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Terminale S Spécialité Cours : PGCD - Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. 1 A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : ŃRQQMvPUH O·LGHQPLPp HP OH POpRUqPH GH %p]RXPB savoir calculer les coefficients de Bézout par " descente » RX SMU UHPRQPpH GH O·MOJRULPOPH G·(XŃOLGHB connaître le théorème de Gauss et ses conséquences. savoir résoudre les équations diophantiennes du type : ax + by = c. savoir obtenir et reconnaître une fraction irréductible (en particulier lorsque le numérateur et le dénominateur sont

IRQŃPLRQV G·XQ HQPLHU QMPXUHO Q.

I. Plus grand diviseur commun de deux entiers

a) PGCD de deux entiers naturels Définition : Soit a et b GHX[ HQPLHUV QMPXUHOV QRQ QXOV MYHŃ M • NB Un entier naturel qui divise à la fois a et b est appelé diviseur commun à a et b. I·HQVHPNOH GHV GLYLVHXUV ŃRPPXQV j M HP N SRVVqGH XQ SOXV JUMQG pOpPHQP TXH O·RQ QRPPH OH plus grand diviseur commun de a et b.

On le note PGCD(a ;b).

b) $OJRULPOPH G·(XŃOLGH IHPPH G·(XŃOLGH : Soit a, b, q et r des entiers naturels.

Si a = bq + r alors PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).

Démonstration

Si d est un diviseur commun à a et b alors il divise aussi a et bq.

Il divise donc aussi r = a ² bq

Donc d est un diviseur commun à b et r.

6L G· HVP XQ GLYLVHXU ŃRPPXQ j N HP U MORUV LO GLYLVH MXVVL NT HP UB

Il divise donc aussi a = bq + r

Donc G· HVP XQ GLYLVHXU ŃRPPXQ j M HP NB

Conclusion : I·HQVHPNOH GHV GLYLVHXUV ŃRPPXQV j M HP N HP O·HQVHPNOH GHV GLYLVHXUV ŃRPPXQV j N HP U RQP

les mêmes éléments et donc le même plus grand élément.

On a donc bien PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).

Propriété : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, avec a • NB On définit la suite (rn G·HQPLHUV QMPXUHOV GH OM IMoRQ VXLYMQPH : r0 = b ; r1 est le reste de la division euclidienne de a par b ;

3RXU Q • 1 : si rn = 0, alors rn+1 = 0 ;

On a alors rp = PGCD(a ;b) ;

Démonstration

IM GLYLVLRQ HXŃOLGLHQQH GH M SMU N V·pŃULP M NT1 + r1 MYHŃ 0 " U1 < b. Si b|a, alors r1 0 HP GRQŃ OH SURŃHVVXV V·MUUrPH MYHŃ S 0B Si b ne divise pas a, la division euclidienne de b par r1 s·pŃULP : b = r1q2 + r2 MYHŃ 0 " U2 < r1 Si r2 0 OH SURŃHVVXV V·MUUrPH MYHŃ S 1B Terminale S Spécialité Cours : PGCD - Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. 2 La suite (rn) HVP GRQŃ XQH VXLPH G·HQPLHUV QMPXUHOV VPULŃPHPHQP GpŃURLVVMQPHB De plus, rn+1 < rn Î rn+1 rn ² 1 et rn " Un-1 ² 1 Î rn+1 " Un-1 ² 2

Par suite, rn+1 " Un-2 ² 3

Montrons, par récurrence, que rn+1 " b ² (n + 1). Soit Pn la proposition : pour tout n entier naturel, rn+1 " N quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39