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Représentation de la surface de von Mises dans l'état des contraintes principales Page 16 TD3 : MATERIAUX ELASTIQUES Matériau isotrope élastique linéaire

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Calculer le vecteur contrainte exercé sur une petite surface de direction normale à 5 Donner sans calcul supplémentaire les contraintes principales et les 

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7) Vérifier que les deux tenseurs possèdent les mêmes directions principales Déduire les contraintes principales 8) Calculer la contrainte moyenne et déduire le 

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9 sept 2018 · 4) Calculer ses directions propres Corrigé Tenseur des contraintes de surface exercées sur les faces du cube b) Directions principales

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Carculano les contraintes principales: (5) ( 62-(-3K*2 (23-2)° ) = 0 => 65 = 3K xe Iz - €) ; GI = 0 ; GTI = -3KX2(03-) => contrainte de casaillement maximam: a 

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Figure 23 – Composantes du tenseur des contraintes de Cauchy 45 Figure 24 Figure 26 – Directions et contraintes principales 49 Corrigé exercice 2 01

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Olivier Thual

Banque publique d'exercices

pour le cours de mecanique des milieux continus

Evaluation Par Contrat de Conance

INP Toulouse - ENSEEIHT

Department \Hydraulique - Mecanique des Fluides"

Annee 2018-2018, version du 9 septembre 2018

2

Olivier THUAL, 9 septembre 2018

Table des matieres

PARTIELS5

P.1Parallelepipede rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 P.2Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 P.3Contraintes de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 P.4Cisaillement triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 P.5Cube (partie 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 P.6 Equilibre thermique d'un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

EXAMENS13

E.1 Etirement d'un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 E.2Cube (partie 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 E.3Torsion d'un arbre metallique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 E.4Solide elastique sur un plan incline . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 E.5Solide elastique encastre et comprime . . . . . . . . . . . . . . . . .19 E.6Comportement thermoelastique d'un cylindre . . . . . . . . . . . . .20 E.7Mouvement 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 E.8Mouvement de deformation ane . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 E.9Tourbillon dans une bo^te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 E.10Relation de saut et conservation de la masse . . . . . . . . . . . . .32 E.11 Ecoulements de Poiseuille - Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
E.12Rotation d'axe vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 E.13 Ecoulements cisailles instationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
E.14Perte de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 3

TABLE DES MATI

ERES TABLE DES MATIERESE.15Mouvement gravitaire sur un plan incline . . . . . . . . . . . . . . .44 E.16Relation de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

Preambule

Le present recueil est une banque publique d'exercices associee au polycopie du cours [1-2]. Les exercices de la partie \PARTIELS" portent sur les chapitres 1 a 4 tandis que les exercices de la partie \EXAMENS" portent sur le huit chapitres. Au moins la moitie du sujet de partiel et du sujet d'examen sera constituee d'un ou plusieurs exercices issus de cette banque publique, dans le cadre d'un programme d' \Evaluation Par Contrat de

Conance" [3-4].

References

[1] O. Thual, Mecanique des milieux continus, polycopie de l'ENSEEIHT, 2017-2018. [2] O. Thual, Mecanique des Milieux Continus,

Ed. Ress. Pedago. Ouv. INPT1018

(2012) 48h, http ://pedagotech.inp-toulouse.fr/121018 http://pedagotech.inp-toulouse.fr/121018 [3] A. Antibi, L'evaluation par contrat de conance, pour en nir avec la constante ma- cabre, Actes du colloque du Senat, Actes XVII, Nathan 2006. [4] A. Antibi, Pour en nir avec la constante macabre, ou la n du cauchemar, Nathan

Math'adore 2007.

Evaluation

par Contrat de Conance http://mclcm.free.frIllustration de Stephane Luciani 4

Olivier THUAL, 9 septembre 2018

PARTIELS

P.1Parallelepipede rectangle

On considere un materiau ayant, en l'absence de contraintes, la forme du parallelepipede rectangle

0=fa2IR3: 0aili; i2 f1;2;3ggoul1,l2etl3sont les longueurs de

ses ar^etes. Sa masse volumique0est homogene dans cette conguration de reference. On suppose que la loi rheologique du materiau est regie par la loi de Hooke avec les coecients de Lameet.

Grande deformation

Etant donnee la constante 0< , on considere la grande deformation

X(a) = (a1cosa2sin)e1

+ (a1sin+a2cos)e2 +a3e3 1) Calculer le tense urdes dilatations C(a) associe a cette deformation. 2)

En d eduireles dilatations relativ es

iet les angles de glissements ijpour les directions de la base canonique. 3)

Dessiner l'image

= X(

0) par la deformation.

4) On consid erela repr esentationeul erienneB(E)(x) =(x21+x22) du champB. Exprimer sa representation lagrangienneB(L)(a) et dessiner les isolignes deBdans le plan (a1;a2). 5)

On consid erela c hampde v ecteurV(a) = a1a2(a2e1

+a1e2 ). Calculer F=ZZ

0V(a)ndS

0 ounest la normale sortante du domaine.

Petite rotation

Etant donnee la constante 0< 1 petite devant 1, on considere le champ de deplacement (a) =a2e1 +a1e2 6)

Calculer le tense urdes p etitesd eformations(a).

7)

En d eduireles allongemen tsrelatifs

iet les angles de glissements ijpour les direc- tions de la base canonique. 5 Preparation du PARTIEL Mecanique des milieux continus 8) En notan tH(a) la Jacobienne du champ de deplacement au pointa, montrer que l'on peut ecrireH(a)a=h(a)^apour tout vecteuraouh(a) est un vecteur dont on explicitera les composantes.

Petite deformation de cisaillement

Etant donne la constante 0< 1 petite devant 1, on considere le champ de deplacement (a) = 2a1e2 9)

Calculer le tense urdes p etitesd eformations(a).

10)

En d eduireles allongemen tsrelatifs

iet les angles de glissements ijpour les direc- tions de la base canonique. 11) M ^emequestion p ourle c hampde d eplacement(a) =(a2e1 +a1e2 ). Comparer ce resultat avec celui des questions precedentes et commenter.CorrigeParallelepipede rectangle

Grande deformation

1)On aF11=F22= cos,F12=F21= sin,F33= 1 etFij= 0 sinon. On calcule

C= tFF=I. La matriceFest orthogonale. C'est la rotation d'angleet d'axe e3 .2)On a i= 1 et ij= 0. La rotation laisse invariante les longueurs et les angles.

3)L'image

est la rotation de

0.4)En remplacantx1=a1cosa2sinetx2=

a

1sin+a2cos, on obtientB(L)(a) =(a21+a22). Les isolignes deBsont donc des

cercles concentriques.5)Comme divV=(a21+a22), le theoreme de la divergence entraine queF=RRR

0(a21+a22)d3a=13

l1l2l3(l21+l22).

Petite rotation

6)On a(a) = 0.7)Les longueurs et les angles sont conserves.8)On ah=e3

Petite deformation de cisaillement

9)On a=(e1

e2 +e2 e1 ).10)Les alongements relatifs dans les directions de la base canonique sont nuls. L'angle de glissement des directions 1 et 2 est

12= 212= 2. Les

angles de glissement des autres couples de directions sont nuls.11)On obtient les m^emes resultats pour ce champ de deplacement. Les deux champs de deplacement dierent de la petite rotation(a) =(a2e1 +a1e2 ) etudiee precedemment.P.2Tenseur des contraintes En un pointadonne d'un milieu continu, on mesure les forces de contactT(a;n) exercees sur un element de surface de normalen. On suppose quefe1 ;e2 ;e3 gest un repere ortho- norme et que l'on a obtenu les egalites suivantes :

T(a;e1

) =0(e1 e3

T(a;e2

)e2 =0

T(a;e3

)^e1 =0e2 :(1) 6

Olivier THUAL, 9 septembre 2018

Mecanique des milieux continus Preparation du PARTIEL 1)

Quelle est la dimension de T(a;n) (unites SI).

2) Donner les comp osantesdu tenseur des con traintes(a). 3)

Calculer les v aleurspropres de (a)

4) Calculer ses d irectionspropres. CorrigeTenseur des contraintes

1)La force de contactTet en Newton par m

2, c'est-a-dire en Pascal.2)On trouve que

11=22=33=0,12=21= 0,13=31=

0et23=32= 0.3)L'ensemble

des valeurs propres estf0;(1 + )0;(1 )0g4)L'ensemble des vecteurs propres normes correspondant estfe2 ;e(+) ;e()gavece(+) =1p2 (e1 +e3 ) ete()=1p2 (e1 e3 ).P.3Contraintes de cisaillement On considere la densite surfaciqueT(a;n) des forces exterieures de contacts exercees sur une petite surface de normalenpar le milieu continu situe du c^ote vers lequel pointen.

On suppose que l'on a les relations suivantes :

T(a;n+

) =+n+ ; T(a;n ) =n etT(a;e2 ) = 0(2) avecn+ =1p2 (e1 +e3 ) etn =1p2 (e1 +e3 ) et ou+etsont des constantes. 1) Exprimer le tenseur des con traintes(a) dans le cas+=0et=0. 2) Dessiner dans ce cas les forces surfaciques exerc eessur les faces d'un p etitcub ede centreaet dont les c^otes sont paralleles aux directions de la base canonique. Interpreter ce systeme de contraintes. 3) Re-it erercette question dans le cas o u+= 40et=20.CorrigeContraintes de cisaillement

1)On a11=33=12

(++),13=31=12 (+) etij= 0 sinon. Dans le cas+=0et=0, on a11=33= 0 et13=31=0.2)Les forces surfaciques sont paralleles aux c^otes du cube. Elles exercent un cisaillement. En eet,

T(a;e1

) =e3 etT(a;e3 ) =e1

3)Dans le cas+= 40et=20, on a11=33=0

et12=21= 30. Les contraintes exercees sur les faces de normalese1 ete3 sont respectivementT(a;e1 ) =0(e1 + 3e3 ) etT(a;e3 ) =0(3e1 +e3 ).P.4Cisaillement triple On considere un petit cube de centreadans un milieu continu soumis a des contraintes. On eectue trois experiences (a), (b) et (c) respectivement caracterisees par les forces de contacts suivantes,0etant une constante :(a)T(a)(a;e1 ) = 0T(a)(a;e2 ) =0e3T(a)(a;e3 ) =0e2 (b)T(b)(a;e1 ) =0e3T(b)(a;e2 ) = 0T(b)(a;e3 ) =0e1 (c)T(c)(a;e1 ) =0e2T(c)(a;e2 ) =0e1T(c)(a;e3 ) = 07

Olivier THUAL, 9 septembre 2018

Preparation du PARTIEL Mecanique des milieux continus 1)

Exprimer les trois tenseurs des con traintes

(a)(a), (b)(a) et (c)(a) correspondant aux trois experiences. 2) On eectue les trois exp eriencessim ultanementen sup erposantles trois syst emes de forces. Exprimer les tenseur des contraintes(a) correspondant a cette nouvelle experience. 3) Calculer les forces de con tactexerc eessur une p etitesurface normale ae1 +e2 +e3 pour cette nouvelle experience. 4) Calculer les forces de con tactexerc eessur une p etitesurface de normale nsinest normal ae1quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39