Analyse Fonctionnelle 4 2 Espaces de Hilbert Exercice 2 1 a) Montrer que dans tout espace de Hilbert H, on a l'identité du parallélogramme généralisée
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Master 1 de Math´ematiques
Universit´e d"Artois
Exercices d"Analyse Fonctionnelle
P. Lef`evre
Analyse Fonctionnelle.2
1 R´evisions de topologie.
Exercice 1.1 Cours :a) Soient?f?1=?
10|f(t)|dtet?f?∞= sup
t?[0,1]|f(t)|. Montrer que ces normes ne sont pas ´equivalentes surC([0,1]). b) Montrer que (C([0,1]),?.?1) n"est pas complet (Ind. : consid´erer par exemple une suite de fonctions qui vaut-1 sur [0,1/2-1/n] et 1 sur [1/2 + 1/n,1])Montrer que (C([0,1]),?.?∞) est complet.
c) Soient (E,?.?) et (F,?.??) deux e.v.n. Montrer que pour toutT? B(E,F), Exercice 1.2 In´egalit´es de H¨older et Minkowski. Soitp >0. On rappelle que?p={(an)?CN;?|an|p<+∞}et?(an)?p= (?|an|p)1p est alors d´efini sur?p.Pourp= +∞:?∞={(an)?CN; sup
n|an|<+∞}et?(an)?∞= sup n|an|est alors d´efini sur ∞. Enfin,c0={(an)?CN; limnan= 0}.Soientp,q≥1 tels que1p
+1q = 1. xp+1q yq.ii) En d´eduire l"in´egalit´e de H¨older : pour touta??pet toutb??q, montrer queab??1avec
b) En d´eduire l"in´egalit´e de Minskowski, c"est `a dire l"in´egalit´e triangulaire pour la norme
?.?p(Indication : on pourra par exemple utiliser l"in´egalit´e de H¨older apr`es avoir remarquer que
c) Montrer que l"espace?pmuni de la norme?.?pest un espace de Banach. Mˆeme question pour (c0,?.?∞). Exercice 1.3a) Montrer que dans un espace vectoriel norm´e, l"adh´erence d"une boule ouverteest la boule ferm´ee associ´ee et que l"int´erieur d"une boule ferm´ee est la boule ouverte associ´ee.
b) Le r´esultat est-il encore vrai dans un espace m´etrique ? Exercice 1.41) Soit (E,?.?) un espace vectoriel norm´e.Fun sous-espace deE. On consid`ere l"applicationN:E/F-→R+
x?-→infy?x?y? i) Montrer queNest une semi-norme surE/F. D´ecrire lesx?Etels queN(x) = 0. ii) A quelle condition surF, (E/F,N) est un espace vectoriel norm´e ? Sous cette condition, montrer que la surjection canonique est continue, puis que siEest un espace de Banach, alors E/Faussi (on rappelle qu"un espace est Banach ssi toute s´erie normalement convergente est convergente).2) Soitfune application lin´eaire de rang fini surE. Montrer quefest continue si et seulement
si Kerfest ferm´e.Analyse Fonctionnelle.3
Exercice 1.5On consid`ereCc(R) l"espace des fonctions continues surR`a support compact. Montrer que les normes?.?1,?.?2et?.?∞ne sont pas comparables sur cet espace. Exercice 1.6Montrer que l"application suivante est continue (on calculera la norme; montrer qu"elle n"est pas atteinte) ?:c0-→R u?-→? n?Nu n2 n+1 Exercice 1.7SoitKune partie non vide deRn, convexe, compacte, sym´etrique par rapport `a0 telle que 0 soit un point int´erieur. On veut montrer qu"il existe une normepsurRntelle queK
soit la boule unit´e deRnpourp. On introduit la jauge de Lorentz-Minkowski :p(x) = inf{t >0|xt ?K}. Montrer quepest une norme qui r´epond au probl`eme. Pour cela, i) Montrer quep(x) = 0 ssix= 0. ii) Pourxnon nul, montrer quep(x)-1x?K. iii) Pourxnon nul ett >0, montrer quep(tx)≥tp(x). En d´eduire :?x?Rn,?t?R, p(tx) =|t|p(x). iv) Montrer que sixetysont non nuls,x+yp(x)+p(y)?K. v) Conclure. Exercice 1.8On veut montrer que?∞est non-s´eparable. On suppose qu"il existe une partie d´enombrable dense (vn)n≥1. Soitxune suite `a valeurs 0 ou 1. On noteωx=◦B(x,121) Montrer quex?=x??ωx∩ωx?=∅.
2) Montrer que pour toutx? {0,1}N, il existe un entiern(x) tel quevn(x)?ωx. Justifier que
pourx?=x?, on an(x)?=n(x?).3) En d´eduire que{0,1}Ndevrait alors ˆetre d´enombrable et conclure (on pourra faire un
raisonnement via la diagonale de Cantor). Exercice 1.9Montrer qu"il existe une suite deL1convergente vers 0 mais qui ne converge pas presque partout vers la fonction nulle. Indication : on pourra consid´erer des fonctions car- act´eristiques de sous-intervalles dyadiques de [0,1] : les intervallesIj,n=?j2 n,j+ 12 n?o`un?NetAnalyse Fonctionnelle.4
2 Espaces de Hilbert.
Exercice 2.1a) Montrer que dans tout espace de HilbertH, on a l"identit´e du parall´elogramme g´en´eralis´ee ?n≥1,?x1,···,xn?H,2-n? b) En d´eduire que?pn"est pas isomorphe `a?2sip?= 2. Pour cela, on consid`erera un isomorphisme (bicontinu !)uentre?pet?2et on analysera son action sur la base canonique :ej= (δn,j)n≥1. Exercice 2.2SoientHun espace de Hilbert etFun sous-espace ferm´e deHnon r´eduit `a{0}. SoitPune projection deHsurF; montrer qu"on a l"´equivalence entre a)Pest la projection orthogonale surF. b)?P?= 1. (Indication : pour montrer (c)?(a), on pourra introduire le vecteury+εe-iθzo`uy?F, z?F?,ε >0 eteiθest le signe complexe de?P(z),y?.) Exercice 2.3a) SoitK?L2(R2). Montrer que l"op´erateurTK:L2(R)→L2(R), qui `a f?L2(R) associe? RK(x,y)f(y)dyest bien d´efini et born´e.
b) D´eterminerT?K.Exercice 2.4(DS 99)
1) SoientHun espace de Hilbert r´eel muni du produit scalaire (.|.), etTun endomorphisme
continu deH. On noteT?l"adjoint deT. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes : a)T?◦T=Id b)?x,y?H, (T(x)|T(y)) = (x|y). c)Test une isom´etrie2) SoitS(le shift) l"endomorphisme de?2d´efini parS(a) = (0,a0,a1,a2,···) o`ua= (an)n?N.
a) Montrer queSest une isom´etrie. b) CalculerS?.3) SiTest une isom´etrie, a-t-onT◦T?=Id?
Exercice 2.5 D´ecomposition de Halmos-Wold.(DS 98) SoitHun espace de Hilbert (r´eel ou complexe),Uune isom´etrie (i.e. un endomorphisme deHqui conserve la norme).1) Montrer queU(K) est un sous-espace ferm´e deH, pour tout ferm´eKdeH.
On d´efinitM=?
k?N?Uk(H) etNle suppl´ementaire orthogonal deU(H) dansH.2) Montrer queMest un sous-espace de Hilbert deHtel queU(M) =M.
3) Montrer que les espacesUk(N),k?N, sont deux `a deux orthogonaux.
En notantS=?
k?NUk(N), montrerHest la somme directe orthogonale deSetM:H= S ?M.Analyse Fonctionnelle.5
Exercice 2.6 Th´eor`eme de Lax-Milgram, approximation de Galerkin.soitHunespace de Hilbert r´eel. On consid`ere une forme bilin´eaireasurH, que l"on suppose continue et
1)a) D´emontrer qu"il existe un op´erateur continuTsurHtel que?x,y?H,a(x,y) =?T(x),y?
b) Montrer queT(H) est dense dansH. c) Montrer que pour toutxdansH,?T(x)? ≥α?x?. En d´eduire queTest injectif et queT(H) est ferm´e.
d) En d´eduire queTest un isomorphisme bicontinu (TetT-1continus) deHsur lui-mˆeme.2) SoitLune forme lin´eaire continue surH.
a) D´eduire des questions pr´ec´edentes qu"il existe un uniqueu?Htel que?y?H,a(u,y) = L(y). b) On suppose dans cette question queaest sym´etrique et on d´efinit Φ(x) =12 a(x,x)-L(x). D´emontrer que le pointuest caract´eris´e par la condition Φ(u) = minx?HΦ(x).3) On reprend les notations de 2)a). Soit (En)nune suite croissante de sous-espaces vectoriels
ferm´es deHdont la r´eunion est dense dansH. a) D´emontrer que pour tout entiern, il existe un uniqueun?Entel que?y?En,a(un,y) = L(y).V´erifier en particulier que siEnest de dimension finiednalors la d´etermination deunse ram`ene
`a la r´esolution d"un syst´eme lin´eaire de la formeAnUn=Yn, o`uAnest une matrice inversible
d"ordredn(qui est sym´etrique d´efinie positive siaest sym´etrique). d(u,En).En d´eduire que (un)nconverge versu.
Exercice 2.7 Polynˆomes d"Hermite.On consid`ere l"espace de HilbertH=L2(μ) o`uμest la mesure positive d´efinie surRpar ?f? K(R), μ(f) =1⎷2π? R f(x)e-x2/2dx i.e. dμ(x) =1⎷2πe-x2/2dx. a) D´emontrer que pour tout entiern, il existe un polynˆome unique˜Pnde degr´entel que d ndx n?e-x2/2?= (-1)ne-x2/2˜Pn. b) On note pour chaquen,Pn=1⎷n!˜Pn. D´emontrer que (Pn)nest une famille orthonormale deH.c) Soitf? K(R), d´emontrer qu"il existe une suite de polynˆomes (pn)ntelle que, uniform´ement
surR, on ait limn→+∞pn(x)e-x2/8=f(x)e-x2/8. (Indication : on utilisera le r´esultat de l"exercice 3 de la section approximation pour montrerque l"adh´erence dee-x2.R[X] est une alg`ebre puis on utilisera le th´eor`eme de Stone-Weierstrass.)
En d´eduire que (pn)nconverge versfdansH.
d) D´emontrer que (Pn)nest une base hilbertienne deH. Exercice 2.8 Op´erateurs de Hilbert-Schmidt.SoitHun Hilbert s´eparable de dimension infinie. On consid`ereT? B(H) et deux bases hilbertiennes deH: (en)n?Net (fn)n?N.Analyse Fonctionnelle.6
1) Montrer que
n?N?T(en)?2=? n?N?T(en)?2=? n?N?T(fn)?2On d´efinitHS(H) ={T? B(H);?
n?N?T(en)?2<∞}, et pour toutT?HS(H) : ?T?2=? n?N?T(en)?2? 122) Montrer queHS(H) est un sous-espace vectoriel strict deB(H); que?.?2est une norme sur
Exercice 2.9 Un th´eor`eme ergodique.SoitHun espace de Hilbert etT? B(H) avec1) D´emontrer que six?H, alorsTx=xsi et seulement si?T(x),x?=?x?2(utiliser le cas
d"´egalit´e dans l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz). En d´eduire que Ker(I-T) =Ker(I-T?).
2) D´emontrer que pour tout op´erateurSsurH, on a Im(S)?=Ker(S?). En d´eduire que
H=Ker(I-T)??Im(I-T).
3) On pose pour toutn?N,Tn=1n+ 1?I+T+...+Tn?. Montrer que pour toutx?H,
limn→+∞Tn(x) =P(x) o`uPest la projection orthogonale sur Ker(I-T). Indication : on consid`erera
successivement les casx?Ker(I-T),x?Im(I-T) etx?Im(I-T). Exercice 2.10 Lemme de Kirszbraun.On consid`ere un espace de HilbertHde dimension une famille de r´eels positifs ou nuls. On suppose queB(ai,ri)?=∅.
On veut montrer que
B(bi,ri)?=∅.
Pour cela, on fixepdans?
B(ai,ri)?=∅et on peut supposer quepn"est pas l"un desai (pourquoi ?), ce que l"on fait.1) Justifier qu"il existeq?Htel que?x?H, Λ(x)≥λ, o`uλ= Λ(q).
pourquoi ? Montrer queq?Conv{b1,···,bk}.(Indication : soitπla projection sur le convexe ferm´eConv{b1,···,bk}, on supposera que
q?=π(q) puis on introduira pourt >0 le vecteurqt=q+t(π(q)-q).)3) Conclure. (Indication : on introduiraei=q-bietdi=p-aipuis on montrera que
?ei,ej?>?di,dj?.)Analyse Fonctionnelle.7
3 Approximation.
Exercice 3.1SoitKun compact m´etrique. Montrer que (C(K),?.?∞) est s´eparable Indication : choisir une partie d´enombrable dense (xn)n≥1dansKpuis utiliser l"alg`ebre en- gendr´ee par les fonctionsf0(t) = 1 etfn(t) =d(t,xn) pourn≥1. K1×...×Knmuni de la topologie produit; et pouru1(resp.···,un) continues surK1(resp.
···,Kn) `a valeurs r´eelles, la fonction Montrer que l"ensemble des fonctions ainsi obtenues engendre un sous-espace (not´e classique- mentC(K1)? ··· ?C(Kn)) dense dans (C(K),?.?∞). (remarque : encore vrai pour un produit infini). Montrer que c"est une partie stricte deC(K) d`es quen≥2. Indication : le faire pourn= 2 en consid´erant (x,y)?→exp(xy). Exercice 3.3 Approximation de Laguerre.C0(R+) est l"espace des fonctions continues sur R+`a valeurs r´eelles qui converge vers 0 en l"infini. On rappelle la version suivante du th´eor`eme
de Stone-Weierstrass : toute sous-alg`ebre s´eparante deC0(R+) est dense. Pour tout entiern≥1, on noteen(x) = exp(-nx). a) Pour tout entiern, on notefn=e2-e1pno`upn(x) =n? k=0(-x)kk!. Montrer que (fn)n converge vers 0 uniform´ement surR+(Indication : on pourra utiliser la formule de Stirling : n!≂⎷2πnn+1/2e-n). On noteVle sous-espace{e1.p;p?R[X]} ?C0(R+).On veut montrer queVest dense dans (C0(R+),?.?∞). b) Montrer que pour tout entiern≥1,en?¯V(pour cela, on raisonnera par r´ecurrence et on appliquera l"hypoth`ese de r´ecurrence `ae2en (n+ 1)x/2 puis `aenenx/2). c) Conclure. Indication : on pourra introduire l"espace vectoriel engendr´e par lesen, o`u n?N\ {0}. d) Montrer que pourp≥1,Vest dense dansLp(R+). Exercice 3.4 M´ethode de Korovkin.Soiten:x?[0,1]?→xn. Soientf?C([0,1]) etε >0.1)a) En utilisant l"uniforme continuit´e def, montrer qu"il existeδ >0 tel que
2· On consid`ere une suite (Tn) d"endomorphismes deC([0,1]) v´erifiant : (i)?f≥0,Tn(f)≥0 et (ii)Tn(ei)→eipouri? {0,1,2}. b) Montrer queTnest croissant puis, avec 1.a., que pour toutf?C([0,1]) et tousx,y?[0,1] : 2?T n(e2)(x)-2yTn(e1)(x) +y2Tn(e0)(x)?. c) En d´eduire que pour toutf?C([0,1]), (Tn(f))nconverge versfdansC([0,1]).Analyse Fonctionnelle.8
2) Pour toutn?N, on d´efinit le polynˆome de BernsteinBn(f)(X) =n
k=0Cknf(kn )Xk(1-X)n-k. Montrer que les polynˆomes de Bernstein (associ´es `af) convergent uniform´ement versfsur [0,1].3) Adapter les r´esultats du 1) (et les preuves) dans le cas de fonctions p´eriodiques de p´eriode
1 avece1= cos ete2= sin. On donnera alors une nouvelle d´emonstration du th´eor`eme de Fejer
K n?f→fo`uKnest la moyenne de C´esaro des fonctionsDk(x) =? Indication : on montrera quef?→Kn?fest un op´erateur positif (i.e. v´erifie (i)). Puis onAnalyse Fonctionnelle.9
4 Fourier sur le tore.
Exercice 4.1soienta?C\Zetf(t) = exp(2iπat) pourt?[-12 ,12 [, prolong´ee par 1-p´eriodicit´e. Calculer les coefficients de Fourier defpuis montrer queπcotan(πa) =1a
n=12aa2-n2·
En faisant un D.L. ena= 0 `a l"ordre 3 de cotan(πa)-1πa , en d´eduire les sommes n≥11n2=π26
n≥11n4=π490
Dans tous les exercices suivants, les fonctions continues sont 1-p´eriodiques. Exercice 4.2On rappelle que pour un entierNfix´e, le noyau de Dirichlet d"ordreNestDN= N? j=-Ne j, o`uej(t) = exp(2iπjt). Le noyay de F´ej`er d"ordreNestFN=1N N n=0D n. a) Donner une expression simplifi´ee deDNetFN. b) Montrer que pourf?L1,FN?fconverge versfdansL1. c) Montrer que l"application deL1dansc0qui `afassocie ses coefficients de Fourier, est injective. Exercice 4.3Soitfune fonction continue sur [0,1] et de classeC1par morceaux. a) Montrer que pour toutn?Z, on a 2iπnˆf(n) =?f?(n). b) En d´eduire quefest somme de sa s´erie de Fourier et que celle-ci converge normalement. Exercice 4.4 Th´eor`eme de Bernstein.Soitfune fonction H¨old´erienne d"ordreα >0 i.e. sup ?|f(x)-f(y)||x-y|α;x?=y?<∞. a) En notantfx(t) =f(x+t) o`ux,t?R, calculer?fx(n) en fonction deˆf(n) pour toutn?Z. b) Montrer qu"il existeC >0 tel que pour toutj?N, on aC2-2jα≥?
2(Indication : on s"int´eressera `a?f-fx?2avecxbien choisi et on utilisera la propri´et´e H¨old´erienne
def) c) Montrer que la suite des coefficients de Fourier defest dans?p(Z) pourp >22α+ 1. (Indication : on appliquera l"in´egalit´e de H¨older)Analyse Fonctionnelle.10
Exercice 4.5 In´egalit´e isop´erim´etrique.Soit Γ un arc de Jordan dansCde classeC1par
morceaux (continue ferm´ee sans point double) et de longueurLenfermant une surface d"aireS. Alors on veut montrer queL2≥4πSet que l"on a ´egalit´e dans le cas d"un cercle. On peut supposerL= 1 (pourquoi ?) et on param`etre Γ par l"abscisse curvilignes(donc Γ ={(x(s),y(s))|s?[0,1]}). On peut aussi supposer ˆx(0) = 0 (pourquoi ?). a) ExprimerSetL(= 1) en fonction de d"int´egrales simples de la variables(on pourra utiliser la formule de Green-Riemann pour exprimerS).b) Etablir l"in´egalit´e d"Hurwitz : soitfune fonction de classeC1sur [0,1] `a valeurs complexes.
Alors ?10|f(x)|2dx-????
1 10|f?(x)|2dx.
On ´etudiera le cas d"´egalit´e.
c) Conclure (Indication : on minoreraL2-4πSpar 0 en ´etudiant le cas d"´egalit´e). Exercice 4.6 Equation de la chaleur (cas d"une barre finie).On consid`ere une fonction h C1sur ]0,1[. On cherche `a trouveru, d´efinie sur [0,1]×R+etC∞sur [0,1]×]0,+∞[, telle que
u(0,t) =u(1,t) = 0 pourt≥0u(x,0) =h(x) pourx?]0,1[ ∂u∂t -∂2u∂x2= 0 dans ]0,1[×]0,+∞[.
a) Montrer que les solutions `a variables s´epar´ees :u(x,t) =f(x)g(t) de l"´equation de la chaleur ∂u∂t -∂2u∂x2= 0 dans ]0,1[×]0,+∞[ avecu(0,t) =u(1,t) = 0 pourt >0 sont de la forme
u n(x,t) =ansin(nπx)e-n2π2to`un≥1. Indication : les fonctionsfetgsont chacune solutions d"une ´equation diff´erentielle. b) R´esoudre le probl`eme de la chaleur. Indication: on "prolongera" d"une parthen unefonction impaire 2-p´eriodique surR. D"autre part, on utilise la m´ethode de superposition, i.e. on
somme la famille de solutions obtenues au a. c) Pourx?]0,1[, montrer que limt→0+u(x,t) =h(x) et que limt→+∞u(x,t) = 0.Analyse Fonctionnelle.11
5 Convolution et Fourier surR
Exercice 5.1Calculer le carr´e pour la convolution de la fonction indicatrice de [0,1]. Exercice 5.2 In´egalit´e d"Young.Soientp,q?[1,∞] tels que1p +1q ≥1. Soientf?Lp(R) et g?Lq(R), montrer quefetgsont convolables et quef?g?Lr(R) avec1r =1p +1q -1 et queIndication : on commencera par ´ecrire que|f|=|f|p/r·|f|1-p/ret|g|=|g|q/r·|g|1-q/r. On utilisera
l"in´egalit´e de H¨older avec les exposants conjugu´esretr?, puis avecpr-1r-petqr-1r-q.