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- 1 - Les puissances & racines

Francesco Franzosi & Alain Arnautovic

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1. Les puissances & racines

§ 1.1 Définitions et propriétés

Définitions

1) Si n est un entier non nul alors :

na= ................. 2)

0a= ................. (0a¹) 1a= .................

3) na-= ................ et 1 na-= ................. ( 0a¹ et 0n>)

Remarque

00= ...............

Exemples

23= d) 10= g) 23-= j) 01=

32= e) 3710= h) 32-= k) 00=

170= f) 25= i) 1

52-= l) 12025=

Propriétés

1) ...........m na a× = 2) .............

m na a= (0a¹) 3) ( ) .............m na= 4) ( ) ..............na b× = 5) ............ na b( )=( )( ) (0b¹)

Exemples

3 22 2× = f) ()

232-=
b)

3 22 2-× = g) ()

32 12 3-× =

c) 5 23

3= h) ()

222 3
d) 5 23

3-= i)

3 32a
b×( )=( )( ) e) 5 23
3 = j) 2 5 3a a a - 2 - Les puissances & racines

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Trouver les résultats sans utiliser la calculatrice et donner les réponses sous forme décimale ou de

fraction simplifiée

Exercice 1

a) 23=
b) 82=
c)

32= d)

53=
e) 41=
f)

40= g)

082,=
h) 053,=
i) 122,=

Exercice 2

42-= h) 1

25-=
b)

72-= i) 1

42-=
c)

222×= j) 8

8 16 16 d)

103-= k) 7

7 5 4= e) 1

52-= l) 2235-×=

f) 1

23-= m) 5

5 3 5 g) 1

41-= n) 333254××=-

§ 1.2 Les racines et leurs propriétés

Définition :

La racine carrée d"un nombre positif A est le nombre positif x, tel que 2x A=.

La racine carrée de A se note :

On a pour A positif :

2A x x A=?=

Propriétés des racines carrées :

Pour 0a³ et 0b³on a :

2..........a= et 2.........a= 2) .............a b× = 3)..........a

Exemples

64= b) 75

3= c) 9- = d) 2 8× =

- 3 - Les puissances & racines

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Exercice 3 :

Calculer lorsque c"est possible et donner, s"il y a lieu, le résultat sous la forme d"une fraction

irréductible. a) =144 g) =×55 b) =1649 h) =×61 32
c) =-6425 i) =-1625 d) =545 j) ()= 22
e) =-36 k) =82 f) =7527 l) =×273

Définition et propriétés

La racine cubique d"un nombre positif, négatif ou nul V est le nombre x, tel que 3x V=

La racine cubique de V se note :

3V 1)

33a a= et 33a a= 2) 3 3 3a b a b× = × 3)

3 3 3a a bb= si b ¹ 0

Remarques importantes

Contrairement aux racines carrées,

un nombre négatif possède une racine cubique !

Exemple :

3273-=- car 27)3(3-=-

Exercice 4

Calculer lorsque c"est possible et donner, s"il y a lieu, le résultat sous la forme d"une fraction

irréductible. a) =3271 g) =×383433 b) =×3391

31 h) =33

433
c) =-312564 i) =48 3 d) =-×3342 j) =×33501 52
e) =×3353

259 k) =×3310010

f) =336 l) =+-3,08273 - 4 - Les puissances & racines

Francesco Franzosi & Alain Arnautovic

http://math.aki.ch/ Par extension on peut donner la définition suivante :

Définition :

· La racine nième d"un nombre a est le nombre x, tel que nx a=

La racine n

ième de a se note : na Le nombre a dont on veut extraire la racine s"appelle le radicande.

Le nombre n est le degré de la racine.

Si n est pair la racine n"est définie que pour un radicande positif et le résultat est un nombre

positif. Si n est impair la racine est définie pour un radicande positif, négatif ou nul.

Propriétés des racines n

ièmes : 1) () nna a= et nna a= 2) n n na b a b× = × 3) n n na a bb= si b ¹ 0

4) Si

r est un entier plus grand que 0 alors : 1 r a= ................ (0a>) 5) Si p et r sont des entiers (r ¹ 0), alors : p r a= ....................... (0a>)

Exemples

2713/= c) 823-=/ f)()

1/3227=

823/= d) 1476,=

Exercice 5

Trouver les résultats sans utiliser la calculatrice. a) 6412/= g) 16= b)

3225/= h) =5153

159/= i)

3 24=
d)

11/7= j) =66010

1632/= k) ()( )

×358

43777
f)

1251/3=

Propriétés

1) p prra a= 2) ( ) pp prrra a a= = 3) pq pqa a= - 5 - Les puissances & racines

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http://math.aki.ch/ Exercice 6 : Ecrire les expressions suivantes à l"aide d"exposants positifs

Exemple :

a b c b c a -×=×2 33
2 a) a b c d 2 3 2

5× ×=--

- g) abcd--×××=11 b) a-=3 h) 1 17c-= c) a b c -×=2 3 1 i) abcd----×××=4213 d) b-=2 j) 1

2 3bc- -=.

e) abcd×××=---123 k) 1

5 3 1abc- -××=

f) 1

3z-= l) a

z 13 45

Exercice 7

Simplifier Exemple :

2223811×=

22810×= e)

5 58
8 b) 2 2 2 8 10

5×= f)

7 2

4 84 5

4 5 c) 3 3 3 5 1

8×=-

- g) () 52
103 3
3 d) 7 7 2 5- = h) 32
3

Exercice 8

Simplifier

5 3a a× = g) ()

22 3

3 5 3a b c

a b c b)quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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1. Les puissances & racines

§ 1.1 Définitions et propriétés

Définitions

1) Si n est un entier non nul alors :

0a= ................. (0a¹) 1a= .................

Remarque

00= ...............

Exemples

23= d) 10= g) 23-= j) 01=

32= e) 3710= h) 32-= k) 00=

170= f) 25= i) 1

52-= l) 12025=

Propriétés

1) ...........m na a× = 2) .............

Exemples

3 22 2× = f) ()

3 22 2-× = g) ()

32 12 3-× =

3= h) ()

3-= i)

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Exercice 1

32= d)

40= g)

Exercice 2

42-= h) 1

72-= i) 1

222×= j) 8

103-= k) 7

52-= l) 2235-×=

23-= m) 5

41-= n) 333254××=-

§ 1.2 Les racines et leurs propriétés

Définition :

La racine carrée de A se note :

On a pour A positif :

2A x x A=?=

Propriétés des racines carrées :

Pour 0a³ et 0b³on a :

2..........a= et 2.........a= 2) .............a b× = 3)..........a

Exemples

64= b) 75

3= c) 9- = d) 2 8× =

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Exercice 3 :

Définition et propriétés

La racine cubique de V se note :

33a a= et 33a a= 2) 3 3 3a b a b× = × 3)

Remarques importantes

Contrairement aux racines carrées,

Exemple :

3273-=- car 27)3(3-=-

Exercice 4

31 h) =33

259 k) =×3310010

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Définition :

La racine n

Le nombre n est le degré de la racine.

Propriétés des racines n

4) Si

Exemples

2713/= c) 823-=/ f)()

1/3227=

823/= d) 1476,=

Exercice 5

3225/= h) =5153

159/= i)

11/7= j) =66010

1632/= k) ()( )

×358

1251/3=

Propriétés

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Exemple :

5× ×=--

2 3bc- -=.

5 3 1abc- -××=