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INH - ENIHP1 2006-2007Mathématiques

Calcul d"aire et Calcul intégral : fonctions continues

1 Intégrale et calcul d"aire

1.1 Unité d"aire

Définition 1Soit un repère orthogonal(O,I,J). On appelle unité d"aire, UA, l"aire du rectangle

dont O, I et J forment 3 sommets.

1.2 Calcul d"aire et intégrale

1.2.1 Fonction positive

Définition 2Soitfune fonction continue positive sur un intervalle[a,b] (a < b). SoitCfsa courbe représentative dans un repère orthogonal. L"intégrale deaàbde la fonctionf, notée?b af(x)dx, est définie par l"aire exprimée en unité d"aire du domaineDdélimité par : - les droites d"équationx=aetx=b, - l"axe des abscisses et, - la courbeCf

On note :?b

af(x)dx= aire (D) Exemple 1Calculer l"intégrale de -1 à 1 de la fonctionf(x) =⎷ 1-x2:

0 1-1010 1-101

1.2.2 Fonction négative et de signe quelconque

Définition 3Soitfune fonction continue négative sur un intervalle[a,b],(a < b). SoitCf

sa courbe représentative dans un repère orthogonal. L"intégrale deaàbde la fonctionf, notée?b

af(x)dx, est définie par l"opposé de l"aire exprimée en unité d"aire du domaineDdélimité par :

- les droites d"équationx=aetx=b, - l"axe des abscisses et, - la courbeCf

On note :?b

af(x)dx= - aire (D) (aire algébrique) cours intégration page 1 Exemple 2Calculer l"intégrale de 0 à 3 de la fonctionf(x) =x-4:

0 1 2 3-101

0 1 2 3-101

Définition 4Soitfune fonction continue de signe quelconque sur un intervalle[a,b] (a < b).

SoitCfsa courbe représentative dans un repère orthogonal. L"intégrale deaàbde la fonctionf,

notée?b

af(x)dx, est définie comme la somme des aires algébriques des domaines définis à partir des

intervalles sur lesquelsf(x)garde un signe constant.

On note :?b

af(x)dx= aire(D1)-aire(D2)+aire(D3)

Remarque 1La notion d"intégrale se généralise à des fonctions continues par morceaux comme

l"aire algébrique. Exemple 3Calculer l"intégrale de 0 à 5 de la fonction en escalierfdéfinie par :

0 1 2 3 4 5-1012345

1.3 Valeur moyenne

Définition 5Soit une fonctionfcontinue sur un intervalle[a;b]. On appelle valeur moyenne de la fonctionfsur[a;b]le réelμ=? af(x)dx b-a. Remarque 2Cette définition s"étend à une fonction continue de signe quelconque.

Exemple 4Calculer la valeur moyenne def(x) =1

2x+ 1sur[0;5].

0 1 2 3 4 5-1012345

cours intégration page 2

2 Propriétés d"une intégrale2.1 Propriétés élémentairesProposition 1Soitfune fonction continue sur un intervalleIetaetbdeux points deI.

1.?a af(x)dx= 0 bf(x)dx=-?b af(x)dx

3.Relation de Chasles :?b

af(x)dx=?c af(x)dx+?b cf(x)dxaveccun point deI.

4.Linéarité :?b

a(f+g)(x)dx=?b af(x)dx+?b ag(x)dx et?b aλf(x)dx=λ×?b af(x)dx,λ?R

2.2 Signe d"un intégrale

Proposition 2Soitfune fonction continue sur un intervalle[a,b]. - Sif(x)≥0sur[a,b]alors?b af(x)dx≥0(positivité de l"intégrale)

Démonstration

2.3 Ordre et intégrale

Proposition 3Soitfetgdeux fonctions continues sur un intervalle[a,b].

Sif(x)≥g(x)sur[a,b]alors?b

af(x)dx≥?b ag(x)dx

Proposition 4Inégalité de la moyenne

Soitfune fonction continue sur un intervalle[a,b].

Démonstration

Exemple 5Justifier sans calculer l"intégrale queπ

3 Notion de primitive

3.1 Définition

Définition 6Soitfune fonction définie sur un intervalleI. Une primitive defsurI, si elle existe, est une fonctionF(x)dérivable surItelle queF?(x) =f(x)pour toutxdeI. Remarque 3La notation usuelle pour écrire une primitive est?f(x)dx Exemple 6Montrer queF(x) = 3x2+ 5x-2est une primitive def(x) = 6x+ 5surR. cours intégration page 3

3.2 Ensemble des primitives d"une fonctionProposition 5Soitfune fonction définie sur un intervalleI. SiFest une primitive def, alors :

-fadmet une infinité de primitives sous la formeF(x) +k,k?R; - toute primitive defest de la formeF(x) +k,k?R.

Démonstration

3.3 Condition d"unicité

Proposition 6Soitfune fonction définie surIet admettant des primitives surI. Il existe une unique primitiveGdefsurIvérifiant la conditionG(x0) =y0. Exemple 7Trouver la primitiveFdef(x) = 2x-1vérifiantF(2) = 0.

3.4 Primitives usuelles

Primitives et fonctions usuelles :Lecture inverse du tableau des dérivées f(x) =F(x)surf(x) =F(x)sur kcosx xsinx xn,n?N?tanx xlnx xα,α?R\ {-1}1 1 +x2 ex1⎷1-x2 eax Primitive et opérations sur les fonctions :uétant une fonction dérivable surI f(x) =F(x)surf(x) =F(x)sur u?(ax+b)u?eu unu?,n?Nu?sinu uαu?,α?R\ {-1}u?

2⎷u

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