Pour montrer qu'un nombre complexe est réel 4 Exercice • Calculer le module et l'argument de chacun des nombres donc une racine 5e de z est : 1 1
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[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Exercices de mathématiques
z2 -(5-14i)z-2(5i+12) = 0 ; z2 -(3+4i)z-1+5i = 0;4z2 -2z+1 = 0 ; z4 +10z2 +169 = 0 ; z4 +2z2 +4 = 0 Indication Τ Correction Τ Vidéo □ [000031] 3 Racine n-ième
[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1 - Licence de
Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes Allez à : Correction exercice 1 : Montrer que cette équation admet une racine réelle 2
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Exercice 5-2 Calculer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe z = Sachant qu'elle admet une racine réelle, résoudre dans C l'équation suivante : Les racines 5-ème de 1 sont données dans le corrigé de l'Exercice 5 -11
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Nombres Complexes corrigés z ≠ − , on associe le nombre complexe z' défini par : 4 http://perso wanadoo fr/gilles costantini/Lycee_fichiers/BAC/BACS2005 pdf 1 15 (on remarquera que cette équation a une racine évidente réelle)
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25 sept 2012 · Exercice 2 (*) Il s'agit de calculer les racines quatrièmes d'un nombre complexe, ce pour quoi donc il s'agit bien d'une racine de l'équation
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Pour montrer qu'un nombre complexe est réel 4 Exercice • Calculer le module et l'argument de chacun des nombres donc une racine 5e de z est : 1 1
[PDF] LEÇON N˚ 20 : Racines n-ièmes dun nombre complexe
et chaque racine n-ième de Z est donc bien l'image d'une racine n-ième de l'unité par la similitude annoncée □ 20 3 Applications 20 3 1 Factorisation Exercice :
[PDF] Chapitre 2 NOMBRES COMPLEXES Enoncé des exercices
Exercice 2 9 Soient a et b deux nombres complexes de module 1 tels que ab = − 1, Résoudre (E) sachant qu'elle admet une racine imaginaire pure Remarque : Cet exercice m'a été inspiré du sujet des Olympiades du Vietnam de 1996,
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rées : racine carrée d'un réel positif et racines carrées d'un nombre complexe Exercice 10 : Montrer que z = 15 + 8i admet les deux nombres complexes sui-
[PDF] L1-2016-TD Complexes
savoir calculer le module d'un nombre complexe – interpréter Exercice 1 Écrivez les nombres complexes suivants sous la forme algébrique z1 = 3°i 3+5i
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chapitre 1
1. Calcul du module et de l'argument
d'une puissance d'un nombre complexe.2. Simplification d'un rapport de nombres
complexes.3. Pour montrer qu'un nombre complexe est réel.
4. Pour montrer qu'un nombre complexe
est imaginaire pur.5. Racines carrées d'un nombre complexe.
6. Racines n-ièmes d'un nombre complexe.
7. Factorisation d'un polynôme réel.
8. Linéarisation des expressions de la forme
cos sin mn xx où , mnN.9. Calcul de cos( )net desin( )nen fonction
de puissances de cos( )et desin( ).10. Écriture de
i1e et de
i1e ()R
sous la forme i er avec 2 (, )rR.11. Simplification de sommes de cosinus
(resp. sinus).Nombres complexes
méthode 14Nombres complexes
1Calcul du module et de l"argument d"une puissance
d"un nombre complexe Pour calculer le module et l'argument d'une puissance d'un nombre complexe, on calcule d'abord le module et l'argument de ce nombre, puis on l'élève à la puissance voulue.Exemple
Calculer le module et l'argument du nombre complexe 20 (1i3)z. Co mme i313(1 i 3) 2 i 2e22
donc 1i3 2 et arg(1 i 3) [2 ]3 d'où 2020ii20 2033
(18 2) 2 ii20 2033 (1 i 3) 2 e (2) e2e 2ez
et par suite 20 20 (1 i 3) 2z et2arg [2 ].3z
Exercice
• Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants : a. 4 1i; b. 3 1i 1i ;c. 5 1i3 3i d. 7 4.1i3 méthode2 152Simplifi cation d"un rapport de nombres complexes
Pour simplifier un rapport de nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur.Exemple
Simplifier le nombre complexe
2i (4 i)(1 3i)z Comme l'expression conjuguée du dénominateur est (4 i)(1 3i), 222 22i (4 i)(1 3i)
2i(4 i)(1 3i)
(4 i)(1 3i)(4 i)(1 3i)2i(4 i)(1 3i)
(4 1 )(1 3 )2i(4 i 12i 3)
17 1022 14i
17011 7i85 85z
Exercice
• Simplifier les nombres complexes suivants : a. 3i 34ib. 1i i c. (2 i)(3 i) 4i d. 43i
i1 e. 53i
(4 i)(1 3i) f. (5 2i)(2 3i) (i 3)(3i 4) g. 7i 2i h. 1i3 1i i. 3 1i 1i j. 2
1i3.1i
méthode 16Nombres complexes
3Pour montrer qu"un nombre complexe est réel
Pour montrer qu'un nombre complexe est réel, on montre que : soit sa partie imaginaire est nulle, • soit qu'il est égal à son conjugué, • soit son argument est congru à 0 modulo •Exemple
Soit i i1ei1ez
avec 2Z. M ontrer que z est un nombre réel.On a :
i i ii ii i i i i 1ei1e e1e ie1e e1 ie1 1e i1ez zDonc zz et par suite z est un nombre réel.
Exercices
Ex. 1. • À tout point M d'affixe 1z, on associe le point 'M d'affixe1'1zzz
. Établir que '1 1z z est réel. Ex. 2. • Démontrer que, quels que soient les nombres complexes ,'zz de module 1 et vérifiant '1 0zz, le nombre1'zzZzz
est réel. Ex. 3. • Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que 2 2iz z soit un nombre réel. méthode 17 4Pour montrer qu"un nombre complexe non nul
est imaginaire pur Pour montrer qu'un nombre complexe non nul est imaginaire pur, on montre que : soit sa partie réelle est nulle, • soit qu'il est égal à l'opposé de son conjugué,• soit son argument est congru à • 2 modulo .Exemple
Soit 1i2iz . Montrer que z est un imaginaire pur.On a :
1 i2iz z donc z est un imaginaire pur.Exercices
Ex. 1. • Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que 1 1z z soit imaginaire pur Ex. 2. • Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que 1 iz z soit imaginaire pur. Ex. 3. • À tout point M d'affixe 1z, on associe le point 'M d'affixe1'1zzz
. Le nombre complexe '1 1z z est-il imaginaire pur ? Ex. 4. • Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que 23i2iz z soit imagi- naire pur. méthode 18
Nombres complexes
5Racines carrées d"un nombre complexe
Pour déterminer les racines carrées de
izab, il est préférable de procéder par identification, c'est-à-dire chercher les nombres réels ,xy tels que : 2 (i) ixy ab. L'égalité des parties réelles, des parties imaginaires et des modules permettent d'écrire le système suivant : 2222 22
2xy a xy b xy ab d'où 2 x et 2 y puis ,xy en utilisant le fait que xy est du signe de b.
Exemple
Calculer les racines carrées de 34iz.
On résout le système suivant :
2222 2 2
3(1) (): 2 4 (2)3(4)5(3)xy
Sxy xyOr (S) est équivalent au système :
2 228(1)(3)
24(2)22(3)(1)x
xy y2 1 0x y xy ou encore 2et 1 () ou2et 1xy
S xyLes racines carrées de z sont donc :
12iz et
2 2iz.Exercices
Déterminer les racines carrées des nombres complexes suivants :Ex. 1. •
12iEx. 2. •
4i ;E x. 3. • 1i E x. 4. • 1i3 méthode 196Racines n-ièmes d"un nombre complexe non nul
Pour trouver l'ensemble des racines
n-ièmes d'un nombre complexe non nul z, on commence d'abord par le mettre sous forme trigonométrique i ez, ensuite on cherche une racine n-ième de ,z puis on multiplie par les racines n-ièmes de l'unité 2i e k nk u avec 0,1,2,..., 1kn.Exemple
Trouver les racines 5
e de (1 i)z.Comme :
i4 (1 i) 2 e , donc une racine 5 e de z est : 1 1i545 0 i 10202 e 2 ez d'où les racines 5 e de z sont : 0 2 i20 510 2 e kk k zzu ave c