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SciencesPhysiques-ATS

IÉnoncéetexemple

ThéorèmedeGauss:

D SG Q int par"0: =ZZ S G~

E:d~s=Qint

"0 avecQint=RR S

PSfragreplacements

d~Sd~S d ~Sd~S~ E~E E~ E >0>0(maximal)<0=0 ?q ~er ?M ~E(M)d~s parM).

4"0r2.

ˆOnendéduit

=ZZ S Gd=ZZ S Gqds

4"0r2=q4"0r2ZZ

S

Gds=q4"0r24r2=q"0

1

IIUtilisationpourlecalculde~E

1.Méthode

degrédesymétrieélevé.

Étapesàsuivre:

dequellesvariablesdépend~E.

2.Exempleducylindreinni

cf.coursmanuscritpourlecalcul cf.coursmanuscritpourlecalcul

2.c.casduluniformémentchargé(>0)

cf.coursmanuscritpourlecalcul

3.Exempleduplaninni

Déterminationde~E:

¬Étudedessymétriesetinvariances

PSfragreplacements

Mx y z~

E(z)~E(z)=~E(z)

~n~n~n S S

1S2SlatS

G O

E(x;y;z)=E(z)

symétriedonc~E=E:~ez.

ˆConclusion:

E(x;y;z)=E(z):~ez

ChoixdelasurfacedeGauss:cylindredebaseS

etdelongueur2zpassantparM.

®ApplicationduthéorèmedeGauss:

ˆCalculde=1+lat+2

?surSlat,~E:d~s=0d'où lat=0 2 1=ZZ S

1E(z):ds=E(z)ZZ

S

1ds=E(z):S

etE(z)=E(z)=Cted'où 2=ZZ S

2E(z):ds=E(z):S

Onendéduit

=2E(z):S

ˆCalculdeQint:Qint=S.

=Qint "0()2E(z):S=S"0()E(z)=2"0

Onendéduit:~E=

2"0~ez

selon~ezsiz>0etselon~ezsiz<0.

PSfragreplacements

12~ E1~

E2~n1!2

E2~E1=

"0~n1!2 orientéede1vers2:lacomposantetangen- surfacechargée. continu.

Remarque:

Ici,Vnedépendquedez,soit

E z=E=dV dz=2"0()V=2"0z 3

TracésdeE(z)etV(z):

OE(z) z 2"0 2"0 OV(z) z pente+2"0pente2"0

2cassontpossibles:

(P)=0cariln'ypasdechargeenP(vide)

Chargetotalecontenuedanslevolume:

Q=RRR (P)d

SionappliquelethéorèmedeGauss:RR

S~E:d~S=Q

"0=RRR (P)"0d taireassociéàcepointestestnonnul.

PSfragreplacements

MM div ~E6=0div~E=0 ZZ S ~E:d~S=ZZZ div~E:d div ~E=@Ex @x+@Ey@y+@Ez@z 4 div~E:d=RRR (P) "0d ,div~E= "0 dechargeD: 1 2 3

E(M)=ZZZ

D d~EP(M)=ZZZ Ddq

4"01r2PM~uPMavecdq=(P):d

ChoixdelasurfaceferméedeGaussS

lasurfaceferméedeGaussS.ZZ S ~E(M):d~SM=Qint "0avecQint=ZZZ dq=ZZZ (P):d

E(M)=!gradV(M)

div ~E(M)= "0 5

ÉlectrostatiqueGravitation

SourcesdechampChargesxesMasses

LoideForce

~FP!M=14"0q

PqMr2~uP!M

~FP!M=GmPmMr2~uP!M

ChampproduitparP

enM ~E(M)=~FP!MqM~G(M)=~FP!MmM

Circulationconserva-

tivecarlaforcedé- rived'uneénergiepo- tentielleI ~E:d~r=0I ~G(M):d~r=0

Potentiel(àune

constanteprès)

V=q4"0rV=Gmr

ThéorèmedeGaussZZ

S G~

E:d~s=Qint

"0 ZZ S G~

G:d~s=4GMint

unités. 6

VILescondensateurs

soitd'unchampélectrique soitd'unchampmagnétique soitd'ungradientdetempérature métauxélectrons

1.a.Champetpotentieldansunconducteur

~0). aucunmouvementordonné deporteursdecharges culaire.) statique.

OrdV=~E:d~r=

~E=!gradV=~0=)V(M2conducteur)=Cst

1.b.Charged'unconducteur

PSfragreplacements

ConducteurS

intérieureauconducteur.Onadonc: ZZ S ~E:d~S=Qint "0=0 nulle.

EquationlocaleduthéorèmedeGauss:

8M2Conducteuronadiv~E=

"0=0=)(M)=0 7

ConducteurenéquilibreS

G~n dS E int=0~ E

V=Cst,

sasurfaceestdoncaussi orthogonalàcette surface.

ThéorèmedeCoulomb:~E(P)=

"0~n

Lechampélectrostatiqueestnul:~E=~0

Iln'yaucunechargeélectrique:=0

ˆAlasurface:

"0~nThéorèmedeCoulomb

2.Lecondensateur

2.a.Inuenceélectrostatique

etdeleurpositionrelative.

L'équilibrequis'établittraduitun

nullesalors

Q=Cteetlepotentielestmodié

lachargedechaqueconducteur.

PSfragreplacements

VvarieQestconstant

cationdesonpotentielVi. 8

PSfragreplacements

Vestconstant(générateur)Qvarie

2.b.Inuencetotaleoupartielle

DeuxconducteursAetBsontenin-

uencepartielle quandtoutesleslignesde champissuesdeAn'aboutissentpassur

Betvice-versa.

DeuxconducteursAetBsonten

in- uencetotale quandtoutesleslignesde champissuesdeAaboutissentsurBet pratiquesatisfaitequandBentoureA.

2.c.Capacitéd'uncondensateur

Denitions:Condensateuretcapacité

PSfragreplacements

U V 2V 1>V2 +Q

QOnappelle

U=V1V2=R1

2dVentrelesarmaturesestappelé

capacitéducondensateur

C.Unité:Farrad:F

Q=Q1=C:U=C:(V1V2)

mittivité"="r"0. niveauélectrique. importante. plusdecharges

ˆUncondensateurpermetdoncde

formed'

énergieélectrostatique.

9 engénérallethéorèmedeGauss.

3.OndéterminelerapportC=Q1

dusystème.

Exemple:Lecondensateurplan

PSfragreplacements

U=V1V2(V1>V2)

P

1(V1)P2(V2)S

e~exMx+Q-Q E(M) leschargesopposées:+Q=:SetQ=:S rèmedesuperposition: ~E(M)=~E1+~E2=2"0~ex+2"0(~ex) ~E(M)= "0~ex

ˆdemodule

"0=QS:"0 tielsdécroissants

Eext(M)=~E1;ext+~E2;ext=

2"0~ex2"0~ex=~0

10

C12=V1V2=U=Z

e

0~E:d~r=Z

e

0"0:dx:~ex:~ex

U= "0:[x]e

0=e"0=QeS"0

s'exprime: C="S e="0"rSe deuxarmaturesd'uncondensateur.

2.d.Énergied'uncondensateur

décharge. E= 1

2QU=12CU2=12Q

2C avecU=V1V2enVolt;CenFarrad;QenCoulomb u e=dEe d="0~E22unité:J.m3 E=ZZZ dEe=ZZZ u e:d=ZZZ"0~E22dunité:J 11 trostatique.

E=ZZZ"0~E22d=12CU2

,C=ZZZ"0~E2

U2d=ZZZ"0d2d="0:S:dd2="0:Sd

carpouruncondensateurplan:E=U d,U=E:d

2.f.Groupementsdecondensateurs

PSfragreplacements

QUQ1Q2

C

1C2CˆCondensateursenparallèle:

dtdonc onpeutécrire: dQ dt=dQ1dt+dQ2dt,Q=Q1+Q2 donc:

U:C=U1C1+U2C2,C=C1+C2

PSfragreplacements

QQ Q QUC 1 C 2C U 1U

2ˆCondensateursensérie:

quepouruncondensateurU=Q

Cdonconpeutécrire:

Q

C=Q1C1+Q2C2

Q

C=Q1C1+Q2C2,1C=1C1+1C2

12

Tabledesmatières

IÉnoncéetexemple

IIUtilisationpourlecalculde~E

1.Méthode

2.Exempleducylindreinni

2.c.casduluniformémentchargé(>0)

3.Exempleduplaninni

VILescondensateurs

1.a.Champetpotentieldansunconducteur

1.b.Charged'unconducteur

2.Lecondensateur

2.a.Inuenceélectrostatique

2.b.Inuencetotaleoupartielle

2.c.Capacitéd'uncondensateur

2.d.Énergied'uncondensateur

2.f.Groupementsdecondensateurs

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