile à l"aide d"une ligne brisée en forme
de spirale. On s"intéresse à l"aire délimitée par cette ligne.On munit le plan d"un repère orthonormaldirect
?O;-→u;-→v?. complexeszk=? 1+k n? e i2kπ net on noteMkle point d"affixezk. Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les pointsMkavec0?k?n.
Par exemple, pour les entiersn=6,n=10 etn=20, on obtient les figures ci-dessous. n=6n=10n=201 2-1-2
-1 -211 2-1-2 -1 -211 2-1-2 -1 -21 Partie A : Ligne brisée forméeà partir desept points Dans cette partie, on suppose quen=6. Ainsi, pour 0?k?6, on azk=? 1+k 6? e i2kπ 6.1.Déterminer la forme algébrique dez1.
2.Vérifier quez0etz6sont des entiers que l"on déterminera.
l"aire de ce triangle est égale à 7? 3 24.Partie B : Ligne brisée formée à partir den+1 points Dans cette partie,nest un entier supérieur ou égal à 2.
1.Pour tout entierktel que 0?k?n, déterminer la longueurOMk.
2.Pourkentier tel que 0?k?n-1, déterminer une mesure des angles?-→u;---→OMk?
et?-→u;-----→OMk+1? En déduire une mesure de l"angle?---→OMk;-----→OMk+1?3.Pourkentier tel que 0?k?n-1, démontrer que la longueur de la hauteur issue de
M k+1dans le triangleOMkMk+1est égale à? 1+k+1 n?×sin?2πn?
2sin?2πn?
1+kn??
1+k+1n?
et que l"aire totale délimitée par la ligne brisée est égale àAn=a0+a1+···+an-1.
L"algorithme suivant permet de calculer l"aireAnlorsqu"on entre l"entiern: