[PDF] [PDF] CALCUL INTEGRAL ET SERIES

[PDF] Résumé sur les Intégrales Impropres & exercices supplémentaires

(b) (Intégrales de Bertrand) Soit α, β ∈ R ∫ +∞ a 1 tα(ln t)β dt, (a > 0), est convergente si et seulement si (α > 1) ou (α = 1 et β > 1) (c) (Intégrale de Gauss)

[PDF] Intégrales convergentes

9 mai 2012 · que l'intégrale de Bertrand ∫ +∞ 2 t−1(ln(t))−2 dt, donc convergente 1 3 Fonctions positives, intervalle borné Nous traitons ici le cas où la 

[PDF] CALCUL INTEGRAL ET SERIES

4 2 2 R`egle d'équivalence pour les fonctions positives 39 4 2 3 Deux exemples classiques : intégrales de Bertrand et fonction Γ

[PDF] 15Intégrales-impropresCorrigéspdf - Optimal Sup Spé

1) Encadrer la fonction sous l'intégrale (2) Justifier le fait que fa admet une limite en 0 puis montrer que cette limite est finie 5 Intégrales de Bertrand

[PDF] 03 - Intégration Cours complet - cpgedupuydelomefr

Définition 6 1 : intégrale absolument convergente, fonction intégrable sur I Théorème 6 1 Théorème 7 4 : (hors programme) intégrales de Bertrand Théorème 

[PDF] Intégrales généralisées - SAMM

∞ 2 1 t(ln t)2 dt converge (intégrale de Bertrand) Donc d'apr`es le théor`eme de comparaison C diverge d Probl`eme de convergence en ∞ 

[PDF] Intégrales généralisées (ou impropres)

Vous avez défini en S3 l'intégrale de Riemann d'une fonction continue par morceaux sur un de Bertrand, on remarque que l'intégrale est convergente

[PDF] Chapitre 3 - Intégrales impropres

Exemple : Étudions la convergence des intégrales de Bertrand : ∫ +∞ 2 dt tα ( ln t)β o`u (α, β) ∈ R2 • Si α > 1 On choisit un réel γ de sorte que 1 < γ < α (par 

[PDF] INTÉGRALES IMPROPRES - rblldfr

Exemple 4 12 L'intégrale de Bertrand ˆ 1/2 →0 dt tα lntβ est convergente si, et seulement si, α < 1 ou (α = 1 et β > 1) 5 Intégrales absolument convergentes

[PDF] Exercices sur les intégrales généralisées

On a une intégrale de Bertrand ∞ ∫ 1 dx xn(lnx)−1qui converge si et seulement si n ≥ 2 Si n ≥ 1, intégrons par parties ∫ lnx xn dx On a ∫ lnx xn dx =

[PDF] intégrale de dirichlet

[PDF] intégrale de riemann

[PDF] intégrale généralisée bibmath

[PDF] intégrale généralisée pdf

[PDF] intégrale impropre

[PDF] intégrales multiples exercices corrigés

[PDF] integrated accessibility standards policy

[PDF] integrated accessibility standards policy template

[PDF] integrated risk management market

[PDF] integrated skills in english language teaching pdf

[PDF] integrating asp net core with angular

[PDF] integrating islam

[PDF] integrating sources quiz

[PDF] integration by parts

[PDF] integration of skills in english language teaching

Universite Blaise Pascal, U.F.R. Sciences et Technologies, Departement de Mathematiques et Informatique

Licence de mathematique, deuxieme annee, S3, U.E. 21MM31, annee 2016-2017CALCUL INTEGRAL ET SERIES

Notes de cours de Francois DUMAS

Table des matieres

1 Primitives d'une fonction continue sur un intervalle 1

1.1 Denition et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1 Notion de primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2 Existence de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3 Quelques exemples importants (a conna^tre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.4 Le cas des fonctions puissances (a conna^tre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.5 D'autres exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Methodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1 Linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.3 Primitivation par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3 Quelques complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.1 Cas des produits d'un polyn^ome par une exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.2 Cas des polyn^omes trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.3 Cas des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Integrale d'une fonction continue sur un segment 11

2.1 Denition et methodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.1 Integrale et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.2 Integrale et aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2 Methodes de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2.1 Linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 4

2.2.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2.3 Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2.4 Exemple d'application : formule de Taylor avec reste integral . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3 Proprietes de l'integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3.1 Positivite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 7

2.3.2 Formule de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3.3 Inegalite de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4 Quelques complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.1 Integrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.2 Approximation d'une integrale par la methode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.3 Approximation d'une integrale par la methode des trapezes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3 Rappels et complements sur le comparaison locale des fonctions 21

3.1 Fonctions equivalentes, fonction negligeable devant une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.1.1 Deux relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.1.2 Regles de calculs sur les equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.1.3 Regles de calculs sur la negligeabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.1.4 Remarque sur la comparaison des suites de reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2 Formule(s) de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2.1 Point de vue global : inegalite de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2.2 Point de vue local : theoreme de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2.3 Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.3 Developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

3.3.1 Notion de developpement limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3.2 Developpements limites de quelques fonctions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.3.3 Methodes de calculs de developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.3.4 Exemples d'applications de developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4 Integrales impropres33

4.1 Notion d'integrale convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.1.1 Cas d'un intervalle borne semi-ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.1.2 Cas d'un intervalle non borne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.1.3 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.1.4 Un exemple fondamental : integrale de type Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

4.2 Conditions susantes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.2.1 Regle de majoration pour les fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.2.2 Regle d'equivalence pour les fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.2.3 Deux exemples classiques : integrales de Bertrand et fonction . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.2.4 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.2.5 Exemples de synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5 Series numeriques45

5.1 Notion de serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.1.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.1.2 Terminologie des series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 6

5.1.3 Convergence d'une serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5.1.4 Premiers exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.1.5 Espace vectoriel des series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.2 Series a termes reels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.2.1 Critere de majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.2.2 Series de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.2.3 Regle de d'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.2.4 Regle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.3 Series numeriques a termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52
quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5