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Chapitre 4. Les modèles de transport

1. Structure d'un fichier : Un exemple

On utilisera un exemple tiré de La recherche opérationnelle, 3 e

édition de Nobert, Ouellet et

Parent. Le problème retenu, " Sporcau », est décrit dans la section 7.4.1, à partir de la page 358.

Les données relatives au problème de Sporcau peuvent être regroupées sous forme d'un tableau de

transport. La figure 4-1 présente le tableau de transport de Sporcau tel qu'illustré à la page 360 du

livre. C1 C 2 C

3 C

4 C 5 S i

1 8 1 5 4

L 1 240

5 5 3 6 7

L

2 160

2 9 5 9 8

L 3 260
D j

120 130 145 125 140 660

Figure 4-1 Tableau de transport associé au problème de Sporcau

Résoudre ce problème de transport consiste à trouver un plan d'acheminement à coût minimal des

laboratoires-origines Li aux centres-destinations C j

Convenons qu'existe déjà un fichier

EXCEL nommé SporcauT.xls décrivant le modèle. On

indiquera en section 4.3 comment créer un tel fichier. Indiquons pour l'instant comment résoudre

le problème de Sporcau à l'aide du solveur d' EXCEL.

Éléments de la feuille de calcul

La figure 4-2 présente les éléments de la feuille de calcul associée au problème de Sporcau. La

feuille de calcul comprend deux tableaux. Le 1 er donne les paramètres du modèle de transport: les

coûts unitaires de transport, la capacité de chaque laboratoire-origine et la demande de chaque

centre-destination. Le 2e tableau contient les valeurs des variables de décision une fois le modèle résolu à l'aide du solveur. Août 2002 Chapitre 4. Les modèles de transport Page 4.2 Figure 4-2 La feuille de calcul associée au problème de Sporcau

Tableau des coûts unitaires de transport

Dans la colonne Usine, les lignes L1, L2 et L3 correspondent aux laboratoires-origines qui jouent ici le rôle des usines. Dans la colonne Entrepôt, les colonnes C1, C2, C3, C4 et C5 correspondent aux centres- destinations qui jouent ici le rôle des entrepôts. Le coût unitaire de transport de chaque couple origine-destination occupe la cellule correspondante. Par exemple, il en coûte 3 centaines de dollars pour transporter une tonne de produits de L 2

à C

3 . Dans le présent exemple, il est possible d'expédier de tout laboratoire- origine à tout centre-destination. Lorsque ce n'est pas le cas, on peut entrer dans les cellules

concernées un coût unitaire très élevé M, lequel équivaut en pratique à un coût unitaire infini.

Dans la colonne Capacité, on retrouve les quantités disponibles à chaque laboratoire-origine

L1, L2 et L3.

La ligne Demande contient les demandes à satisfaire par les centres-destinations C1, C2, C3,

C4 et C5.

On présume que le modèle est équilibré, une rangée ayant été ajoutée si nécessaire pour le rendre

équilibré.

Août 2002 Chapitre 4. Les modèles de transport Page 4.3

Tableau des valeurs des variables de décision

La partie centrale du 2

e tableau donne les valeurs des variables de décision dans la dernière solution calculée par le solveur. Dans les marges de ce tableau, on retrouve les membres gauches des contraintes du modèle de transport :

dans la colonne Quantité expédiée, le nombre total d'unités expédiées à partir de chaque

laboratoire-origine est calculé ;

dans la ligne Qté reçue, le nombre total d'unités reçues dans chaque centre-destination est

calculé. On indiquera en section 4.3 comment calculer ces membres gauches des contraintes à l'aide de formules.

2. Résolution d'un fichier pré-existant

La résolution par

EXCEL d'un modèle linéaire comprend deux étapes. La première consiste à créer un fichier EXCEL qui traduise le modèle : il s'agit d'entrer toutes les données numériques

pertinentes, puis de relier ces données à l'aide de formules de calcul (qui seront décrites en section

4.3). La deuxième étape consiste à utiliser l'outil "solveur» pour obtenir une solution optimale.

Considérons à titre d'exemple le fichier SporcauT.xls illustré à la figure 4-2. Toute les données et

formules pertinentes ont déjà été entrées dans le fichier. La 1 re des 2 étapes mentionnées ci-dessus est donc automatiquement complétée. Pour la 2 e étape, il faut lancer le solveur : cliquer sur le menu O utils, puis sur la commande Solveur... de ce menu. La boîte "Paramètres du solveur»

affichée devrait ressembler à celle de la figure 4-3 et fournir 4 types d'informations : la cellule à

optimiser, le sens de l'optimisation, la plage des variables de décision, les contraintes associées

aux arcs et aux sommets. Figure 4-3 La boîte de dialogue "Paramètres du solveur» pour les modèles de transport Août 2002 Chapitre 4. Les modèles de transport Page 4.4

Les paramètres du solveur

L'adresse de la cellule contenant la valeur à optimiser doit apparaître dans la zone de texte Cellule

cible à définir. Dans le fichier SporcauT.xls utilisé ici à titre d'exemple, nous avons choisi

d'entrer un nom 1 de cellule, plutôt qu'une adresse : le nom z réfère ici à la cellule G4, qui contient la valeur de la fonction-objectif z. Nous avons coché l'option Min , car dans ce modèle de transport il s'agit de minimiser le coût total z. Le 3 e

élément d'information exigé par le solveur est la liste des cellules où seront conservées les

valeurs des variables de décision. Cette liste sera placée dans la zone Cellules variab les. Cette fois encore, nous avons choisi d'entrer un nom x, qui correspond à la plage B22:F24. Le 4 e et dernier élément d'information exigé par le solveur est une description des contraintes

technologiques du modèle linéaire associé au modèle de transport. Il y aura toujours deux

groupes de contraintes spécifiées dans la zone de texte C ontraintes, qui exigeront respectivement

que la quantité reçue par chaque centre-destination soit égale à sa demande et que la quantité

expédiée par chaque laboratoire-origine soit égale à sa capacité. Les adresses des noms utilisés

seront précisées à la section 4.3.

Note. Dans tous les fichiers du site qui sont associés à des problèmes de transport, certaines des options

par défaut du solveur d'E XCEL ont été modifiées. La liste de ces changements est donnée dans la section suivante, à la sous-section " Les options du solveur ».

Calcul d'une solution optimale

Pour résoudre le modèle linéaire associé au problème de transport, cliquer sur le bouton Résoud

re

de la boîte de dialogue " Paramètres du solveur ». Lorsque le solveur a trouvé une solution

optimale, la boîte " Résultat du solveur » apparaît telle qu'illustrée à la figure 4-4. L'option

G

arder la solution du solveur étant cochée par défaut, on obtient en cliquant sur OK la feuille de

calcul présentée à la figure 4-5. Figure 4-4 La boîte de dialogue " Résultat du solveur » 1

La procédure pour attribuer un nom à une cellule ou à une plage de cellules est décrite à la section 4 du chapitre 1.

Août 2002 Chapitre 4. Les modèles de transport Page 4.5 Figure 4-5 La feuille de calcul avec une solution optimale

3. Saisie des données

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