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Exercice 4 :

La vitesse moyenne d"un cycliste est de 30 km.h-1 sur un parcours aller de 60 km. Au retour, la vitesse moyenne de ce même cycliste est de 20 km.h -1 .

1) Quelle est la durée du trajet aller ?

2) Quelle est la durée du trajet retour ?

3) Quelle a été la vitesse moyenne du cycliste sur le trajet aller-retour ?

Solution :

1) Durée du trajet aller :

) h ( 2 30 60 v
d t=== La distance est exprimée en heures, la vitesse en km/h , donc la durée est exprimée en h.

La durée du trajet aller est de 2 heures.

2) Durée du trajet retour :

) h ( 3 20 60 v
d t=== La distance est exprimée en heures, la vitesse en km/h , donc la durée est exprimée en h.

La durée du trajet retour est de 3 heures.

3) Vitesse moyenne du cycliste sur le trajet aller-retour :

Le trajet aller-retour est de 120 km ( 2

´ 60 km )

La durée totale du trajet aller-retour est de

2 + 3 = 5 ( h )

THEME :

VITESSE

UTILISATION DES FORMULES 2

La vitesse moyenne sur ce trajet est donc :

) km/h ( 24 5

120 t

d v=== La vitesse moyenne sur le trajet aller-retour est de 24 km/h.

Nous pouvons constater, de nouveau, que la vitesse moyenne n"est pas égale à la moyenne des vitesse ( 25

km/h )

Exercice 5 :

Pour son entraînement en montagne, un cycliste professionnel décide de monter un col. Il effectue la montée de 12 km à la vitesse de 15 km.h -1 . Il redescend le col par le même chemin à la vitesse de 60 km.h -1.

1) Sachant qu"il est parti à 11 h du pied du col, à quelle heure le cycliste se retrouve-t-il à son

point de départ ?

2) Quelle a été sa vitesse moyenne sur l"ensemble du trajet ?

Solution :

a) Heure du retour du cycliste : ? Durée de la montée : Le cycliste parcourt 12 km à la vitesse de 15 km/h. La durée de ce parcours est donc : h 0,8 encore ou ) h (5 4 53

4 3 15

12 v d t1=´´=== ? Durée de la descente : Le cycliste parcourt 12 km à la vitesse de 60 km/h. La durée de ce parcours est donc : h 0,2 encore ou ) h (5

1 512

1 12 60

12 v d t2=´´=== ? Durée de l"aller-retour : t = t

1 + t2 = 5

1 5

4+ = 5

5 = 1 ( h ) ( ou 0,8 + 0,2 = 1 h )

? Heure d"arrivée : Le cycliste est parti à 11 h. Il reviendra donc à 11 + 1 , soit 12 h ( midi ) b) Vitesse moyenne sur l"ensemble du trajet : Le cycliste a parcouru 12 + 12 , soit 24 km en 1 heure .

Sa vitesse moyenne est donc

( La formule est-elle ici utile ? 24 km en 1 heure. Sa vitesse est donc de 24 km/h ) ) km/h ( 24 1 24 t
d v=== v = 24 km/h

Exercice 6 :

L"automobiliste ( Amiens 1997 )

Un automobiliste roule 15 min à la vitesse de 80 kilomètres par heure, puis 1 heure et 45 minutes à la vitesse de 120 kilomètres par heure.

1) Vérifier par le calcul qu"il parcourt une distance totale de 230 km.

2) Calculer la vitesse moyenne sur cette distance.

Solution :

a) Distance parcourue :

? Distance 1dparcourue pendant la première partie du trajet ( vitesse : 80 km/h et durée : 15 min ) :

Convertissons 15 minutes en heure décimale . Nous avons : h4

1h 4 15

1 15 h 60

15 h 60

1 15 min 15=´´==´= ( ou 0,25 h ) ( 15 min : un quart d"heure ! )

La distance

1d parcourue est donc :

) km ( 20 4

80 4

1 80 t v d1==´=´=

? Distance 2dparcourue pendant la deuxième partie du trajet (vitesse : 120 km/h et durée : 1 h 45 min

Convertissons 1 h 45 min en heure décimale . Nous avons :

1 h 45 min = 105 min =

h 4

7 h 45

75 h 203

353 h60

105h 60

1 105=´/´/=´/´/==´ ( ou 1,75 h )

La distance 2d parcourue est donc :

) km ( 210 4

730 4 4

7120 4

7 120 t v d2=´´/=´=´=´=

? Distance totale : d =

1d + 2d = 20 + 210 = 230 ( km )

L"automobiliste parcourt une distance totale de 230 km.

2) Vitesse moyenne sur cette distance :

L"automobiliste parcourt 230 km pendant 2 heures ( 15 min + 1 h 45 min ). La vitesse est donc : ) km/h ( 115 2

230 t

d v=== v = 115 ( km/h )

Exercice 7 :

Un automobiliste et un motard font le même trajet de 80 km. Le premier met 1 h 20 min et le second une demi-heure de moins.

1) Quelle est la vitesse moyenne de l"automobiliste? du motard ?

2) Représenter graphiquement le trajet de l"automobiliste et du motard en fonction de la durée

du parcours.

3) Préciser, en vous servant du graphique :

a) Combien de kilomètres l"automobiliste doit-il encore parcourir lorsque le motard arrive ? b) Combien de temps après le motard l"automobiliste passera-t-il à mi-parcours ?

Solution :

1) Vitesse moyenne de l"automobiliste et du motard :

? Vitesse moyenne de l"automobiliste :

L"automobiliste parcourt 80 km en 1 h 20 min.

Convertissons cette durée en heure décimale.

1 h 20 min = 60 min + 20 min = 80 min

h 3 4 h 6

8 h 60

80 h 60

1 80 min 80===´=

Sa vitesse est donc :

) km/h ( 60 4320 4 43 80 43 80 3 4

80 td v=´´=´=´===

? Vitesse moyenne du motard : Le motard parcourt 80 km en 50 min ( 1 h 20 min - 30 min = 50 min ) Convertissons cette durée en heure décimale. h 6

5 h 60

50 h 60

1 50 min 50==´=

Sa vitesse est donc :

) km/h ( 96 5616 5 56 80 56 80 6 5

80 td v=´´=´=´===

2) Représentation graphique du trajet de l"automobiliste et du motard en fonction de la durée

du parcours :

3)a) Nombre de kilomètres que l"automobiliste doit encore parcourir lorsque le motard arrive :

Le motard arrive au bout de 50 minutes.

Traçons une droite parallèle à l"axe des ordonnées ( droite " verticale » ) passant par le point d"abscisse

50 ( min ) .

Elle coupe la droite représentant le trajet de l"automobiliste. En traçant une droite passant par ce point

et parallèle à l"axe des ordonnées ( droite " horizontale » ), nous constatons que l"automobiliste aura

parcouru , à ce moment, 50 km. Par conséquent, le nombre de kilomètres que l"automobiliste doit encore parcourir est :

80 - 50 =

30 ( km )

Remarque : Et par le calcul ?

Le résultat que nous venons de déterminer, n"est qu"une estimation, une approximation. Le dessin

comporte, comme tout graphique, des erreurs de tracés, des imprécisions .

Le motard est arrivé au bout de 50 minutes. Déterminons la distance parcourue par l"automobiliste

pendant ces 50 minutes ( ou ces 60

50 d"heure(s) ):

La vitesse de l"automobiliste est de 60 km/h ( cf. question précédente ) ) km ( 50 60

50 60 60

50 60 t v d=´=´=´=

Il reste donc à l"automobiliste à parcourir :

80 - 50 =

30 ( km )

b) Combien de temps après le motard l"automobiliste passera-t-il à mi-parcours ? A mi-parcours signifie ici à 40 km ( la moitié de 80 km )

D"après la graphique, le motard sera à mi-parcours au bout de 25 minutes et l"automobiliste, moins

rapide, sera à mi-parcours au bout de 40 minutes . L"automobiliste passera donc à mi-parcours 40 - 25, soit

15 minutes après le motard.

Au bout de 50 minutes, le motard a

parcouru 80 km, tandis que l"automobiliste a parcouru ... 50 km .

Remarque : Et par le calcul ?

Cas du motard :

Le parcours total de 80 km lui demande 50 minutes. Donc, à vitesse constante, il sera à mi parcours au

bout de : 2

50 = 25 ( min )

Cas de l"automobiliste :

Le parcours total de 80 km lui demande 80 minutes. Donc, à vitesse constante, il sera à mi parcours au

bout de : 2

80 = 40 ( min )

L"automobiliste passera donc à mi-parcours 40 - 25, soit 15 minutes après le motard.

Exercice 8 :

Deux piétons partent à midi de deux points A et B distants de 5 km. Ils vont dans le même sens.

Celui qui part de A à une vitesse uniforme de 4 km/h , celui qui part de B a une vitesse uniforme de 2 km/h. a)Représenter graphiquement le mouvement de ces deux personnages. b)Quelle sera , d"après le graphique, l"heure de rencontre des deux piétons ? c)Déterminer graphiquement la distance qui sépare les piétons à 13 h 30 min .

Solution :

a)Représentation graphique du mouvement des deux personnages :

Piéton partant de A :

Temps ( en heures ) 0 1 2 3 4

Distance parcourue ( en km ) 0 4 8 12 16

La représentation graphique est une droite passant par l"origine ( la distance parcourue étant proportionnelle à la durée ) En reportant sur le graphique les points obtenus à partir du tableau, nous obtenons :

Piéton partant de B :

Temps ( en heures ) 0 1 2 3 4

A partir de B

Distance parcourue ( en km ) 0 2 4 6 8

A partir de A

Distance parcourue ( en km ) 5 7 9 11 13

En reportant sur le graphique les points obtenus à partir du tableau, nous obtenons : b) Heure de rencontre des deux piétons :

Pour déterminer l"heure de rencontre de ces deux piétons , il suffit , à partir du point d"intersection des

deux droites, de tracer une droite parallèle à l"axe des ordonnées ( droite " verticale » ) et de lire , sur

l"axe des abscisse, la durée.

D"après le graphique, les deux piétons se rencontreraient au bout de 2 h 30 min , c"est à dire, puisqu"ils

sont partis à midi,

à 14 h 30 min .

Remarque : Et par le calcul ?

Piéton partant de A :

Temps ( en heures ) 0 1 2 3 4 t

Distance parcourue ( en km ) 0 4 8 12 16 t 4´ soit 4 t Donc , la distance d parcourue par le piéton A , en fonction du temps t, est d = 4 t

Piéton partant de B :

Temps ( en heures ) 0 1 2 3 4 t

A partir de B

Distance parcourue ( en km ) 0 2 4 6 8 t 2´

A partir de A

Distance parcourue ( en km ) 5 7 9 11 13 2 t + 5 Donc , la distance d séparant le piéton B du point A , en fonction du temps t, est d = 2 t + 5

Les deux piétons se rencontreront lorsqu"ils leurs distances par rapport au point A seront identiques

Nous avons donc :

4 t = 2 t + 5

Soit 4 t - 2 t = 5

Ce qui donne 2 t = 5 , soit t =

2

5 = 2,5 h , soit 2 h 30 min

Point d"intersection des deux représentations

graphiques . En abscisse, nous pouvons lire la durée ( 2,5 h , soit 2 h 30 min ) et en ordonnées , nous pouvons lire la distance séparant le lieu de rencontre du point A , soit 10 km . c) Détermination graphique de la distance séparant les piétons à 13 h 30 min :

Les deux piétons sont partis à midi, donc 13 h 30 min correspond sur notre graphique à 1 h min , soit 1,5

h . La distance séparant les deux piétons à 13 h 30 min est de 8 - 6 , soit 2 km.

Remarque : Et par le calcul ?

La distance d parcourue par le piéton A , en fonction du temps t, est d = 4 t A 13 h 30 min , c"est à dire lorsque t = 1 ,5 , nous avons : d =

1,5 4´ = 6 ( km )

La distance d séparant le piéton B du point A , en fonction du temps t, est d = 2 t + 5 A 13 h 30 min , c"est à dire lorsque t = 1 ,5 , nous avons : d =

5 1,5 2+´ = 3 + 5 = 8 ( km )

La distance séparant les deux piétons à 13 h 30 min est de 8 - 6 , soit 2 km. 1,5 h

Au bout de 1,5 h, le piéton A a parcouru 6 km

Au bout de 1,5 h, le piéton B se trouve à une distance de 8 km de Aquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42