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Donc c'est le centre du cercle circonscrit Le triangle ABC est rectangle en A [AM] est la médiane issue de l'angle droit Donc
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Tracer la bissectrice (OE) c'est donc tracer l'axe de symétrie du segment [AB] et du triangle isocèle OAB Comme la droite (OE) est l'axe de symétrie de l'angle
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Triangle rectangle, cercle et bissectrice
1) Triangle rectangle, cercle circonscrit et médiane
Propriété : Si un triangle est rectangle,
Alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l"hypoténuse.Exemples :
ConséquencePropriété : Si un triangle est rectangle,
Alors la longueur de la médiane issue de l"angle droit est égale à la moitié de la longueur de
l"hypoténuse.Exemples:
Le triangle ABC est rectangle en A. M est le milieu de l"hypoténuse.Donc c"est le centre du cercle circonscrit.
Le triangle ABC est rectangle en A.
[AM] est la médiane issue de l"angle droit. Donc 2BCAM=.
Propriété : Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d"un diamètre et un point du cercle
Alors ce triangle est rectangle en ce point.
Exemples :
ConséquencePropriété : Si, dans un triangle, la médiane issue d"un sommet a une longueur égale à la moitié de la
longueur du côté opposé,Alors le triangle est rectangle en ce sommet.
Exemples :
2) Distance d"un point à une droite
Définition : La distance d"un point à une droite est la plus courte distance séparant ce point et un point de
la droite.Propriété : Le point le plus proche de A est le point H tel que la droite (AH) est perpendiculaire à (d).
AH est la distance du point A à la droite (d).
Exemples :
Pour tout point M appartenant à (d),
on a :AH AM£
[BC] est un diamètre du cercle,A est un point du cercle.
Donc le triangle ABC est rectangle en A
[AM] est la médiane issue de A 2 BCAM=Donc le triangle ABC est rectangle en A
3) Points d"une bissectrice
M appartient à la bissectrice de l"angle ?HOK
DoncMH MK=
MH MK=
Donc [OM) est la bissectrice de l"angle
?HOK Propriété : Si un point appartient à la bissectrice d"un angle, Alors il est équidistant des côtés de cet angle. Propriété : Si un point M est équidistant des côtés d"un angle de sommet O,Alors [OM) est la bissectrice de cet angle.
4) Cercle et tangente
a) Tangente à un cercle en un pointPropriété - Définition : La tangente à un cercle est la droite qui coupe ce cercle en un seul point. La
tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire au rayon qui passe par ce point.La droite (d) est tangente au cercle (C) en A.
b) Cercle inscrit dans un trianglePropriété - Définition : Dans un triangle, les bissectrices sont concourantes. Leur point d"intersection est le
centre du cercle tangent aux trois côtés du triangle. Ce cercle est appelé cercle inscrit dans le triangle.
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