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Cours et

Exercices

Première année du cycle du

Baccalauréat international

section - sciences expérimentales

Préparé par AZIZ AFAADAS Professeur

d™enseignement secondaire qualifiant au lycée OUED SAKIA EL HAMRA

ES - SMARA

Sommaire

Chapitre 1........................................................................ ............................................................................................... 1 La logique ........................................................................ ................. 1 Exercices ........................................................................ ............... 9 Chapitre 2........................................................................ ............................................................................................. 12

Généralités sur les fonctions numériques ........................................................................

..................................................... 12 Exercices ........................................................................ ............. 24 Chapitre 3........................................................................ ............................................................................................. 25 Barycentre dans le plan ........................................................................ ...................................................................................... 25 Exercices ........................................................................ ............. 32 Chapitre 4........................................................................ ............................................................................................. 46

Analytique du produit scalaire ........................................................................

........................................................................ 46 Exercices ........................................................................ ............. 57 Chapitre 5........................................................................ ............................................................................................. 49

Application du produit scalaire ........................................................................

........................................................................ 49 Exercices ........................................................................ ............. 56 Chapitre 6........................................................................ ............................................................................................. 83 Les suites numériques ........................................................................ ........................................................................................ 83 Exercices ........................................................................ ............. 90 Chapitre 7........................................................................ ........................................................................................... 102 Trigonométrie ........................................................................ ...... 102 Exercices ........................................................................ ........... 109 Chapitre 8........................................................................ ........................................................................................... 112 La rotation dans le plan ........................................................................ ................................................................................... 112 Chapitre 9........................................................................ ........................................................................................... 117

Limite d'une fonction numérique ........................................................................

................................................................... 117 Exercices ........................................................................ ........... 123 Chapitre 10 ........................................................................ ........................................................................................ 139

La dérivabilité d'une fonction numérique ........................................................................

................................................. 139 Exercices ........................................................................ ........... 152 Chapitre 11 ........................................................................ ........................................................................................ 158

Etude des fonctions numériques ........................................................................

..................................................................... 158

Exercices ........................................................................................................

........................................................................... 167 Chapitre 12 ........................................................................ ........................................................................................ 191 Vecteurs de l'espace ........................................................................ ......................................................................................... 191 Chapitre 13 ........................................................................ ........................................................................................ 194

Droites et plans dans l'espace ........................................................................

........................................... 194

Exercice

s ........................................................................................................

........................................................................... 209 ................ 221 1. Uneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.

Exemples :

-"Il pleut.» -"Je suis plus grand que toi.» -" 2Å2AE4 » -" 2£3AE7 » construites à partir dePet deQ.

L"opérateur logique "et»

L'assertion "PetQ» est vraie siPest vraie etQest vraie. L'assertion "P et Q» est fausse sinon.

On résume ceci en unetable de vérité:

P\QVF VVF FF F

FIGURE1 - Table de vérité de "P et Q»

Par exemple siPest l'assertion "Cette carte est un as» etQl'assertion "Cette carte est cœur» alors

l'assertion "P et Q» est vraie si la carte est l'as de coeur et est fausse pour toute autre carte.

L"opérateur logique "ou»

L'assertion "PouQ» est vraie si l'une des deux assertionsPouQest vraie. L'assertion "PouQ» est fausse si les deux assertionsPetQsont fausses.

On reprend ceci dans la table de vérité :

P\QVF VVV FV F

SiPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est coeur» alors l"assertion

"PouQ» est vraie si la carte est un as ou bien un coeur (en particulier elle est vraie pour l"as de

coeur).Remarque

Pour dénir les opérateurs "ou», "et» on fait appel à une phrase en français utilisant les

motsou,et! Les tables de vérités permettent d"éviter ce problème.

La négation "non»

L"assertion "nonP» est vraie siPest fausse, et fausse siPest vraie.PV FnonPF V

FIGURE3 - Table de vérité de "non P»

L'im?licationAE)

La dénition mathématique est la suivante :

L"assertion "(non P) ou Q» est notée "PAE)Q».Sa table de vérité est donc la suivante :

P\QVF VVF FVV

FIGURE4 - Table de vérité de "PAE)Q»

L"assertion "PAE)Q» se lit en français "P implique Q». Elle se lit souvent aussi "si P est vraie alors Q est vraie» ou "si P alors Q».

Par exemple :

-" 0ÉxÉ25AE)pxÉ5 » est vraie (prendre la racine carrée). -"x2]¡1,¡4[AE)x2Å3x¡4È0 » est vraie (étudier le binôme). -" sin(µ)AE0AE)µAE0 » est fausse (regarderpourµAE2

¼par exemple).

-p2AE

2 » est vraie! Eh oui, siPest fausse alors l"assertion "PAE)Q» est" 2Å2AE5AE)

toujours vraie.

L'équivalence()

L"

équivalenceest dénie par :

"P()Q» est l"assertion "(PAE)Q) et (QAE)P)».

On dira "Pest équivalent àQ» ou "Péquivaut àQ» ou "Psi et seulement siQ». Cette assertion

est vraie lorsquePetQsont vraies ou lorsquePetQsont fausses. La table de vérité est :P\QV FVVF FF V

Exemples :

-Pourx,x??R, l"équivalence "x·x?=0??(x=0ou x?=0) » est vraie.

-Voici une équivalencetoujours fausse(quelque soit l"assertionP) : "P??non(P) ».On s"intéresse davantage aux assertions vraies qu"aux fausses, aussi dans la pratique et en dehors

de ce chapitre on écrira "P??Q» ou "P=?Q» uniquement lorsque ce sont des assertions vraies. Par exemple si l"on écrit "P??Q» cela sous-entend "P??Qest vraie». Attention rien ne dit quePetQsoient vraies. Cela signie quePetQsont vraies en même temps ou fausses en même temps.Proposition 1 SoientP,Q,Rtrois assertions. Nous avons les équivalences (vraies) suivantes :

1.P??non(non(P))

2. (P et Q)??(Q et P)

3. (P ou Q)??(Q ou P)

4.non(P et Q)??(non P)ou(non Q)

5.

6.P et(Q ou R)non(P

ou Q)??(non P)et(non Q)

¡¢??(P et Q)ou(P et R)7.

¡P ou(Q et R)¢??(P ou Q)et(P ou R)

8. "P=?Q»??"non(Q)=?non(P) »Démonstration

Voici des exemples de démonstrations :

4. Il suft de comparer les deux assertions "non(P et Q) » et " (non P)ou(non Q) » pour toutes les valeurs possibles dePetQ. Par exemple siPest vrai etQest vrai alors "PetQ» est vrai donc "non(P et Q)» est faux; d"autre part (nonP) est faux, (nonQ) est faux donc "(non P)ou(non Q)» est faux. Ainsi dans ce premier cas les assertions sont toutes les deux fausses. On dresse ainsi

les deux tables de vérités et comme elles sont égales les deux assertions sont équivalentes.

P\QVF VFV FV V FIGURE6 - Tables de vérité de "non(P et Q) » et de " (non P)ou(non Q) » 6.

On fait la même chose mais il y a trois variables :P,Q,R. On compare donc les tables de vérité

¢pd"abord dans le cas oùPest vrai¡(à gauche), uis dans le cas oùPest faux (à droite). Dans les

deux cas les deux assertions " P et(Q ou R) » et " (P et Q)ou(P et R) » ont la même table de vérité donc les assertions sont équivalentes.Q\RV FVVV FVF Q\RVF VFF FFF

8. Par dénition, l"implication "P=?Q» est l"assertion "(non P) ou Q».

Donc l"implication "non(Q)=?non(P)» est équivalente à "non(non(Q))ou non(P)» qui équivaut

encore à "Q ou non(P) » et donc est équivalente à "P=?Q». On aurait aussi pu encore une

1.2. Quanticateurs

Le quanticateur8: "pour tout»Une assertionP?eut dé?endre d'un ?aramètrex, ?ar exem?le "x?Ê1 », l'assertionP?x? est vraie

ou fausse selon la valeur dex.

L'assertion

8x2E P?x?

est une assertion vraie lorsque les assertionsP?x? sont vraies ?our tous les élémentsxde l'en- sembleE. On lit "Pour toutxappartenant àE,P?x? », sous-entendu "Pour toutxappartenant àE,P?x?est vraie».

Par exem?le :

-"8x2[1,Å1[ ?x?Ê1? » est une assertion vraie. -"8x2R?x?Ê1? » est une assertion fausse. -"8n2Nn?nÅ1?est divisible par? » est vraie.

Le quanticateur9: "il existe»

L'assertion

9x2E P?x?

est une assertion vraie lorsque l'on ?eut trouver au moins unxdeE?our lequelP?x? est vraie. On lit "il existe x appartenant à E tel que P?x??soit vraie)».

Par exem?le :

-"9x2R?x?x¡1?Ç?? » est vraie ??ar exem?lexAE1 ?vérie bien la ?ro?riété?.- "9n2Nn?¡nÈn» est vraie ?il y a ?lein de choix, ?ar exem?lenAE3 convient, mais aussi nAE1? ou mêmenAE1??, un seul suft ?our dire que l'assertion est vraie?. -"9x2R?x?AE¡1? » est fausse ?aucun réel au carré ne donnera un nombre négatif?.

La négation des quanticateurs

La négation de "8x2E P?x? » est "9x2E non P?x? » .

Par exemple la négation de "8x2[1,Å1[ ?x?Ê1? » est l'assertion "9x2[1,Å1[ ?x?Ç1? ». En

effet la négation dex?Ê1 est non?x?Ê1? mais s'écrit ?lus sim?lementx?Ç1. La négation de "9x2E P?x? » est "8x2E non P?x? ».Voici des exemples : -La négation de "9z2C?z?ÅzÅ1AE?? » est "8z2C?z?ÅzÅ16AE?? ». -La négation de "8x2R?xÅ12Z? » est "9x2R?xÅ1ÝZ? ». -Ce n'est ?as ?lus difcile d'écrire la négation de ?hrases com?lexes. Pour l'assertion :

8x2R9yÈ? ?xÅyÈ1??

sa négation est

9x2R8yÈ?

Remarques

L'ordre des quanticateurs est très important. Par exemple les deux phrases logiques

8x2R9y2R(xÅyÈ0) et9y2R8x2R(xÅyÈ0).sont différentes. La première est vraie, la seconde est fausse. En effet une phrase logique se lit de

gauche à droite, ainsi la première phrase afrme "Pour tout réelx, il existe un réely?qui ?eut donc

dé?endre dex? tel quexÅyÈ0.» (par exemple on peut prendreyAExÅ1). C'est donc une phrase

vraie. Par contre la deuxième se lit : "Il existe un réel y, tel que ?our tout réelx,xÅyÈ0.» Cette phrase est fausse, cela ne peut pas être le mêmeyqui convient pour tous lesx!

On retrouve la même différence dans les phrases en français suivantes. Voici une phrase vraie

"Pour toute ?ersonne, il existe un numéro de télé?hone», bien sûr le numéro dépend de la personne.

Par contre cette phrase est fausse : "Il existe un numéro, ?our toutes les ?ersonnes». Ce serait le

même numéro pour tout le monde!

Terminons avec d'autres remarques.

Quand on écrit "9x2R(f(x)AE0) » cela signie juste qu'il existe un réel pour lequelf s'annule. Rien ne dit que cexest unique. Dans un premier temps vous pouvez lire la phrase ainsi : "il existeau moinsun réelxtel quef(x)AE0 ». An de préciser quefs'annule en une unique valeur, on rajoute un point d'exclamation : 9 !x2R(f(x)AE0). Pour la négation d'une phrase logique, il n'est pas nécessaire de savoir si la phrase est

fausse ou vraie. Le procédé est algorithmique : on change le "?our tout» en "il existe» et

inversement, puis on prend la négation de l'assertionP.

Pour la négation d'une proposition, il faut être précis : la négation de l'inégalité stricte "Ç»

est l'inégalité large "Ê», et inversement. Les quanticateurs ne sont pas des abréviations. Soit vous écrivez une phrase en français : "Pour tout réel x, si f(x)AE1alors xÊ0.» , soit vous écrivez la phrase logique :

8x2R(f(x)AE1AE)xÊ0).

Mais surtout n'écrivez pas "8xréel, sif(x)AE1AE)x?ositif ou nul». Enn, pour passer d'une ligne à l'autre d'un raisonnement, préférez plutôt "donc» à "AE)». -Il est défendu d'écrire69,6AE). Ces symboles n'existent pas!Mini-exercices 1. Écrire la table de vérité du "ou exclusif». (C'est leoudans la phrase "fromage ou dessert», l'un ou l'autre mais pas les deux.)

2. Écrire la table de vérité de "non ?P et Q?». Que remarquez vous?

3. Écrire la négation de "PAE)Q».

4. Démontrer les assertions restantes de la proposition1.

5. Écrire la négation de "

¡¢P et(Q ou R) ».

6. Écrire à l'aide des quanticateurs la phrase suivante : "Pour tout nombre réel, son carré

2. Raisonnements

Voici des méthodes classiques de raisonnements.

2.1. Raisonnement directOn veut montrer que l'assertion "P=?Q» est vraie. On suppose quePest vraie et on montre

qu'alorsQest vraie. C'est la méthode à laquelle vous êtes le plus habitué.Exemple 1

Montrer que sia,b?Qalorsa+b?Q.Démonstration

Prenonsa?Q,b?Q. Rappelons que les rationnelsQsont l'ensemble des réels s'écrivantqpavec p?Zetq?N?.? q avecp??Zetq??N?.Alorsa=qppour un certainp?Zet un certainq?N?. De mêmeb=p

Maintenanta+b=pq

+p? q ?=pq?+qp?qq

Or le numérateurpq?+qp?est bien un élément deZ; le dénominateurqq?est lui un élément de

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