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ANALYSE
COURS DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ANNÉEExo7
À la découverte de l"analyseLes mathématiques, vous les avez bien sûr manipulées au lycée. Dans le supérieur, il s"agit d"apprendre à
les construire! La première année pose les bases et introduit les outils dont vous aurez besoin par la suite.
Elle est aussi l"occasion de découvrir la beauté des mathématiques, de l"infiniment grand (les limites) à
l"infiniment petit (le calcul de dérivée).L"outil central abordé dans ce tome d"analyse, ce sont les fonctions. Vous en connaissez déjà beaucoup,
racine carrée, sinus et cosinus, logarithme, exponentielle... Elles interviennent dès que l"on s"intéresse à
des phénomènes qui varient en fonction de certains paramètres. Position d"une comète en fonction du
temps, variation du volume d"un gaz en fonction de la température et de la pression, nombre de bactérie en
fonction de la nourriture disponible : physique, chimie, biologie ou encore économie, autant de domaines
dans lesquels le formalisme mathématique s"applique et permet de résoudre des problèmes.Ce tome débute par l"étude des nombres réels, puis des suites. Les chapitres suivants sont consacrés aux
fonctions : limite, continuité, dérivabilité sont des notions essentielles, qui reposent sur des définitions et
des preuves minutieuses. Toutes ces notions ont une interprétation géométrique, qu"on lit sur le graphe de la
fonction, et c"est pourquoi vous trouverez dans ce livre de nombreux dessins pour vous aider à comprendre
l"intuition cachée derrière les énoncés. En fin de volume, deux chapitres explorent les applications des
études de fonctions au tracé de courbes paramétrées et à la résolution d"équations différentielles.
Les efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d"abord comprendre le cours, ensuite connaître
par cur les définitions, les théorèmes, les propositions... sans oublier de travailler les exemples et les
démonstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les mécanismes de raisonnement.
Enfin, vous devrez passer autant de temps à pratiquer les mathématiques : il est indispensable de résoudre
activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions! Pour vous aider, vous trouverez sur le
site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés. Alors n"hésitez plus : manipulez, calculez, raisonnez, et dessinez, à vous de jouer!Sommaire
1 Les nombres réels1
1 L"ensemble des nombres rationnelsQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Propriétés deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Densité deQdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Borne supérieure
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Les suites15
1 Définitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Limites
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Exemples remarquables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Théorème de convergence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Suites récurrentes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Limites et fonctions continues
371 Notions de fonction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 Limites
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Continuité en un point
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 Continuité sur un intervalle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 Fonctions monotones et bijections
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 Fonctions usuelles59
1 Logarithme et exponentielle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 Fonctions circulaires inverses
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 Dérivée d"une fonction
691 Dérivée
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2 Calcul des dérivées
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 Extremum local, théorème de Rolle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774 Théorème des accroissements finis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 Intégrales85
1 L"intégrale de Riemann
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 Propriétés de l"intégrale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933 Primitive d"une fonction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954 Intégration par parties - Changement de variable
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005 Intégration des fractions rationnelles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047 Développements limités109
1 Formules de Taylor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102 Développements limités au voisinage d"un point
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143 Opérations sur les développements limités
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174 Applications des développements limités
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228 Courbes paramétrées
1271 Notions de base
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282 Tangente à une courbe paramétrée
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353 Points singuliers - Branches infinies
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404 Plan d"étude d"une courbe paramétrée
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475 Courbes en polaires : théorie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536 Courbes en polaires : exemples
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589 Équations différentielles
1651 Définition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2 Équation différentielle linéaire du premier ordre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683 Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants
. . . . . . . . . . . 1744 Problèmes conduisant à des équations différentielles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810 Leçons de choses185
1 Alphabet grec
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1852 Écrire des mathématiques : L
ATEX en cinq minutes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863 Formules de trigonométrie : sinus, cosinus, tangente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884 Formulaire : trigonométrie circulaire et hyperbolique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935 Formules de développements limités
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956 Formulaire : primitives
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 IndexLes nombres réelsChapitre
1 ?????■?????? ?? ??????? ??Q????RMotivationVoici une introduction, non seulement à ce chapitre sur les nombres réels, mais aussi aux premiers chapitres
de ce cours d"analyse.Aux temps des Babyloniens (en Mésopotamie de 3000 à 600 avant J.C.) le système de numération était
en base60, c"est-à-dire que tous les nombres étaient exprimés sous la formea+b60+c602+···. On peut
imaginer que pour les applications pratiques c"était largement suffisant (par exemple estimer la surface
d"un champ, le diviser en deux parties égales, calculer le rendement par unité de surface,...). En langage
moderne cela correspond à compter uniquement avec des nombres rationnelsQ.Les pythagoriciens (vers 500 avant J.C. en Grèce) montrent quep2n"entre pas ce cadre là. C"est-à-dire quep2ne peut s"écrire sous la formepqavecpetqdeux entiers. C"est un double saut conceptuel : d"une part
concevoir quep2 est de nature différente mais surtout d"en donner une démonstration.Le fil rouge de ce cours va être deux exemples très simples : les nombresp10et1,101/12. Le premier
représente par exemple la diagonale d"un rectangle de base3et de hauteur1; le second correspond par
exemple au taux d"intérêt mensuel d"un taux annuel de10%. Dans ce premier chapitre vous allez apprendre
à montrer quep10n"est pas un nombre rationnel mais aussi à encadrerp10et1,101/12entre deux entiers
consécutifs.Pour pouvoir calculer des décimales après la virgule, voire des centaines de décimales, nous aurons besoin
d"outils beaucoup plus sophistiqués : une construction solide des nombres réels, l"étude des suites et de leur limites, l"étude des fonctions continues et des fonctions dérivables.Ces trois points sont liés et permettent de répondre à notre problème, car par exemple nous verrons en
étudiant la fonctionf(x) =x2-10que la suite des rationnels(un)définie paru0=3etun+1=12 u n+10u ntend très vite versp10. Cela nous permettra de calculer des centaines de décimales dep10et de certifier
qu"elles sont exactes :p10=3,1622776601683793319988935444327185337195551393252168... LES NOMBRES RÉELS1. L"ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELSQ21. L"ensemble des nombres rationnelsQ
1.1. Écriture décimale
Par définition, l"ensemble desnombres rationnelsestQ=§pq
|p∈Z,q∈N∗ªOn a notéN∗=N\{0}.
Par exemple :
25;-710 ;36 =12 .Les nombres décimaux, c"est-à-dire les nombres de la formea10 n, aveca∈Zetn∈N, fournissent d"autres exemples :
1,234=1234×10-3=12341000
0,00345=345×10-5=345100000
.Proposition 1.Un nombre est rationnel si et seulement s"il admet une écriture décimale périodique ou finie.Par exemple :
35=0,613 =0,3333... 1,179325←→325←→325←→...
Nous n"allons pas donner la démonstration mais le sens direct (=⇒) repose sur la division euclidienne. Pour
la réciproque (⇐=) voyons comment cela marche sur un exemple : Montrons quex=12,342021←-→2021←-→...
est un rationnel.L"idée est d"abord de faire apparaître la partie périodique juste après la virgule. Ici la période commence
deux chiffres après la virgule, donc on multiplie par 100 :100x=1234,2021←-→2021←-→... (1)
Maintenant on va décaler tout vers la gauche de la longueur d"une période, donc ici on multiplie encore par
10000 pour décaler de 4 chiffres :
10000×100x=12342021,2021←-→... (2)
Les parties après la virgule des deux lignes(1)et(2)sont les mêmes, donc si on les soustrait en faisant
2 1 ) alors les parties décimales s"annulent :10000×100x-100x=12342021-1234
donc 999900x=12340787 donc x=12340787999900Et donc bien sûrx∈Q.
1.2. p2n"est pas un nombre rationnelIl existe des nombres qui ne sont pas rationnels, lesirrationnels. Les nombres irrationnels apparaissent
naturellement dans les figures géométriques : par exemple la diagonale d"un carré de côté1est le nombre
irrationnelp2; la circonférence d"un cercle de rayon12estπqui est également un nombre irrationnel. Enfin
e=exp(1)est aussi irrationnel. LES NOMBRES RÉELS1. L"ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELSQ31p2 •1 2πNous allons prouver que
p2 n"est pas un nombre rationnel.Proposition 2.
p2/∈QDémonstration.Par l"absurde supposons quep2soit un nombre rationnel. Alors il existe des entiersp∈Z
etq∈N∗tels quep2=pq, de plus -ce sera important pour la suite- on suppose quepetqsont premiers
entre eux (c"est-à-dire que la fractionpq est sous une écriture irréductible).En élevant au carré, l"égalitép2=pqdevient2q2=p2. Cette dernière égalité est une égalité d"entiers.
L"entier de gauche est pair, donc on en déduit quep2est pair; en terme de divisibilité 2 divisep2.
Mais si2divisep2alors2divisep(cela se prouve par facilement l"absurde). Donc il existe un entierp′∈Z
tel quep=2p′.Repartons de l"égalité2q2=p2et remplaçonsppar2p′. Cela donne2q2=4p′2. Doncq2=2p′2. Maintenant
cela entraîne que 2 diviseq2et comme avant alors 2 diviseq.Nous avons prouvé que2divise à la foispetq. Cela rentre en contradiction avec le fait quepetqsont
premiers entre eux. Notre hypothèse de départ est donc fausse :p2 n"est pas un nombre rationnel.
Comme ce résultat est important en voici une deuxième démonstration, assez différente, mais toujours par
l"absurde. Autre démonstration.Par l"absurde, supposonsp2=pq , doncqp2=p∈N. Considérons l"ensembleN=n∈N∗|np2∈N.
Cet ensemble n"est pas vide car on vient de voir queqp2=p∈Ndoncq∈ N. AinsiNest une partie non
vide deN, elle admet donc un plus petit élémentn0=minN.Posons
n1=n0p2-n0=n0(p2-1),
il découle de cette dernière égalité et de 1On représente souvent les nombres réels sur une " droite numérique » :-3-2-1012345πep2
LES NOMBRES RÉELS2. PROPRIÉTÉS DER4Il est bon de connaître les premières décimales de certains réelsp2≃1,4142...π≃3,14159265...
e≃2,718...Il est souvent pratique de rajouter les deux extrémités à la droite numérique.Définition 1.