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for any constant c 2 Example: The inverse Laplace transform of U(s) = 1 s3 + 6
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1>sa (a 0) 21t>p 1>s3>2 1>1pt 1>1s tn 1>(n 1) 1>sn (n 1, 2, Á ) 1>s2 1>s f (t) F(s) arccot s 1 t sin vt arctan v s 2 t (1 cosh at) ln s2 a2 s2 2 t (1 cos vt) ln s2 v2 s2 1 t (ebt eat) Can a discontinuous function have a Laplace transform?
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d'inverser (facilement) une transformée de Laplace et la belle symétrie entre une fonction et sa transformée 1 2 Opérations sur les TL Les opération sur les TL
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Here φ(s) is said to be the Laplace transform of f(t) and it is denoted by L(f(t)), or L (f) 1 Find the Laplace transform of ft) = { et, 0 1 Ans L(f(t)) = ∫ ∞ 0 e−st dt cot−1(s) from above problem L−1[φ(s-a)] = eatL−1[φ(s)] (Shifting
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1 s2 , s> 0 (d) Again using the definition of Laplace transform we find L[et2 ] = ∫ ∞ 0 Since f(t) has exponential order at infinity,limA→∞ f(A)e−sA = 0 Hence, cosine functions are 2π−periodic whereas the tangent and cotangent func-
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7 s8 ) + 8(1s), s> 0 The Laplace transform of the product of two functions
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l'inverse du temps, donc une fréquence (puisque l'exponentiel dans 1 Transform ée fonctionnelle : c'est la transformée de Laplace d'une fonction Sa transformée de Laplace est : Le côté droit de la derni`ere équation devient donc :
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1 Exercice 3 Par construction graphique, calculer la transformée de Laplace du signal périodique suivant : 0 x3 Calculer les transformées de Laplace inverse des fonctions suivantes et dessiner Calculer sa transformée de Fourier h cot xsh Log ) ( inϕ ω +x s ) ( cos1ϕ ω ω + − x xch² 1 xth xtg x Logcos − xsh² 1
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s a > 7 2 2 (cosh ) , s L at s a = − ( ) s a > Proofs: 1 ( ) 0 0 1 1 , st st e L cot 0 2 t dt t ∞ − π = = ∫ P 7 Laplace Transform of Integral of f(t) 0 1 ( )
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