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[PDF] The Inverse Laplace Transform 1 If L{f(t)} = F(s), then the inverse

for any constant c 2 Example: The inverse Laplace transform of U(s) = 1 s3 + 6

[PDF] 68 Laplace Transform: General Formulas

1>sa (a 0) 21t>p 1>s3>2 1>1pt 1>1s tn 1>(n 1) 1>sn (n 1, 2, Á ) 1>s2 1>s f (t) F(s) arccot s 1 t sin vt arctan v s 2 t (1 cosh at) ln s2 a2 s2 2 t (1 cos vt) ln s2 v2 s2 1 t (ebt eat) Can a discontinuous function have a Laplace transform?

[PDF] 1 Les transformées de Laplace

d'inverser (facilement) une transformée de Laplace et la belle symétrie entre une fonction et sa transformée 1 2 Opérations sur les TL Les opération sur les TL 

[PDF] LAPLACE TRANSFORMS - Marian Engineering College

Here φ(s) is said to be the Laplace transform of f(t) and it is denoted by L(f(t)), or L (f) 1 Find the Laplace transform of ft) = { et, 0 1 Ans L(f(t)) = ∫ ∞ 0 e−st dt cot−1(s) from above problem L−1[φ(s-a)] = eatL−1[φ(s)] (Shifting

[PDF] Laplace Transforms - Arkansas Tech Faculty Web Sites

1 s2 , s> 0 (d) Again using the definition of Laplace transform we find L[et2 ] = ∫ ∞ 0 Since f(t) has exponential order at infinity,limA→∞ f(A)e−sA = 0 Hence, cosine functions are 2π−periodic whereas the tangent and cotangent func-

[PDF] The Laplace Transform

7 s8 ) + 8(1s), s> 0 The Laplace transform of the product of two functions

[PDF] la transformée de Laplace

l'inverse du temps, donc une fréquence (puisque l'exponentiel dans 1 Transform ée fonctionnelle : c'est la transformée de Laplace d'une fonction Sa transformée de Laplace est : Le côté droit de la derni`ere équation devient donc :

[PDF] TRAVAUX DIRIGES DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES 2 - L2EP

1 Exercice 3 Par construction graphique, calculer la transformée de Laplace du signal périodique suivant : 0 x3 Calculer les transformées de Laplace inverse des fonctions suivantes et dessiner Calculer sa transformée de Fourier h cot xsh Log ) ( inϕ ω +x s ) ( cos1ϕ ω ω + − x xch² 1 xth xtg x Logcos − xsh² 1

[PDF] 1 Les transformées de Laplace - LIPhy

d'inverser (facilement) une transformée de Laplace et la belle symétrie entre une fonction et sa transformée 1 2 Opérations sur les TL Les opération sur les TL 

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s a > 7 2 2 (cosh ) , s L at s a = − ( ) s a > Proofs: 1 ( ) 0 0 1 1 , st st e L cot 0 2 t dt t ∞ − π = = ∫ P 7 Laplace Transform of Integral of f(t) 0 1 ( )

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TRAVAUX DIRIGES

DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES

2

ème Année

Certains résultats sont donnés à titre indicatif sous réserve d'erreurs de dactylographie

MAP L2, TD No1

Transformée de Laplace

Exercice 0

Calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : a/ )(.ttg p1 b/ )(.!tn tn g 11 +np

Exercice 1

Calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : a/ )(.teatg ap-1 b/ )().(ttCosgw ²²w+pp c/ )().(ttSingw ²²pww+ d/ )t().t²(Sing ( )4²2+pp e/ )t().t²(Cosg ( )4²2² ppp

Exercice 2

a) Calculer la transformée de Laplace du signal suivant : 0 x0 t t XM b) Donnez l'expression temporelle de ce signal avec des fonctions " échelon ». Calculer de nouveau la transformée de Laplace de ce signal par construction graphique. pe.X)p(X p M

Ot--=1

Exercice 3

Par construction graphique, calculer la transformée de Laplace du signal périodique suivant : 0 x3 t t XM T pTp

Mee.pX)p(X----=113

t

Exercice 4

Par construction graphique, calculer la transformée de Laplace de y

0(t) et du signal

périodique y(t). y0 t T 2 YM T y t T 2 YM T ()4122T.pth.p.TY.)p(YM=

Exercice 5

Par construction graphique, calculer la transformée de Laplace de x

0(t) et du signal

périodique x(t). x0 2.t t t 3.t XM x 2.t t t 3.t XM 11

²1)(11²1)(22

2

0+++-=

'6

77-

'6 77-=
ppp M ppMeee pXpXeepXpXttt tttt. . .

Exercice 6

Par construction graphique, calculer la transformée de Laplace de x

0(t) et du signal

périodique x(t). 0 x0 t T 2 XM -X M T 0 x t T 2 XM -X M T ()4. 1 . 2

0TptanhPX)p(XePX)p(XMpMT=

'6 77-=
-t

Exercice 7

Par construction graphique, calculer la transformée de Laplace correspondant à une arche de sinusoïde x

0(t) puis la transformée de Laplace d'une sinusoïde redressée x(t).

2211
TpT p ee

²²ppX

+=ww

MAP L2, TD No2

Transformée inverse de Laplace

Calculer les transformées de Laplace inverse des fonctions suivantes et dessiner leurs évolutions temporelles.

1) Série 1

a) F(p) = pee pp221--+- f(t) = g(t) - 2g(t-1) + g(t-2) b) F(p) = 112++
P- pe p f(t) = sin(t) .g(t) + sin(t-p) .g(t-p) c) F(p) = 1 2 pe p f(t) = e2-t g(t-2) d) F(p) = 222++
P- ppe p f(t) = sin (t-P).e )(t-P g(t-p) e) F(p) = )1(1pep-+ ----=)n.t()n.t()t(f122gg f) F(p) = )1(122+- P- ppe p g) F(p) = )1()1(32 ppepe---- h) F(p) = ( )ppppepeee43213-----+--, dessinez la fonction f(t)

2) Calculer la transformée de Laplace inverse en utilisant le théorème de convolution :

F(p) =

)1)(1(12++pp f(t) = ( ) ( )()tetsintcos-++-2

1.g(t)

H(p) =

222
1 )p( w+ h(t) = ()( )) ::-tcosttsin www w 212.g(t)

3) Calculer la transformée de Laplace inverse en considérabt la dérivée d'une fonction de

Laplace :

F(p) = Arctan (

p1) f(t) = t)tsin(.g(t)

H(p) =

222
1 w+p h(t) = ()( )) ::-tcosttsin www w 212.g(t)

4) Série 2 : Utilisation de la décomposition en éléments simples

a) F(p) = )1(1+pp f(t) = (1-et-) .g(t) b) F(p) =

2312++

ppp f(t) = (-2.e t-+3.et.2-) .g(t) c) F(p) = 2312++ ppp f(t) = et2- .g(t) d) F(p) = )9)(2(12-+pp f(t) = )65(301233ttteee---+ .g(t) e) F(p) =

2)2)(1(1--pp f(t) = (et-et2 + tet2) .g(t)

f) F(p) = )1()2(12-+pp f(t) = )t()].(ee[tttg31912+--

Cas des racines complexes :

g) F(p) =

4)1(2)1(32++-+

pp f(t) = e()())t().tsintcos.(tg223-- h) F(p) =

2212++pp f(t) = sin(t) .et-.g(t)

i) F(p) =

5222++pp f(t) = sin(2.t) .et-.g(t)

MAP L2, TD No3

Application à la résolution des équations différentielles

1) Résoudre par le calcul symbolique les équations différentielles suivantes

a) ()()()() =ttyt'yt''yg 2 6--avec y(0)=1 et y'(0)=0 y(t) =(ttee3215854 31 ++- -) .g(t) b) ()()()-tetyt'yt''y 23-=+ avec y(0)=1 et y'(0)=0 y(t) =(ttteee232 23 61-+-) .g(t) c) ()()()t-etyt'yt''y2 2=-+ avec y(0)=0 et y'(0)=0 y(t) =(tttetee22 9 1 3 1 9

1----) .g(t)

d) ()()())() 1( '2''2tetytytyt-g+=++ avec y(0)=0 et y'(0)=0

2) Résoudre par le calcul symbolique le système suivant

()ttytxtx++=)(6)(7- ' )(10)(12- )('tytxty+= avec x(0)=y(0)=0. x(t) = (-5t -7 +9e t -2et2 ) .g(t) et y(t) = (-6t -9 +12et -3et2) .g(t) 3) a) En utilisant la transformée de Laplace, résoudre le système suivant : x'(t) = -x(t)+2.y(t)+ )t( g y'(t) = -2y(t)+x(t) avec x(0)=y(0)=0 b) Tracez l'évolution temporelle de la fonction : z(t) = x(t) + y(t)

MAP L2, TD No4

Application à l'étude des circuits électriques

Exercice 1 :

On considère le montage suivant :

E R L K 1 K2 avec R = 1W ; L = 100 mH ; E = 1V. Les interrupteurs K

1 et K2 sont initialement

ouverts. a) A t=0, le courant dans la self est nul, on ferme l'interrupteur K 1. Déterminer l'évolution temporelle du courant dans l'interrupteur. i(t) = )t().e(t.g101-- b) On suppose, maintenant que le courant dans la self a une valeur de

0.5A à l'instant initial (t=0). Calculer à nouveau l'évolution temporelle du

courant dans la résistance. i(t) = )()..5,01(.10tetg-- c) A t=60s, on ouvre l'interrupteur K

1 et on ferme K2. Déterminer

l'évolution temporelle du courant dans la résistance.

Exercice 2 :

Soit le montage suivant

E R L K2 C K1

R = 10 kW ; L = 10 mH ; C = 10 nf ; E = 10 V

a) A t=0, le courant dans la self est nul, on ferme l'interrupteur K 1, l'interrupteur K

2 reste fermé. Déterminer l'évolution temporelle du courant dans

le circuit. b) L'interrupteur K

1 étant fermé depuis un temps très long, on ouvre K2

brusquement. Déterminer l'expression du courant débité par le générateur.

Exercice 3 :

Soit le montage suivant

v1 R C v2 A t=0, la tension aux bornes du condensateur est nulle. On applique à l'entrée de ce montage un échelon d'amplitude E. a) Calculez et représentez l'évolution temporelle de v2(t) b) On applique maintenant à l'entrée de ce montage un créneau d'amplitude

E et de largeur

t. Calculez et représentez l'évolution temporelle de v2(t)

Exercice 4 :

On considère le montage suivant :

E R L K C La tension aux bornes du condensateur et le courant dans la self sont initialement nuls. L = 0.1 H ; C = 2.5 µF. On ferme brusquement l'interrupteur K

à t=0

-. Déterminer l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (v(t)) lorsque : a) R = 100 W ; v(t) = )t(.t.eRCEt.RCg21- b) R = 200 W ; v(t) = e).t.RLC(Sin.LE22D

D)t(.t.RCg21-

c) R = 50 W ; v(t) = e).t.RLC(Sh.LE2D

D)t(.t.RCg21-

Exercice 5 :

Pour la résolution des questions de cet exercice, on pourra considérer la simplification

suivante : 1101

100=, ainsi que les valeurs suivantes : RC.R21==w.

A t=0, la tension aux bornes du condensateur du montage suivant est nulle. i R C v K1 K2 100.R
K3

Montage

ie

1) A t=0, on applique à l'entrée de ce montage un courant constant i(t) =

I en ouvrant K2 et

en fermant K1 simultanément. K3 reste fermé.

1.1) Déterminez l'expression temporelle de la tension aux bornes du condensateur, en

utilisant la transformée de Laplace. Représentez graphiquement l'évolution temporelle de cette tension.

1.2) Donnez la valeur de cette tension en régime permanent.

1.3) Une fois le régime permanent atteint, on ouvre K3. Déterminer l'expression

temporelle de la tension aux bornes du condensateur.

Exercice 6 :

On considère le montage électrique de la figure 1 : C K1 L k m F k m 0 1cm Figure 1 Figure 2

Le courant dans la self est initialement nul et le condensateur est initialement chargé à 10V. L

= 100 mH ; C = 10 µF.

1) A t=0, on ferme l'interrupteur, déterminer l'évolution temporelle du courant dans la

bobine.

2) Tracez l'évolution temporelle du courant en précisant l'amplitude et la période.

3) On considère une masse m fixée sur un ressort de raideur k et que l'on tire pour la déplacer

de 1cm (figure 3). Au temps initial, la masse est immobile. La force de rappel exercée par le ressort est exprimée par : ()()tkxtf-=. On rappelle que l'équation fondamentale de la dynamique conduit à l'expression suivante :quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26