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Utilisation du solveur de la TI 82 Advanced

Exercice résolu

La fonctionfest définie parf(x) =x3+xsur IR c"est à dire sur ]- ∞; +∞[. On veut déterminer une valeur approchée au millième près de l"équationf(x) = 500.

1.Justifier que la fonctionfest strictement croissante sur [0 ; 10].

2.Démontrer que l"équationf(x) = 500 admet une unique solutionαappartenant à l"inter-

valle [0 ; 10].

3.Avec la calculatrice, déterminer une valeur approchée deαau millième près.

Corrigé

1.Justifier que la fonctionfest strictement croissante sur [0 ; 10].

f ?(x) = 3x2+ 1, orx2?0 donc 3x2?0 donc 3x2+ 1>0 donc la fonctionfest strictement croissante sur IR, et aussi sur [0 ; 10].

2.Démontrer que l"équationf(x) = 500 admet une unique solutionαappartenant à l"inter-

valle [0 ; 10]. f(0) = 03+ 0 = 0 etf(10) = 10003+ 10 = 1010, donc 500 est compris entref(0) etf(10). D"autre part, la fonctionfest continue sur [0 ; 10] parce que c"est une fonction polynôme.

Nous savons donc que :

•la fonctionfest strictement croissante sur [0 ; 10]; •la fonctionfest continue sur [0 ; 10]; •500 est compris entref(0) etf(10);

par conséquent, d"après le théorème de la valeur intermédiaire l"équationf(x) = 500 admet

une unique solutionαappartenant à l"intervalle [0 ; 10].

3.Avec la calculatrice, déterminer une valeur approchée deαau millième près.

Appuyer surmath

, puis descendre jusqu"àSolveur ..., et valider.

On voit :

SOLVEUR EQUATION

eqn:0= et sinon remonter sur la première ligne avec↑ L"équation à résoudre estx3+x= 500, or :x3+x= 500??x3+x-500 = 0

On complète donc ainsi :

eqn:0=X?3+X-500 l"équationf(x) =kdoit être transformée enf(x)-k= 0 puis on valide avec la toucheentrer

On voit alors

eqn:0=X?3+X-500 X=

Compléter ainsi :

eqn:0=X?3+X-500 X=0 on saisit une valeur dexassez proche deα.

On appuie suralpha

[résol]

On obtient :α≈7,895

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