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I1 est quelque peu dangereux de vouloir systématiser ce que l'on a ralise au continu l'équation (2) établie pour le cas discret; (15b) redonne la condition initiale en mesure, malgré les approximations faites Quant à nements indépendants d'un nombre M de telles expressions et à en prendre la trace en utilisant la

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différents, voire dangereux eu égard à la vulnérabilité de nos enfants les transports : un éffét conjugué dé produits non réconductiblés alloué s pour limitér lés La mise en œuvre d'actions, d'e ve nements communs entre l'IME et le groupe scolaire de Le film a e te pre sente lors de la fe te de l'e cole et a remporte

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Théorie statistique des champs

Claude Itzykson Jean-Michel Drouffe

SAVOIRS ACTUELS

InterEditions/Editions du CNRS

@ 1989, LnterEditions, 25, rue Leblanc, 75015 Paris. et Editions du CNRS, 1, Place Aristide Briand, 92195 Meudon. Tous droits réservés. Aucun extrait de ce livre ne peut être reproduit, sous quelque forme

ou par quelque procédé que ce soit (machine électronique, mécanique, à photocopier, à

enregistrer ou tout autre) sans l'autorisation écrite préalable de InterEkiitions.

ISBN 2-7296-0273-9 ISBN 2-222-04300-X

TABLE DES MATIERES

Avant-propos ...................................................................... Chapitre I . DU MOUVEMENT BROWNIEN AUX CHAMPS EUCLIDIENS

1 . Mouvement brownien ........................................................

1.1 Marche au hasard .......................................................

1.2 Somme sur les chemins

1.3 La dimension deux des courbes browniennes

2 . Champs euclidiens .............................................................

2.1 Champ libre ................................................................

2.2 Champs en interaction et marches aléatoires

2.3 Marche au hasard avec retour exclu et limite n + O

2.4 Développement de haute température

2.5 Le cas unidimensionnel ...............................................

Appendice A . Réseaux ...................................................... Notes ........................................................................ Chapitre II . INTEGRALES DE GRASSMANN ET MODELE D'ISING BIDIMENSIONNEL

1 . Intégrales de Grassmann ..................................................

1.1 Variables anticommutantes .........................................

1.2 Intégrales ....................................................................

2.1 Dualité ........................................................................

2.2 Matrice de transfert ....................................................

2.4 Energie libre ...............................................................

2.5 Aimantation spontanée ...............................................

2.6 Fonction de corrélation ...............................................

2 . Modèle d'king bidimensionnel ........................................

2.3 Représentation fermionique .........................................

2.7 Tension superficielle ....................................................

3 . Théorie critique continue .................................................

3.1 Action effective ...........................................................

3.2 Fonctions de corrélation ..............................................

XI 1 1 1 9 11 21
21
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36
42
44
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83
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90
93

VI11 TABLE DES MATIERES

Appendice A . Différences quadratiques et équations de

Painlevé

Notes ........................................................................

Chapitre III . BRISURE SPONTANEE DE SYMETRIE

CHAMP MOYEN .................................................................

1 . Approximation de champ moyen ....................................

1.1 Constante diélectrique d'un milieu polarisable ............

1.3 Groupe continu d'invariance .......................................

1.4 L'approximation de Bethe ...........................................

1.5 Exposants critiques .....................................................

2.1 Le théorème de Lee et Yang ........................................

2.2 Cas unidimensionnel ...................................................

2.3 Propriétés générales ....................................................

2.4 Racines dans le plan des températures ........................

3 . La limite n -+ CO ..................................................................

3.1 La méthode du col ......................................................

3.2 Factorisation ...............................................................

3.3 Solution en champ extérieur

4.1 Transformée de Laplace ..............................................

1.2 Modèle de spin classique . Symétrie discrète ...............

2 . Singularités de Lee et Yang .............................................

4 . Corrections au champ moyen ..........................................

Notes ........................................................................ Chapitre IV . LOIS D'ECHELLE . MODELE XY ...........

1 . Lois d'échelle . Transformations de renormalisation dans

l'espace de configuration

1.2 Relations de récurrence ...............................................

1.3 Exemples et approximations .......................................

1.3.1 Décimation unidimensionnelle ..............................

1.3.2 Déplacement des liens ...........................................

1.3.3 Règle majoritaire ..................................................

1.3.4 Amplitudes critiques ..............................................

2 . Le modèle XY ....................................................................

1.1 Homogénéité et invariance d'échelle ............................

2.1 Comportement à haute température

2.2 Développement de basse température

. Tourbillons

2.3 L'action de Villain

2.4 Corrélations ................................................................

2.5 Flot de renormalisation ...............................................

Appendice A . Systèmes bidimensionnels à symétrie con- tinue ........................................................................ A.1 Inégalité sur l'aimantation .......................................... A.2 Inégalité sur les corrélations ........................................ 95
102
105
105
106
109
115
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189
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215
218

TABLE DES MATIERES IX

Appendice B . Renormalisation phénoménologique ...... Notes ........................................................................

Chapitre V . GROUPE DE RENORMALISATION .....

1 . Lagrangien et analyse dimensionnelle ............................

1.1 Présentation ................................................................

1.2 Fonctions génératrices et analyse dimensionnelle .........

2 . Méthode perturbative .......................................................

2.1 Série diagrammatique .................................................

2.2 Classement topologique ...............................................

2.3 Prolongement dimensionnel .........................................

2.4 Facteurs associés à un groupe d'invariance ..................

2.5 Comptage de puissances ..............................................

3.1 Flot de renormalisation ...............................................

3.2 Exposants critiques ......................................................

3.3 Du point fixe gaussien au point critique ......................

3.4 Fonctions de corrélation au point critique ...................

3.5 Développement au voisinage du point critique ............

3.6 Lois d'échelle pour T < Tc ..........................................

4 . Corrections aux lois d'échelle ..........................................

4.1 Déviation au point critique .........................................

4.2 Corrections logarithmiques en dimension quatre .........

4.3 Opérateurs inessentiels ................................................

5.1 Développement en E ....................................................

5.2 Equation d'état ...........................................................

5.3 Rapports d'amplitudes ................................................

5.4 Résultats tridimensionnels ..........................................

Appendice A . Points multicritiques ............................... Notes ........................................................................

2.6 Renormalisation perturbative ......................................

3 . Groupe de renormalisation

5 . Résultats numériques ........................................................

Chapitre VI . CHAMPS DE JAUGE SUR RESEAU ....

1 . Généralités ........................................................................

1.1 Présentation ................................................................

1.2 Limite continue ...........................................................

1.3 Paramètre d'ordre et théorème d'Elitzur .....................

1.4 Dualité ........................................................................

.................................. 2 . Structure du diagramme de phase

2.1 La solution de champ moyen

2.3 Groupes discrets : développement en l/d

2.4 Groupes continus

: calcul des corrections

2.2 Corrections au champ moyen ......................................

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353

X TABLE DES MATIERES

3 . Développement de couplage fort .....................................

3.2 Développement en caractères ......................................

3.4 La tension de corde et la transition rugueuse ..............

3.5 Le spectre de masse ....................................................

4 . Fermions sur réseaux ........................................................

4.1 Le problème du doublement ........................................

4.2 Le théorème de Nielsen-Ninomiya ...............................

4.3 Fermions de Kogut-Susskind ......................................

Notes ........................................................................

3.1 Convergence ................................................................

3.3 Energie libre ...............................................................

357
357
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INDEX ........................................................................ ........ 389

Avant-propos

La théorie quantique des champs vise à décrire les interactions fon- damentales dans un cadre unique conciliant les principes de la mécanique quantique et les invariances géométriques et cinématiques. Cette discipline s'est enrichie, au cours des deux dernières décennies, d'applications insoup-

çonnées, qui tiennent

à la parenté de ses méthodes avec celles de la physique statistique, à travers l'étude des phénomènes critiques ou des modèles de physique du solide. Certains développements ont permis de s'affranchir en partie des techniques perturbatives, qui sont

à la source de succès consi-

dérables dans le domaine des interactions électromagnétiques et faibles. En jetant un jour nouveau sur le rôle du groupe de renormalisation, en permet- tant d'aborder des questions comme le confinement des constituants dans la chromodynamique, en s'ouvrant aux possibilités de simulation numérique, en découvrant des problèmes nouveaux comme ceux posés par la théorie des cordes quantiques, la théorie des champs s'est entièrement renouvelée. Nous nous sommes attachés à en donner un panorama complétant un texte précédent sur la théorie quantique des champs écrit par l'un des au- teurs en collaboration avec

J.-B. Zuber. Bien qu'on suppose du lecteur qu'il

possède quelques rudiments de cette théorie, le présent ouvrage veut éviter de faire de trop nombreux appels à des connaissances extérieures et s'inscrit ,dans le cadre d'un enseignement destiné

à de jeunes chercheurs et, plus gé-

néralement, à des scientifiques intéressés par les progrès de cette discipline. L'abondance des matières, le rythme rapide des nouvelles contributions et les compétences limitées des auteurs ont cependant posé des bornes

à l'en-

semble des sujets traités. Si l'on veut bien admettre ces limites, nous avons cependant tenté de décrire les fondements de la théorie euclidienne des champs, reposant sur l'usage des intégrales de chemins de Feynman et concrètement réalisée travers les modèles statistiques qui utilisent un réseau discret, dont le pa- radigme est le modèle d'Ising. Ce point de vue permet d'attribuer un sens global aux quantités physiques, d'étudier des régimes de couplage fort, sug- gère l'existence de transitions de phases et montre le rôle du groupe de renormalisation agissant comme filtre des propriétés universelles au voisi- nage des théories critiques continues.

XII AVANT-PROPOS

Le premier volume est consacré pour l'essentiel à l'illustration de ces thèmes. I1 s'ouvre par une étude des chemins aléatoires et leur relation avec les champs bosoniques, et introduit les intégrales fermioniques sur l'exemple du modèle d'Ising bidimensionnel.

I1 expose la méthode du champ moyen,

les propriétés relatives à l'invariance d'échelle, et illustre les idées de la renormalisation dans le cadre de la transition de Kosterlitz et Thouless du modèle des rotateurs. Un long chapitre est consacré

à la théorie des transi-

tions de phases continues à partir des idées de Wilson, où nous nous sommes appuyés sur les contributions de nos collègues E. Brézin, J.-C. Le Guillou et J. Zinn-Justin. C'est encore à Wilson qu'on doit la formulation des théories de champs de jauge sur réseau et leurs applications

à la chromodynamique

et au confinement dont la présentation clos la première partie. Le second volume est plus éclectique. On y trouve d'abord des indica- tions sur les développements de haute ou basse température et les applica- tions des simulations numériques de Monte Carlo, en particulier

à la chromo-

dynamique. Un copieux chapitre décrit les résultats récents concernant les systèmes critiques bi-dimensionnels, dans le cadre des théories conformes, qui servent aussi d'outil à la théorie des cordes quantiques. Nous discutons ensuite les applications de l'intégration fermionique

à des systèmes désor-

donnés simples. Enfin le dernier chapitre expose quelques résultats de géo- métrie aléatoire et introduit l'étude des surfaces fluctuantes. Dans la première partie, au risque de répétitions, nous nous sommes efforcés de présenter le sujet de manière aussi élémentaire que possible. Nous ne supposons du lecteur qu'une certaine familiarité avec la notion de poids statistique de Gibbs, ainsi qu'avec la représentation des amplitudes de transition quantiques comme superpositions relatives

à toutes les évolutions

possibles, affectées d'un poids exponentiel dans l'action. C'est précisément ce parallélisme qui est à la source des convergences évoquées précédemment. Le choix des sujets traités et les nombreuses omissions reflètent les in- térêts des auteurs et leurs préoccupations. Nous ne sommes que trop cons- cients de nombreuses lacunes dont la liste serait

à l'origine d'un texte encore

plus volumineux. I1 est quelque peu dangereux de vouloir systématiser ce que l'on a cru comprendre sans laisser percer deci-delà des ignorances. I1 est bon de comprendre à quel point la recherche débouche sur des problèmes ouverts, des questions en suspens, des interrogations. Comprendre nécessite le plus souvent que l'on reprenne la plume, que l'on retrace les étapes d'un raisonnement, que l'on refasse un calcul, que d'une faqon générale on ne se satisfasse jamais de ce que l'on trouve écrit ou dit ici et là. Malgré tous nos efforts, et ils s'étalent hélas sur une trop longue pé- riode, il nous a été difficile, voire impossible, de polir suffisamment notre texte pour éviter les notations conflictuelles, fruit de l'usage, les erreurs ma- térielles, voire les erreurs tout court. Comme il est rituel, nous invitons le lecteur patient à les redresser et à nous en faire part. Nous espérons cepen- dant que ces défauts inévitables ne nuisent pas trop

à la compréhension de

AVANT-PROPOS XII1

l'ouvrage, même si une quantité change parfois de symbole de chapitre en chapitre, ou si la même lettre désigne dans des paragraphes voisins deux entités distinctes. Nous avons inclus des passages en petits caractères, concernant des compléments, des explications et quelquefois des exercices, le plus souvent résolus. En outre, quelques appendices constituent de (trop) brefs résumés de sujets qu'il n'était pas possible de présenter en détail. Enfin des notes bibliographiques complètent chacun des chapitres et sont destinées

à indi-

quer nos sources, fournir des jalons, et surtout à encourager le lecteur à poursuivre son étude dans les articles originaux ou de revue. Ces notes sont

évidemment très incomplètes.

Parmi les textes qui servent de références, figurent bien entendu ceux de la série publiée par C. Domb et M.S. Green, et maintenant

J. Lebowitz,

intitulée Phase Transitions and Critical Phenomena, publiée par Academic

Press (New York). En ce qui concerne

la mécanique statistique, citons K. Huang, Statistical Mechanics, J. Wiley and Sons, New York (1963), H.E.

Stanley

Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, Oxford

University Press (1971),

S.K. Ma Modern Theory of Critical Phenomena,

Benjamin New York (1976) et Statistical Mechanics, World Scientific, Sin- gapour (1985), D.J. Amit

Field Theory, the Renormalization Group and

Critical Phenomena,

World Scientific, Singapour (1984).

Tandis que nous préparions cette édition sont venus s'ajouter plusieurs ouvrages traitant des mêmes sujets.

I1 s'agit tout d'abord du livre de M.

Le Bellac Des phénomènes critiques aux champs de jauge, une introduction aux méthodes et aux applications de la théorie quantique des champs, publié dans la même collection par InterEditions, Editions du CNRS Paris (1988) et de ceux de G. Parisi Statistical Field Theory, Addison Wesley, New York (1988) et S. Polyakov Gauge Fields and Strings, Harwood (1988). Enfin un traité de

J. Zinn-Justin devrait paraître sous peu.

La référence classique où l'on trouve un traitement des intégrales de chemins est R.P. Feynman et A.R. Hibbs

Quantum Mechanics and Path

Integrals,

Mc Graw Hill, New York (1965). Des aspects variés sont discu- tés dans C. Itzykson et J.-B. Zuber

Quantum Field Theory, Mc Graw Hill,

New York (1980),

P. Ramond Field Theory, A Modern Primer, Benjamin,

Cummings, Reading,

Mass. (1981), J. Glimm et A. Jaffe Quantum Physics, Springer, New York (1981). De nombreux progrès récents de la théorie des champs qui n'ont pas trouvé place dans notre traitement sont présentés dans S. Coleman Aspects of Symmetry, Cambridge University Press (1985), S. Treiman, R. Jackiw, B. Zumino et E. Witten Current Algebra and Ano- malies, World Scientific, Singapour (1985). Pour s'initier aux systèmes inté- grables, on consultera R. Baxter Exactly Solved Models in Statistical Mecha- nics, Academic Press, New York (1982) et M. Gaudin La Fonction d'Onde de Bethe, Masson, Paris (1983). Bien entendu cette liste n'est qu'indicative et l'on trouve de nombreuses autres références dans les notes.

XIV AVANT-PROPOS

L'un des auteurs (C.I.) remercie ses collègues qui lui ont fourni l'occa- sion d'enseigner des parties de cet ouvrage dans le cadre du Troisième cycle de Suisse Romande à Lausanne, du Département de Physique de l'université de Louvain la Neuve, du Troisième cycle de Physique Théorique

à Marseille

et à Paris, où les deux auteurs ont eu l'opportunité de participer à l'ensei- gnement. Nos remerciements vont aux secrétaires de ces institutions qui ont pris part à la frappe des divers textes préliminaires, ainsi qu'à toutes celles et tous ceux qui ont permis la réalisation finale,

à Dany Bunel et Sylvie

Zaffanella qui ont eu la lourde charge de mettre au point le manuscrit, à M. Leduc qui a accueilli ce livre dans sa collection. Nous remercions chaleureusement les chercheurs et amis du Service de

Physique Théorique

à Saclay qui au cours des années ont été nos interlo- cuteurs et collaborateurs et qui sont trop nombreux pour être tous cités ici. Enfin le Commissariat à 1'Energie Atomique et son Institut de Re- cherche Fondamentale nous ont toujours offert des conditions de travail d'une qualité difficile à égaler. C'est en quelque sorte témoigner de notre gratitude que de dédier ce livre aux futurs chercheurs. C'est aussi la raison pour laquelle nous sommes heureux de bénéficier d'une édition française grâce au concours du Centre National de la Recherche Scientifique. Bien souvent il nous est arrivé d'hésiter sur une formulation, simplement parce que nous avions perdu l'habitude de nous exprimer dans notre langue et que nous cherchions un précédent impossible

à trouver, tant la langue anglaise

a fini par envahir toutes les publications dans notre domaine. S'il n'est pas souhaitable de retourner à l'époque de la tour de Babel et si l'on ne peut espérer revenir aux siècles où le français était une langue scientifique univer- selle, du moins peut-on souhaiter maintenir un vocabulaire et une capacité d'exprimer les idées contemporaines dans sa propre langue. Sans prétendre aux effets de style, nous nous sommes attachés à trouver une terminolo- gie simple qui puisse rendre compte de concepts nouveaux et nous nous associons à tous les efforts, heureusement de plus en plus nombreux, pour maintenir une langue scientifique vivante.

Saclay, Février 1989

Avertissement

Dans cet ouvrage, nous avons utilisé les notations internationales.quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14