4 sept 2017 · Outils Mathématiques 1 - L1 PCGS Frédéric Touzet (Polycopié rédigé par Max Bauer) Université Rennes 1, UFR Mathématiques Bât 23
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4 sept 2017 · Outils Mathématiques 1 - L1 PCGS Frédéric Touzet (Polycopié rédigé par Max Bauer) Université Rennes 1, UFR Mathématiques Bât 23
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Outils Mathématiques 1 - L1 PCGS
Frédéric Touzet (Polycopié rédigé par Max Bauer)Université Rennes 1, UFR Mathématiques
Bât. 23, bureau 834
frederic.touzet@univ-rennes1.fr4/9/2017
UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 0 / 329
Deux contrôles continus (1h00) et un examen terminal (2h00). CC 1 prévu le vendredi 27/10/2017, 15h30-16h30, salle d"examen, Bât.27.CC 2 prévu le vendredi 01/12/2017, 14h00-15h00, salle d"examen, Bât.27.Si vous voulez l"imprimer, vous pouvez imprimer 6 diapos sur une même page, ou même 9 diapos, mais alors en orientation " paysage »UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 1 / 329
Chap 1. Fonctions numériques
1Chap 1. Fonctions numériques
2Chap 2. Fonctions trigonométriques
3Chap 3. Les nombres complexes
4Chap 4. Polynômes et fractions rationnelles
5Chap 5. Calcul de primitives
6Chap 6. Équations différentielles du premier ordre
7Chap 7. Équations différentielles du second ordre
UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 2 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations
1Chap 1. Fonctions numériques
1.1. Notations
1.2. Symétrie
1.3. Asymptotes
1.4. Logarithme, exponentielle, puissance
1.5. Continuité
1.6. Dérivabilité
1.7. Extremum
Théorème des acroissements finis (complément)1.8. Fonctions monotones
1.9. La règle de l"Hospital
1.10. Convexité
1.11. Plan détude d"une fonction
UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 3 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations
Notations de la théorie des ensembles
Nous utiliserons les symboles suivants :Symboles ensemblistessiEest un ensemble,x2Ese lit : "xappartient àE".siEetFsont deux ensembles,FEse lit : "Fest inclus dansE"./0: ensemble vide.\: intersection et[: réunion.Connecteurs binaires
siPetQsont deux assertions, l"assertionP=)Qse lit : "PimpliqueQ».etP()Qse lit : "Péquivalente àQ».Quantificateurs
8x2Ese lit : " Pour toutxappartenant àE».9x2Ese lit : " Il existexappartenant àE».Attention!
Ne pas confondre=)et(). Par exemple : il est vrai que x=1=)x2=1 mais il est faux quex=1()x2=1UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 4 / 329Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations
Définition d"une fonction numérique
Définition 1.1
Une f onctionn umérique d"une v ariableréelle de domaine de définition XR,à valeurs dans un
ensemb led"arr ivéeYR, est un procédé qui à tout nombre réelx2X, associe un nombref(x)2Y: f:X!Yx7!f(x)L"élémentf(x)est appelé l"imagede xparf, ou encorela v aleurde fenx.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 5 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations
Exemple
En pratique, on se donne souvent une fonction par une formule, et l"ensemble de définition est laissé à déterminer, comme étant le plus grand ensemble sur lequel la formule donnée a un sens.Exemple 1.2Déterminer le domaine de définition de
f(x) =1p4x2:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 6 / 329Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations
Solution
On a les contraintes
p4x26=0 4x20 La première contrainte nous impose d"exclure 4x2=0, ssi 4=x2ssi x=2. La deuxième contrainte est est équivalente àx24 ssijxj 2 ssix2[2;2]. Le domaine de définition est l"ensemble desxqui vérifie les deux contraintes, donc]2;2[.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 7 / 329Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations
Antécédent, image
Définition 1.3 (Image)
L"image
d"une application f:X7!Yest l"ensemble des valeurs prises parf: ff(x)jx2Xg:On peut aussi dire que l"image est l"ensemble desydansYqui ont un antécédentxdansX: fy2Yj 9x2X;y=f(x)g:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 8 / 329Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations
Visualisation des antécédents d"uny.x2x1yyest l"image dex1mais aussi dex2.Les antécédents deysontx1etx2.Domaine de définition : en bleue. Image de f : en rouge.
UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 9 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.1. Notations
Exemples
Exemple 1.4
Image dex7!x2,x2R.Image dex7!x3,x2R.Image dex7!sin(x),x2R.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 10 / 329Chap 1. Fonctions numériques1.2. Symétrie
1Chap 1. Fonctions numériques
1.1. Notations
1.2. Symétrie
1.3. Asymptotes
1.4. Logarithme, exponentielle, puissance
1.5. Continuité
1.6. Dérivabilité
1.7. Extremum
Théorème des acroissements finis (complément)1.8. Fonctions monotones
1.9. La règle de l"Hospital
1.10. Convexité
1.11. Plan détude d"une fonction
UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 11 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.2. Symétrie
Symétrie
On dit qu"une fonctionfestpaire si on a f(x) =f(x), pour toutxdudomaine de définition.Le graphe (la courbe représentative) d"une fonction paire est symétrique
par rapport à l"axeOy.On dit qu"une fonctionfestimpai resi on a f(x) =f(x), pour toutxdudomaine de définition.Le graphe d"une fonction impaire est symétrique par rapport à l"origine du
plan.Pour vérifier qu"une fonction est paire ou impaire, on part def(x)que l"on essaie de simplifier pour retrouverf(x).Exemple 1.5 g(x) =x2,h(x) =x3,...h(x) =ex+ex:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 12 / 329Chap 1. Fonctions numériques1.2. Symétrie
Domaine d"étude
Exemple 1.6
Montrer que la période de la fonctionx7!tan(x) =sin(x)cos(x)estp.La symétrie, périodicité d"une fonction permet de limiter le domaine d"étude.
Pour l"exemple précédent, on peut prendre]p2 ;p2 [comme domaine détude.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 13 / 329Chap 1. Fonctions numériques1.2. Symétrie
Périodicité (complément)
Voici une définition formelle de la periodicité :Définition 1.7 On dit quefestpér iodiquede pér iodeT>0 si8x2X;x+T2Xet f(x+T) =f(x).On dit queT0estla pér iodede f, siT0est le plus petit nombreT>0 pour lequelfest périodique de périodeT.Interprétation graphique La fonctionfest périodique si son graphe est préservé par une translation de vecteur horizontal(T;0).UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 14 / 329Chap 1. Fonctions numériques1.3. Asymptotes
1Chap 1. Fonctions numériques
1.1. Notations
1.2. Symétrie
1.3. Asymptotes
1.4. Logarithme, exponentielle, puissance
1.5. Continuité
1.6. Dérivabilité
1.7. Extremum
Théorème des acroissements finis (complément)1.8. Fonctions monotones
1.9. La règle de l"Hospital
1.10. Convexité
1.11. Plan détude d"une fonction
UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 15 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.3. Asymptotes
Asymptote verticale, horizontale
On ne donne pas la définition de limite (finie ou infinie) d"une fonction lorsque xtend vers une valeur finie ou infinie. De même pour la notion de limite àgauche et à droite.Pour simplifier l"écriture,¥désigne soit+¥, soit¥.Définition 1.8
On dit que le graphe d"une fonctionfadmet uneasymptote v erticaleen a si limx!a+f(x) =¥, ou limx!af(x) =¥.On dit que le graphe admet uneasymptote hor izontaled"équation y=b
en¥si limx!¥f(x) =b.Exemple 1.9 f:x7!2x+3x5:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 16 / 329Chap 1. Fonctions numériques1.3. Asymptotes
Solution
Le graphe defadmet la droite d"équationx=5 pour asymptote verticale, et la droite d"équationy=2 pour asymptote horizontale.-551015 -20-101020 2x+3 x¡5y=2UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 17 / 329Chap 1. Fonctions numériques1.3. Asymptotes
Asymptote oblique
Définition 1.10
Sif(x)(ax+b)tend vers 0 lorsquextend vers¥, on dit que la droited"équationy=ax+bestasymptote ob liqueen ¥.Poura=0 on retrouve la définition d"asymptote hoizontale.Proposition 1.11
y=ax+best asymptote oblique en+¥si et seulement si lim x!+¥f(x)x =aet limx!+¥(f(x)ax) =bExemple 1.12 f:x7!3x2+xx+1:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 18 / 329Chap 1. Fonctions numériques1.3. Asymptotes
Solution
On a lim x!+¥f(x)x =3;et limx!+¥(f(x)3x) =2; donc la droite d"équationy=3x2 est asymptote en+¥.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 19 / 329Chap 1. Fonctions numériques1.3. Asymptotes
Solution-3-2-11234
-15-10-5510 3x2+x x+1y=3x¡2y=3x¡2UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 20 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance1Chap 1. Fonctions numériques
1.1. Notations
1.2. Symétrie
1.3. Asymptotes
1.4. Logarithme, exponentielle, puissance
1.5. Continuité
1.6. Dérivabilité
1.7. Extremum
Théorème des acroissements finis (complément)1.8. Fonctions monotones
1.9. La règle de l"Hospital
1.10. Convexité
1.11. Plan détude d"une fonction
UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 21 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissanceRelations importantes du ln
On ne donne pas de définition formelle des fonctions logarithme et exponentielle. On se restreint à quelques propriétés importantes.Proposition 1.13Pour toutx;y>0 on a
ln(xy) =ln(x)+ln(y)ln(1x ) =ln(x) ln(xy ) =ln(x)ln(y)ln(xa) =aln(x);8a2Q:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 22 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissanceReprésentation graphique du ln246810
x-4-3-2-112 yy=ln(x)UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 23 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissanceLimites importantes du ln
Exemple 1.14
Montrer que la fonction
f(x) =ln(x+p1+x2) vérifief(x)+f(x) =0. En déduire une symétrie de la courbe def.Proposition 1.15 lim x!+¥ln(x) = +¥limx!0+ln(x) =¥: lim x!0ln(1+x)x =1 lim x!+¥lnxx =0 lim x!0+xlnx=0UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 24 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissanceSolution de l"exemple
f(x)+f(x) =ln(x+p1+x2)+ln(x+p1+x2) =ln (p1+x2+x)(p1+x2x) =ln(1+x2)x2=ln(1) =0 On déduit quef(x) =f(x), doncfest impaire. La courbe defpossède donc une symétrie centrale par rapport à l"origine.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 25 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance Démonstration de la proposition (complément) (1) Soientn2Netx3n. Alors ln(x)ln(3n) =nln(3)et donc ln(x)n (car ln(3)>1) d"où limx!+¥ln(x) = +¥. (2) En posanty=1=xon déduit : lim x!0+ln(x) =limy!+¥ln(1y ) =limy!+¥ln(y) =limy!+¥ln(y)(1)=¥ (3) De l"Hospital : lim x!0ln(1+x)x =limx!011+x1 =limx!011+x=1Variante :Soitf(x) =ln(1+x). On a
ln(1+x)x =ln(1+x)ln(1)x0=f(x)f(0)x0!f0(0) =1:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 26 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissanceDémonstration (suite)
(4) De l"Hospital (exercice). Variante :Un tableau des variations montre quef(x) =ln(x)px. est croissante sur]0;4]et décroissante sur[4;+¥[. D"où8x>0,f(x)f(4)0, c.à.d. ln(x)px. On déduit que8x>0,lnxx px x =1px . On a donc :8x>1, 0lnxx
1px (5) Il suffit de posery=1=xet d"utiliser (4).UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 27 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissancePropriétés de la fonction exponentielle
Proposition 1.16
e x+y=exeyex=1e x e xy=exe y(ex)y=exyProposition 1.17 lim x!¥ex=0 limx!+¥ex= +¥Proposition 1.18 e lnx=x8x>0 ln(ex) =x8x2RUFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 28 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance Représentation graphique de la fonction exponentielle -3-2-1123 x5101520 yy=exUFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 29 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissanceDéfinition de la fonction puissance
On sait comment définirxn, pourn2N.Par exemple, x3=xxx:Mais comment définir par exemplexp?Une façon de le faire est de constater qu"on a, pourn2N,
xn=exp(ln(xn)) =exp(nln(x)):Notons que l"expression de droite est définie si on remplacenpar un nombre
réela.l"idée est alors dedéfinir xaen utilisant cette relation :Définition 1.19 Pour tout réela, on appellef onctionpuissance ala fonctionx7!xadéfinie sur]0;+¥[par x a=ealnx:UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 30 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissancePropriétés de la fonction puissance
Proposition 1.20
x a+b=xaxbxa=1x a x ab=xax b(xa)b=xabUFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 31 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.4. Logarithme, exponentielle, puissance Croissance comparée des fonctions logarithme, exponentielle et puissanceOn va faire plus loin une étude de la fonction puissance.Théorème 1.21 (Croissance comparée)
8a;b>0;limx!+¥(lnx)bx
a=0:8a>0;limx!+¥x
ae x=08a>0;limx!0xalnx=0UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 32 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.5. Continuité
1Chap 1. Fonctions numériques
1.1. Notations
1.2. Symétrie
1.3. Asymptotes
1.4. Logarithme, exponentielle, puissance
1.5. Continuité
1.6. Dérivabilité
1.7. Extremum
Théorème des acroissements finis (complément)1.8. Fonctions monotones
1.9. La règle de l"Hospital
1.10. Convexité
1.11. Plan détude d"une fonction
UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 33 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.5. Continuité
Continuité
Définition 1.22
fest ditecontin ueen a2Dfsif(a) =limx!af(x):fest ditecontin uesi elle est contin ueen tout point de Df.Une fonction définie sur un intervalle est continue si on peut tracer son graphe
sans soulever le stylo. Autrement dit, son graphe n"a pas de " trous ».Les fonctions " classiques » sont continues sur leur domaine de définition :
polynomes, fractions rationnelles, sin, cos, tan, exp, ln, kp, e.t.c.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 34 / 329Chap 1. Fonctions numériques1.5. Continuité
Exemples d"une fonction qui n"est pas continue
Exemple 1.23
La fonctionfdéfinie surRpar
f(x) =(1;six0
1;six<0
n"est pas contin ueen 0. Elle a un " saut » en 0 .-3-2-1123 -1-0.50.51UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 35 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.5. Continuité
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème 1.24 (des valeurs intermédiaires)Soit f
contin ue sur un inter valle[a;b].Si y est compris entre f(a)et f(b), alors il existe c2[a;b]tel que y=f(c).xyacbf(a)yf(b)UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 36 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.5. Continuité
L"image d"un intervalle
Remarque 1.25
Lecdu théorème des valeurs intermédiares n"est pas unique en général.Sifest strictement monotone, alorscest unique.Proposition 1.26
L"image d"un intervalle par une fonction continue est un intervalle.Exemple 1.27
L"équation 3x32x2x=1 admet une solution dans l"intervalle]1;0[.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 37 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.6. Dérivabilité1Chap 1. Fonctions numériques
1.1. Notations
1.2. Symétrie
1.3. Asymptotes
1.4. Logarithme, exponentielle, puissance
1.5. Continuité
1.6. Dérivabilité
1.7. Extremum
Théorème des acroissements finis (complément)1.8. Fonctions monotones
1.9. La règle de l"Hospital
1.10. Convexité
1.11. Plan détude d"une fonction
UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 38 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.6. Dérivabilité Définition de la dérivabilité et vitesse moyenneDéfinition 1.28
fest ditedér ivableen un point adu domaine de définition si f0(a) =limx!0f(a+x)f(a)x;
existe.On appelle alorsf0(a)lenombre dér ivéede fena.Une fonction est dérivablesi elle est dér ivableen tout point de son domaine de définition. Sixest le temps etf(x)la distance parcouru à l"instantxpar un mobile se
déplaçant sur une axe, alors le taux d"accroissement de fena f(a+x)f(a)xest la vitesse moyenne pendant le laps de tempsx.Lorsquextend vers 0, le taux d"accroissement tend versf0(a).Donc la
vitesse moyenne du mobile tend vers la vitesse instantanée f0(a)à l"instanta.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 39 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.6. DérivabilitéReprésentation graphique de la vitesse moyenne
Le taux d"accroissement defenaest la pente de la droite(AB).aa+¢xf(a)f(a+¢x)AB¢xf(a+¢x)¡f(a)UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 40 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.6. DérivabilitéDroite tangente
Lorsquextend vers 0, la droite(AB)tend vers une position limite, ce qu"on appelle la droite tangente af(a)AUFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 41 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.6. DérivabilitéDroite tangente
La pente de la droite tangente est donc
lim x!0f(a+x)f(a)x=f0(a):Elle passe par le point(a;f(a))donc :Proposition 1.29
Une équation de la
droite tangente au point A(a;f(a))du graphe defest y=f0(a):(xa)+f(a):UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 42 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.6. DérivabilitéUne fonction qui n"est pas dérivable
Soitfla fonction définie parf(x) =jxj, pour toutx2R.-2-1120.511.52 y=jxjUFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 43 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.6. DérivabilitéPropriétés de la fonctionx7! jxj
Notons d"abord quefest continue en 0 car le graphe defn"a pas de " trous ».Par contre,fn"est pas dérivable en 0, car la droite tangente n"est pas bien
définie : pourx0 on ay=xcomme droite tangente et pourx0 on a y=x.Dans ce cas on parle depoint anguleux . C"est donc l"exemple d"une fonction qui est continue mais pas dérivable.UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 44 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.6. DérivabilitéDemi-tangente verticale
Exemple 1.30
x7!pxadmet une demi-tangente verticale enO.12340.511.52 y=p xUFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 45 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.6. DérivabilitéDérivées des fonctions usuelles
ketasont des constantes réels aveca6=0.f(x)f0(x)k0
x aaxa1ln(x)1 x e xe xsin(x)cos(x)cos(x)sin(x)tan(x)1+tan2(x) =1cos2(x)UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 46 / 329
Chap 1. Fonctions numériques1.6. DérivabilitéOpérations sur les dérivées
Théorème 1.31
Si u, v sont dérivables sur un intervalle I, alors u+v, uv, et ku (k2R) le sontaussi.Si en plus v ne s"annule pas, alors u=v sont également dérivables. On a1(u+v)0=u0+v0;et(ku)0=ku0;2(uv)0=uv0+u0v;3
1u 0 =u0u 2,4 uv 0 =u0vuv0v2.Théorème 1.32
Si u, v sont dérivables, alors uv est dérivable (là ou c"est défini) et (uv)0(x) =v0(x)u0(v(x)):UFR MathOM1 - L1 PCGS4/9/2017 47 / 329 Chap 1. Fonctions numériques1.6. DérivabilitéExemples
Exercice 1.33
Déterminer la dérivée des fonction suivantes f1(x) =1x
2f2(x) =1x
32f3(x) =1px f