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Polynômes et fractions rationnelles

Didier Piau et Bernard Ycart

Tout le monde connaît les fonctions polynomiales : ce sont simplement les fonctions commet?→4+5t2+7t3+t5. Lespolynômesen sont une version plus algébrique, dont les avantages peuvent paraître assez subtils la première fois qu"on les découvre; soyez cependant assurés qu"ils existent, y compris si on en reste à un point de vue purement pratique. Un bagage minimum suffit pour aborder ce chapitre : un peu d"arithmétique des entiers et quelques notions sur les espaces vectoriels, sans même que ce soit vraiment indispensable.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Anneau des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Racines des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Polynômes versus fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Formule de Taylor pour les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Polynômes surCversus polynômes surR. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Corps des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Entraînement 28

2.1 Vrai ou Faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Compléments 47

3.1 Algorithme de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Règle des signes de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Suites de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Division suivant les puissances croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5 Formule de Cardan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8 novembre 2011

Maths en LignePolynômes et fractions rationnellesUJF Grenoble1 Cours

1.1 Anneau des polynômes

L"idée de la construction sera peut-être compréhensible si on se demande comment stocker une fonction polynomiale deRdansRdans une mémoire de machine : stocker toutesles valeurs de la fonction étant impossible, un bon procédé pour représenter la fonctiont?→4+5t2+7t3+t5, par exemple, sera de stocker la suite de ses coefficients; on entrera donc dans la machine la suite405701, ce qui indique que le coefficient det0 est4, celui detest0, celui det2est5, etc. Ce procédé de stockage sera tout bonnement la définition même des polynômes. Simplement, comme un polynôme peut en théorie être de degré gigantesque, bien plus grand que les capacités de stockage de toute machine, il faudra se résigner à stocker une infinité de coefficients, dont seuls lesNpremiers seront non nuls (la métaphore technolo- gique s"écroule alors) : ainsi notre polynôme-exemple sera stocké comme4057010000... (puis encore une infinité de0), occupant inutilement une infinité de cases-mémoire. Définition 1.Soit(A,+)un groupe de neutre0. Une suite(an)n?Nd"éléments deA est diteà support fini, ou biennulle à partir d"un certain rang, si le nombre d"indices npour lesquelsan?= 0est fini. En d"autres termes, il existe un indiceNfini tel que a n?= 0impliquen6N. Définition 2.Soit(A,+,·)un anneau commutatif. Notons provisoirementBl"en- semble des suites d"éléments deA, à support fini. On définit surBune addition et une multiplication par les formules (an)n?N+ (bn)n?N= (an+bn)n?N, et (an)n?N·(bn)n?N= (cn)n?Noùcn=n k=0a kbn-k. Proposition 1.L"ensembleBmuni des deux lois définies ci-dessus est un anneau commutatif. Démonstration: Il est facile de vérifier que(B,+)est un sous-groupe du groupe abélien (additif) de toutes les suites d"éléments deA. En effet, le neutre deAest la suite identiquement nulle, qui appartient àB; la somme de deux suites à supports finis est à support fini : sian= 0pour toutn > Net sibn= 0pour toutn > M, alorsan+bn= 0pour toutn >max{N,M}(et peut-être pour d"autres indicesn également mais ce n"est pas important); enfin si-adésigne l"opposé d"un élémentade A, alors l"opposé d"un élément(an)n?NdeBest la suite(-an)n?N, qui est effectivement

à support fini.

Maths en LignePolynômes et fractions rationnellesUJF GrenoblePour ce qui concerne la deuxième loi, on doit tout d"abord vérifier que(cn)n?Nest

bien une suite deB. Avec les mêmes notations que pour l"addition, pour tout indice n > M+N, dans le calcul de c n=n k=0a kbn-k=N k=0a kbn-k+n k=N+1a kbn-k, tous les termes de la première somme sont nuls, car les indices utilisés sont tels que n-k > M+N-k>Mdoncbn-k= 0. Tous les termes de la deuxième somme sont nuls aussi cark > Ndoncak= 0. Tous les coefficientscnpourn > M+Nsont donc nuls et(cn)n?Nest bien un élément deB. On va ensuite vérifier que pour ces formules,Best un anneau commutatif. C"est peu engageant et il n"y a guère d"astuces. Il faut calculer brutalement.

Commutativité

Soient(ai)i?Net(bj)j?Ndeux éléments deB; notons(ck)k?Nle produit de(ai)i?N par(bj)j?N. Alors pour toutk>0,ck=k i=0a ibk-i=k j=0a k-jbj(en posantj=k-i); cette expression est bien celle qu"on trouverait en faisant le produit dans l"autre sens (en utilisant la commutativité deA).

Associativité

Soient(an)n?N,(bn)n?Net(cn)n?Ntrois éléments deB; notons(dn)n?Nle produit de(bn)n?Npar(cn)n?N. Notons(en)n?Nle produit de(an)n?Npar(dn)n?N. Pourn>0, calculons e n=n i=0a idn-i=n i=0a in-i? j=0c jbn-i-j=? (i,j)a ibn-i-jcj, où la dernière somme porte sur tous les couples(i,j)?N2tels quei+j6n. On trouverait la même chose en calculant de la même façon le produit de(an)n?N· (bn)n?Npar(cn)n?N.

Existence d"un élément neutre

La suite(1,0,0,0,...)est neutre pour cette multiplication.

Distributivité

Encore une vérification ennuyeuse, celle-là on va l"omettre. On a bien vérifié queBest un anneau commutatif. Notation 1.On note0la suite nulle. On appelleindéterminéel"élément (0,1,0,0,...) deBdont tous les termes sont nuls sauf le terme de numéro1qui vaut1. On note souvent (mais pas toujours)Xl"indéterminée. 2

Maths en LignePolynômes et fractions rationnellesUJF GrenobleProposition 2.Pour tout élémentPdeBtel queP?= 0, il existe un unique entier

d>0et un unique(d+ 1)-uplet(ai)06i6dd"éléments deAtels quead?= 0et

P=adXd+ad-1Xd-1+···+a1X+a0.

Démonstration: Il suffit de remarquer que, pour toutn>1,Xnest la suite dont tous les termes sont nuls sauf le terme de numéronqui vaut1. Ensuite, on réécrit les définitions. Notation 2.SiXest l"indéterminée deB, on noteB=A[X]et on appelleA[X] l"anneau des polynômes surA.

Profitons-en pour faire quelques calculs.

Exemple 1.SoientP=X3-3X2+ 2etQ=X2-X+ 2. Il s"agit de calculer le polynômePQ. On pourra décomposer un des deux polynômes, par exempleQ, en somme de mo- nômes, doncX2,-Xet2, puis effectuer chacune des multiplications dePpar ces monômes, et enfin tout regrouper. Une présentation claire, en alignant les monômes de mêmes degrés, est une condition nécessaire de calcul sans erreurs. X

2×P=X5-3X4+2X2

-X×P=-X4+3X3-2X

2×P= 2X3-6X2+4Q×P=X5-4X4+5X3-4X2-2X+4

Définition 3.Pour tout élémentPnon nul deA[X], l"unique entierd>0intervenant dans l"écriture dePen fonction de l"indéterminée dans la proposition2est appelé le degrédeP. Par convention, le degré du polynôme nul est le symbole-∞. Notation 3.Le degré d"un polynômePest notédegP. Définition 4.PourPélément non nul deA[X], lecoefficient dominantdePest le coefficientaddu terme de plus haut degré dans l"écriture dePen fonction de l"indé- terminée. Par convention, le coefficient dominant du polynôme nul est0. Enfin, un polynôme est ditunitairelorsque son coefficient dominant est égal à1. Proposition 3.SoientPetQdeux polynômes deA[X]. Alors : deg(P+Q)6max(degP,degQ). Démonstration: SiPouQest nul, le résultat est évident. Sinon, notonsdle degré de Petele degré deQpuisP=adXd+···+a0etQ=beXe+···+b0pour desaietbi dansA. Sid > e, on peut alors écrire : P+Q=adXd+···+ae+1Xe+1+ (ae+be)Xe+···+ (a0+b0). 3

Maths en LignePolynômes et fractions rationnellesUJF GrenobleIl apparaît alors quedeg(P+Q) =d= max(degP,degQ). Le cas oùd < eest similaire.

Enfin, lorsqued=e, on a un regroupement :

P+Q= (ad+bd)Xd+···+ (a0+b0).

Ou bien tous les coefficients y sont nuls, etdeg(P+Q) =-∞rendant l"inégalité évidente, ou bien un au moins est non nul et le coefficient non nul de plus fort indice est le degré deP+Qqui est bien inférieur ou égal àd. Proposition 4.SoitAest un anneau commutatifintègre(sans diviseur de zéro).

SoientPetQdeux polynômes deA[X]. Alors :

deg(PQ) = degP+ degQ. Remarque : Pour un anneau non intègre, on a encore une inégalité, mais cela ne semble pas indispensable à mémoriser (d"autant que la preuve en est très facile). Démonstration: Essentiellement déjà faite. SiPouQest nul, c"est évident; sinon notonsdle degré dePetele degré deQ puisP=adXd+···+a0etQ=beXe+···+b0pour desaietbidansA. On a alors PQ=adbeXd+e+ (adbe-1+ad-1be)Xd+e-1+···+a0b0. Si on n"est pas convaincu par les points de suspension, on écrira plus précisément :

PQ=d+e?

k=0? k? i=0a ibk-i? X k, en ayant préalablement convenu queai= 0pouri > detbi= 0pouri > e. Comme l"anneau a été supposé intègre, le produitadben"est pas nul, donc le degré dePQest exactement égal àd+e. Définition 5.Pour un polynômeP=adXd+ad-1Xd-1+···+a1X+a0non nul dans A[X], lepolynôme dérivédePest le polynôme : da dXd-1+ (d-1)ad-1Xd-2+···+a1. SiP= 0, le polynôme dérivé dePest le polynôme nul. Notation 4.Le polynôme dérivé dePest notéP?. Par analogie avec les fonctions, on notera ensuiteP??la dérivée deP?, puisP(n)la dérivéen-ième. Proposition 5.SoientPetQdeux polynômes deA[X]. Alors : (P+Q)?=P?+Q?et (PQ)?=P?Q+PQ?. 4

Maths en LignePolynômes et fractions rationnellesUJF GrenobleDémonstration: Simple vérification évidente pour l"addition et ennuyeuse pour la

multiplication.

Définition 6.Soit

P=adXd+ad-1Xd-1+···+a1X+a0

un polynôme deA[X]etxun élément deA. Lavaleur dePenx, notéeP(x), est l"élément deAégal à a dxd+ad-1xd-1+···+a1x+a0 Proposition 6.SoientPetQdeux polynômes deA[X]etxun élément deA. Alors (P+Q)(x) =P(x) +Q(x)et(PQ)(x) =P(x)Q(x) Démonstration: Simple vérification; on pourrait aussi énoncer1(x) = 1qui est évident et complète la collection d"évidences. La notationP(x)n"a pas que des avantages : elle incite hélas à confondre le po- lynômePavec la fonction qu"il n"est pas. Bien que la notation soit la même, cette définition ne se confond pas avec celle de valeur d"une application en un point. La définition qui suit cherche à reproduire la notion de composition des fonctions (encore une fois, insistons sur le fait que les polynômes ne sont pas des fonctions). Elle est utilisée une seule fois plus loin, pour écrire la formule de Taylor relative aux polynômes. Définition 7.SoientPetQdeux polynômes deA[X], avecP=adXd+ad-1Xd-1+ ···+a1X+a0. On appellecomposédePparQle polynôme a dQd+ad-1Qd-1+···+a1Q+a0 Notation 5.Ce composé est noté, selon le contexteP◦QouP(Q). Typiquement, pourQ=Xn, la notationP(Xn)s"impose et est d"ailleurs d"interprétation évidente. Nous terminons cette section par quelques remarques d"algèbre linéaire, valables uniquement dans le cas où l"anneau commutatif des coefficients est un corpsK. Tout d"abord,K[X]est un espace vectoriel surK. Le plus simple est encore de vérifier à la main la définition des espaces vectoriels, ce que l"on va se garder de faire explicitement ici d"autant que la démonstration sera faite dans le chapitreEspaces vectoriels. En fait, la définition de l"anneau des polynômes devrait évoquer le concept debase, avec son existence et unicité d"écriture comme une sorte de combinaison linéaire. La seule différence avec les vraies combinaisons linéaires est qu"on va chercher les vecteurs de " base » dans une famille infinie. 5

Maths en LignePolynômes et fractions rationnellesUJF GrenobleProposition 7.SoitKun corps commutatif. La suite(Xi)i?Nest une " base » de

K[X]au sens suivant. Pour tout élémentPdeK[X], il existe une suite unique(an)n>0 d"éléments deK, à support fini, telle que P=? n?Na nXn, au sens où, siNest tel quean= 0pour toutn > N, on a P=N n=0a nXn. La démonstration étant quasiment tautologique, on l"omettra, se bornant à remar- quer que seule la deuxième somme, comportant un nombre fini de termes, est bien définie. Quoi qu"il en soit,K[X]est votre premier exemple raisonnablement simple d"espace vectoriel ayant une base infinie. Toutefois, on est toujours plus à l"aise dans les espaces de dimension finie. Il est donc intéressant d"introduire la Notation 6.SoitKun corps commutatif etn>0un entier. On noteKn[X]l"ensemble des polynômes surKde degré inférieur ou égal àn. Proposition 8.Pour tout entiern>0,Kn[X]est un sous-espace vectoriel deK[X]. Une base deKn[X]est(1,X,...,Xn). La dimension deKn[X]estn+ 1. Démonstration: On remarque queKn[X]est l"ensemble engendré par(1,X,...,Xn): c"est donc un sous-espace vectoriel. De plus cette famille génératrice est libre (soit par

une vérification directe, soit d"après l"unicité de la décomposition de la proposition 7),

c"est donc une base deKn[X]. Définition 8.La base(Xi)i?NdeK[X]est appelée sabase canonique. La base(1,X,...,Xn)deKn[X]est aussi appelée sabase canonique. Remarque : Le lecteur pourra avoir l"impression qu"on passe son temps à définir de partout des " bases canoniques » : on en a vu pourKn, puis pour les espaces de matrices, et maintenant pour les polynômes. C"est fini pourtant. Insistons bien sur le fait qu"un espace " abstrait » n"apasde base canonique : le mot est réservé à certaines bases, remarquables par leur simplicité, d"espaces très particuliers. Le lemme qui suit servira pour prouver la formule de Taylor et est une redite du

chapitreEspaces vectoriels. Un énoncé séparé n"était donc peut-être pas nécessaire

mais, même si ce n"est pas indispensable, cela ne peut faire de mal de le connaître; le plus important étant de comprendre et savoir refaire sa brève démonstration. Lemme 1.SoitKun corps commutatif et(P0,P1,...,Pn)une famille de polynômes deK[X]tels que06degP0Maths en LignePolynômes et fractions rationnellesUJF GrenobleDémonstration: La famille(P0)est libre, car il résulte de l"hypothèse06degP0que

0n"est pas nul. Puis le système(P0,P1)est libre puisqueP1, de degré strictement

plus grand queP0, ne peut lui être proportionnel. Puis(P0,P1,P2)est libre, puisque toute combinaison linéaire de(P0,P1)est de degré inférieur ou égal àdegP1doncP2 ne peut en être une. Et ainsi de suite (ou plus proprement on fait une récurrence sur n).

1.2 Arithmétique des polynômes

Il s"agit de répéter pour les polynômes des résultats similaires à ceux qui ont été

énoncés pour les entiers.

Premier point à observer : l"arithmétique sur les polynômes est tout à fait analogue à

celle sur les entiers à condition de travailler sur des polynômes sur un corps commutatif. Sur un anneau commutatif quelconque (même intègre) se glissent quelques bizarreries. Second point à observer : les énoncés donnés sur les entiers l"ont été sur des en- tiers positifs. Ils se modifient sans trop de mal pour des entiers deZmais parfois en s"alourdissant un peu; ainsi dansZon ne peut plus affirmer l"existence d"un entierd unique tel quendivise10et6si et seulement sindivised(le pgcd de10et6) : il en existe toujours un, mais il n"est plus unique, on peut prendred= 2mais aussid=-2. Les polynômes unitaires joueront un rôle analogue aux entiers positifs mais ils sont légèrement moins confortables, dans la mesure où la somme de deux entiers positifs est positive alors que la somme de deux polynômes unitaires n"est pas nécessairement unitaire. Attention à ces petits détails donc, en apprenant les énoncés. Commençons par donner une définition, à partir de laquelle on ne montrera guère de théorèmes que dansK[X]mais que ça ne coûte pas plus cher de donner sur un anneau commutatif quelconque. Définition 9.SoitAun anneau commutatif. On dit qu"un polynômePdansA[X] est unmultipled"un polynômeSdansA[X], ou, de manière équivalente, queSest un diviseurdeP, lorsqu"il existe un polynômeTdansA[X]tel queP=ST. Comme pour les entiers, tout repose sur la division euclidienne. Théorème 1.SoitKun corps commutatif,Aun polynôme deK[X]etBun polynôme non nul deK[X]. Il existe un couple(Q,R)unique de polynômes vérifiant la double condition :

A=QB+Ret degR Démonstration: On prouvera successivement l"existence et l"unicité de(Q,R).
Existence de(Q,R)
La preuve est significativement différente de celle utilisée pour les entiers. Elle est toujours basée sur une maximisation/minimisation, mais les polynômes n"étant pas totalement ordonnés, cette maximisation est un peu plus technique. 7
Maths en LignePolynômes et fractions rationnellesUJF GrenobleDans le cas stupide oùBdiviseA, prenonsR= 0etQtel queA=BQ. Sinon,
considérons l"ensemble
R={A-QB|Q?K[X]},
qui est donc un ensemble non vide de polynômes non nuls; puis l"ensemble
E={degR|R? R},
qui est un ensemble d"entiers positifs non vide. Cet ensembleEpossède donc un plus petit élémentd; prenons unRdansRdont le degré soitdet enfin unQtel que
A-QB=R.
Nous devons vérifier que ces choix conviennent; l"identité entreA,B,QetRest
claire, reste l"inégalité concernant les degrés. Vérifions-la par l"absurde, en supposant
quedegB6degR; notonsele degré deBet B=beXe+be-1Xe-1+···+b0, R=rdXd+rd-1Xd-1+···+r0.quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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